数学知识论文（锦集13篇）由网友“爱吃薯片的豆豆”投稿提供，下面就是小编整理过的数学知识论文，希望大家喜欢。
篇1：数学知识论文
由于传统的高中数学教学模式已经不能满足当代学生的学习需求，新的教学模式应势而生。变式教学模式作为这一时代下的新产物，它出现的目的就是为了培养学生的创造性思维和创新意识，从而使学生在激烈的社会竞争背景下立于不败之地。在高中数学知识的教学中，实施变式教学模式可以培养学生自主探究学习的能力，从而培养学生的探究式思维，使学生在实际练习中不断提高自己、丰富自己，最终达到快速提高数学成绩的目的。
一、数学知识开展变式教学的必要性
（一）开阔学生思维，明细解题思路
在传统教学模式中，教师通常只为学生们讲解一种解题方法，导致学生在做题时只能用固定的思路去解析，从而逐渐养成被动学习、思维封闭的恶习。长期以往，将对学生的发展形成强大的阻碍。随着新课改的进行，在数学教学中使用变式教学已经逐渐成为授课趋势，得到的教学效果也较为良好。这种方法不仅使学生的学习思维得到开阔，而且在做题中的思路也更加清晰，学习成绩自然而然就能得到提升。
（二）加强学生知识探究，提高学生综合素质
在高中数学教材中，教学知识点的数量涵盖较大，不利于学生轻松掌握，使得部分学生因此产生厌学的情绪，从而增加教师授课压力。为了提高高中数学知识的教学质量，我国各高中学校都应该创新教学理念、教学内容，制定符合当今社会时代的教学模式，提高学生的高中数学知识掌握量，从而提高学生的综合素质能力。深入实施变式教学模式，可以使学生自身的探究能力与创新思维得以开阔，随之应用于学习当中，找到合理解决各种类型的数学方法，提高学习数学学科的效率。
二、高中数学知识教学中开展变式教学的实施策略
（一）课前教师引路，学生做主人
在传统的高中数学教学课堂中，教师大多占有主导地位，学生作为接受者，只能被动地接收知识。在这样的教学模式下，学生不能自主探讨问题，探究性思维得不到发展，学生无法进行创新，从而难以达到当今社会对人才的要求。高中数学知识变式教学模式的实施可以真正意义上实现学生在课堂中的主体地位，符合当今教育事业倡导的教育理念。教师充当学生的引路人，帮助学生渡过难关。在课上教师不再是思维的灌输者，而是知识的传递者，引导学生快乐学习、健康成长。因此，教师应该让学生自己多想办法，也可以分组合作共同研究出一套新办法，这样的学习方法可以使得学生真正对自己的学习负责，达到高效率、高水平的学习目的。
（二）课上及时变式，学生随时掌握知识
在高中数学知识的教学过程中，教师要根据教学内容、问题题型及时地进行变式。比如说在三角函数问题的教学中，教师可以进行正弦、余弦、正切这三者之间的比较，分析它们在解题过程中的相似之处以及不同之处，然后通过具体的题型，让学生在解决问题的过程中学到不同的解题方法。
教师在课堂上及时的变式，可以有效节约学生的学习时间，提高学生的学习质量。学生们对数学知识进行及时掌握，可以使得他们在考试过程中将由做题过程中遇到的相关内容延伸到考试内容，从而提高考试成绩。
（三）课后及时复习，总结重点
在课下，学生要对课上教师讲解的内容进行及时复习，将教师所讲的重点与难点进行针对性记忆，并对题型进行总结与归纳，为日后的复习做准备。及时的复习还可以有效地使学生开阔自己的思路，对一种题型找出多种解法，面临考试时不会因题型陌生而担忧。学生还可以在学完每个章节以后，自己再根据相关知识点做一个具体的总结方案，将简单的知识点进行合理去除，对易错点进行重点记忆，保证自己日后高效复习。
三、结语
在高中数学知识的教学中，传统的教学模式已经不再适合于学生们的学习。教师应该在传统的基础上加以改善与优化，引导学生对相关或者相似的题型进行总结与归纳，分辨各变式题型的思路，总结其相似点以及不同处，为以后的解题打下坚实的基础。在变式学习中，教师要及时地为学生们指引思路，使学生可以清楚地找到符合自身发展的最佳学习方法，并自主地去探究学习，在课上及时地对各种题型进行练习与掌握，课下则能针对重点内容进行有效复习，最终达到高效学习的目标。
参考文献：
[1]瞿晶.程序性数学知识的课堂教学策略[J].上海教育科研,（1）：77-78.
[2]谢丽英.高中数学课堂中变式教学的案例分析[D].天津:天津师范大学,.
[3]秦利芳.高中函数教学中概念的变式教学初探[J].中学数学,（19）：11-13.
篇2：教学数学知识研究论文
论文摘要：教学用的数学知识研究经历了数学知识研究、数学课程知识研究和教学用的数学知识研究三个阶段。教学用的数学知识通过对数学教学的核心活动进行分析，直接研究课堂教学中教师使用的数学知识及其影响。它是有效教学的知识基础，应该成为教师教育的主要内容。
论文关键词：数学；教学；知识；教师教育
一、数学知识研究
传统上认为数学教师至少要掌握他所教的数学知识。班级授课制成熟后，人们开始同意这样一个原则：除了所教的数学知识以外，数学教师还需要掌握像组织教学、控制课堂秩序等一些教学知识。随着教学研究的深入，人们发现教师仅仅知道他所教的数学的术语、概念、命题、法则等知识是不够的。…除此之外，教师还要知道数学的学科结构。学科结构的概念最早源于Schwab。他指出了理解学科结构的两种方式：一个方式是句法性地（syntactically），另一个方式是实体性地（substantively）。所谓句法性地是指从学科所表现出来的逻辑结构方面去了解学科结构。比如，引入无理数表示不可公度线段，引入负数与复数表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，仅是为了保持方程都有解这个论断的完整性和通用性所做出的一种假设与解释。对这三个概念含义的理解，只能通过产生这些概念的前后联系才能揭示。所谓实体性地是指从学科的概念设计角度去了解学科结构。比如，欧氏几何与解析几何有不同的概念框架。Ball把数学的学科结构知识称为关于数学的知识。它是指知识从哪里来，又是如何发展的，真理是如何确认的，又将用到哪里去。
主要有三个维度：一是约定与逻辑建构的区别。正数在数轴的右边或者我们使用十进位值制都是任意的、约定的。而0做除数没有定义或者任意一个数的零次幂都等于1就不是任意的、约定的；二是数学内部之问的联系以及数学与其他领域之间的联系；三是了解数学领域中的基本活动：寻找模式、提出猜想、证明断言、证实解法和寻求一般化。
对数学知识的研究，拓宽了人们对教学用的数学知识的理解。它显示教学用的数学知识是很复杂的，除了术语、概念、法则、程序之外，还有数学学科结构或者关于数学的知识。这些知识对于教师确定为什么教、选择教什么和怎么教都会产生影响。比如，约定的与逻辑建构的概念的教学策略会有很大的不同，逻辑建构的概念就必须讲清楚它怎么来的，为什么要定义这个概念，怎样定义，它会有什么用，它与其他的概念的关系是怎样的，它的应用有哪些限度。而约定的概念就没有这些必要。但是，有效地数学教学，仅仅具有上述知识还不够。它缺少对学生的考虑，不能给教师提供教授一群特定的学生所必须的教学上的理解。比如，仅仅通过推导知道（+6）=a+2ab+b对有效教学是不够的，教师还需要知道一些学生容易把分配律过度推广而记成+6）=a+b，知道用矩形的面积表征可以有效地消除这一误解。学生误解的知识与消除误解的教学策略显然不能纳入数学知识的框架，教学用的数学知识的复杂性要求更精致的框架来描述。
二、教材分析研究
有效的教学必须考虑学生已有的知识和知识呈现的最佳序列。在数学学科中，马力平的知识包（Knowledgepackage）是国际上较为典型的此类研究。知识包是围绕着一个中心概念而组织起来的一系列相关概念，是在学生的头脑里培育这样一个领域的纵向过程。（n知识包含有三种主要成分：中心概念、概念序列和概念结点，也包括概念的表征、意义和建立在这些概念之上的算法。下例是20以内数的加减法的知识包（图1）。在这个知识包内，中心概念是20至100数的“借位减法”，它是学习多位数的加减的关键前提。
马力平的知识包实际上是我国内地传统的教材分析研究。这类研究结果是教学参考书的主要内容之一。它是一种课程知识，是教师对课程的分析，比对数学知识的分析更接近教学用的数学。但它也不是教师教学时使用的数学知识。它最多是教师对教学的考虑，没有考虑师生互动时产生的数学需求。教师在教学时，能够动员起来的知识不一定符合教学情境的需要。比如教师预期的一种学生的反应在与学生的互动中没有出现，教师以学生的这种反应为跳板的后继知识就没有了用武之地。马力平概括出的知识包，与教师在课堂教学时使用的数学知识还有一段距离，教师在教学时可能用得上，也可能用不上。教师在教学时所需要的数学知识远远超出教材分析所能提供的内容。
三、教学用的数学知识研究
Ball开创了教学用的数学知识研究。她通过分析数学教学的核心活动，直接研究课堂教学中教师使用的数学知识及其影响。下面以Ball的一个课例来说明其研究方法与结果。该课内容是三年级多位数减法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。问Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆？学生在解题过程中提供了六种解法。Sean从16的后继数l7开始向后数数，一直数到32得到答案。ba认为，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具（豆子）一一配对，数一下表示32的教具中剩余的没有配对的豆子得到答案。Mei的方法是直接从表示32的豆子中拿走16粒，数一下剩余的就行了。Cassandia提供了标准的减法算法，Scan受到启发，提供了另一种解法：16+16=32，整节课，学生想尽办法鉴定这些解法的异同。L6JBall认为，这节课教学的核心活动是处理数学知识的关联和控制课堂讨论。知识的关联涉及到在具体和符号的模式中，减法和加法是如何关联的、减法的“比较”和“拿走”的解释是如何关联的、教具的表征如何转化为符号表征、Betsy的配对比较法如何转化为Sean的向后数数的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法协调，控制课堂讨论首先表现在提供线索和解释，推动正确的方法的发展；其次表现在搁置有问题的方法。比如搁置Riba的说法。Riba的论断是正确的，但要使其他的学生能够明白他的意思，还需要添加几步推理。但这几步推理与用它来证明Sean的结论超过了三年级学生的理解能力。
Ball对这节课教师需要使用的数学知识进行了归纳。除了传统的教材分析提供的借位减法的符号算法及其背后的位值制之外，教师还需要其他知识。首先需要知道问题的两种表征模式（如减法32—16：？与缺失加数的加法16+？=32）是等价的。其次，还要知道此问题的一些表征：比如像Sean的从17数到32，或者Mei的从32里拿走l6个等等。第三，教师还需要具有深刻的数学眼光去审查、分析和协调学生的多种解法。最后，教师还需要一些关于数学论证的知识。通过上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教学用的数学知识的一部分，其余大部分只能在分析数学教学的核心活动中才能得到。
四、启示
1．教学用的数学知识是有效教学的知识基础。它与数学家的数学知识、教材分析得出的数学知识是不一样的。它具有一种教学上有用的数学理解，这种理解主要集中于学生的观念和误解上。学生对特定内容的理解是有差异的，教师需要调和学生不同的理解方式并在这些方式之间灵活自如地转换，引导学生把知识进一步组织，促进学生在已有的知识基础上有效学习。
2．教学用的数学知识是高观点下的数学知识，它联系着更深刻的概念和方法。Ball的课例仅是小学三年级的两位数退位减法，但是，通过对课堂教学核心数学活动的分析显示，隐藏在退位减法之外的，是高等数学的等价、同构、相似性和表征之间的转化等概念。从结构上说，前五种解法是同构的，前五种解法和最后一种缺失加数的加法是等价的。但前四种解法的解释模型是不同的，有三种是“拿走”模型，一种是“比较”模型。只有从数学结构上理清这些解法的关系，才能有效地引导学生在不同的方法之间转换并分清这些方法的异同，促进学生高效地组织自己的数学知识。香港的“课堂学习研究”也证实，数学专家参与的教研活动，能提升课堂教学的有效性。公务员之家
3．教学用的数学知识存在一定的结构。首先是学生理解的知识。像Ball的课例所展示的，学生对退位减法的理解有不同的方式、不同的层次和一些误解，这些知识是教师教学的起点。以学生已有的知识为起点自下而上的讲授使知识加以扩充，把新知识与学生已经构成内在网络的概念和方法联系起来，这是提高教学效率的奥妙；其次是教学策略。像Ball的课例所展示的，学生的理解各种各样，需要教师使用相应的策略来控制课堂讨论，协调不同的方法，促进正确的方法发展，搁置有问题的方法，这是提高课堂教学效率的重要手段；第三、控制与反馈的知识。教师需要提供线索和解释，矫正学生的误解，促进学生自我评价的参与，促进学生进一步精简合理化知识；第四，课程知识。像马力平的'知识包概念所揭示的，特定课题呈现的最佳序列，它的来龙去脉及与其它学科的横向联系，是教师用来教学的数学知识基础。顾泠沅的研究也揭示，辨明一门学科各知识点的固着关系及其潜在距离，构建适合学生特点的、具有合适梯度的结构序列，是提高教学效率的基础；最后是教学目的的统领性观念。像退位减法，是像Ball那样对学生的经验进行精简合理化还是直接教授退位减法的法则，取决于教师对数学的理解、信念数学的认识论以及对特定学生最有价值的数学知识的判断。当然，这些成分是从不同的维度来说明教学用的数学知识的属性，它们之间的关系及提高课题教学效率的机制还需从课堂教学的经验出发进一步的概念化。
4．获取这种教学用的数学知识的方法是对数学课堂教学的核心活动进行分析。这些活动包括鉴定学生已经知道了什么；选择和管理所教数学概念的表征；评价、选择和修改教科书；在各种教学策略中做出决策；找到支持这种决策所需的资源；控制学生的讨论。数学课堂教学的核心活动框架可以更有针对性地分析数学课堂。可以透过表象抓住本质，沉淀下教学用的数学知识库，为教师教育提供内容，为教师专业发展提供支持。教师采用Ball的方法来分析自己的课堂，能够忽略枝节，抓住要害，逐步提高自己的教学分析技能。
5．教师教育尤其是在职培训应结合具体课例。如果Ball不分析自己的课堂，是不会发现在退位减法的课上，会隐藏着同构等数学概念。同构的命题有不同的解释，这些不同的解释模型学生接受上有难易之分，在教学策略上有很大的不同。这启示我们，在教师教育尤其是在职培训时，教师需要的是结合具体课例的指导，而不是泛泛地教育理念说教。顾泠沅先生的调查也证明了教师的这一需求。需要指出的是，教学用的教学用的数学知识具有情境性、个人性的一面，并不完全是命题性的公共知识，教师在学习时也不能完全照搬，需要针对自己的特质和学生的特质，进行改造。尽管这样，教学用的数学知识体现了数学教师的专业性，是把数学教师与数学家、数学教育理论家区分出的专业知识，是数学教师专业发展的实质。教师积累和学习特定课题的、教学用的教学用的数学知识，是专业发展的主要方式。
篇3：往届生初中数学知识存留评析论文
1问题提出
知识存留取决于遗忘程度,“遗忘是指识记过的材料不能再认或回忆,或错误再认和回忆”[1]。德国心理学艾宾浩斯绘制的“保持曲线”,表明“在练习之后,遗忘立刻急速发生,以后随着时间的流逝而变慢起来”[2],“没有什么东西会被完全遗忘掉”[2]。如果考察毕业多年,并且选择数学知识,结果又会如何呢?为了实现“人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展”,评析往届生数学知识存留,为教学提供重要参考。
2调查过程
依据江苏省九年义务教育初级中学教科书(江苏省中小学教学教研室编,5月第3次印刷,江苏科学技术出版社),体现基础性、简单性、重要性、普及型、实用性,选定了41个知识点(18个代数,23个几何),如函数、比例、幂、平方根、勾股定理、三线八角、形体及面积和体积公式等,内含8个模仿推理和18个数学符号,编制了“初中数学知识存留量调查表”;选定不同职业、不同年龄阶段、不同性别的人群作为被调查对象;于2月开展调研,实行不记名解答简单数学命题等方式,发放调查问卷150份,回收有效卷133份;再对数学问题进行统计(每个正确的给1分),133份试卷中有男67人,平均年龄36.1岁;女66人,平均年龄33.1岁,采用SPSS10.0软件统计。
篇4：往届生初中数学知识存留评析论文
心理学家研究遗忘,提出信息加工“激活理论”:信息必须被激活,然后才能被提取,而且激活具有延展性,如果学生对某项知识的记忆比较弱,那么就会因为联想强度不足而失去该知识的激活能量,导致回忆失败,产生遗忘。
3.1年龄的影响:我国一般儿童6岁入学,22岁左右大学毕业,60岁左右退休。为此按年龄分组:第一组学生时期(16岁～23岁25人),第二组是工作前十年(24岁～33岁35人),第三组是工作黄金时期(34岁～43岁38人),第四组是中年到老年过渡期(44岁～60岁35人)。
图1显示:人们对初中数学知识的存留量平均值总体上是随着年龄的增大而减少的,但后期略有上升。代数知识存留最少的是第四组,最多的是第二组;几何知识存留最少的是第三组,最多的是第一组;数学符号存留最少的是第三组,最多的是第一组;模仿推理存留最少的'是第四组,最多的是第一组。原因分析:16岁～23岁为求学阶段,由于学习的连续性,经常使用初中数学知识,在应用中增加“联想值”,因而遗忘较少;24-33岁抽象思维能力提高,有助于抽象的代数学习,34岁～43岁是工作的黄金期,工作量大,任务多,事情烦,接受的信息多,而遗忘促使人脑对问题进行主次排序,此时有关工作的信息占据重要位置,出现暂时遗忘;44岁～60岁的人工作负荷较前阶段轻,处于思想稳定时期,更愿意总结回忆。变态心理学认为“在做梦、昏谵、迷睡状态以及情绪激动时,一个人常常生动地回忆起许多年前经历过、在此期间未曾回忆过的经验”[2],久而久之,某些数学知识被逐步回忆起来,从而加大存留量。
3.2性别的影响
从上表看出,男性存留量平均值为28.96,得分率为70.63%,女性总的存留量平均值为30.70,得分率为74.79%,女性比男性高4个百分点.特别是“数学符号”男性13.06,占72.55%,而女性13.94,占77.44%,差近5个百分点;“模仿推理”男性为4.57,占57.09%,而女性5.18,占64.77%,女性高于男性近8个百分点,说明女性一旦掌握了数学符号和简单的模仿推理,一般存留质量好。
3.3学历的影响
表2显示:初中数学知识存留量的平均值与学历成正相关,高中最低.差异分析:初中组与本科组差异大,差异值为9.41;高中组与专科组、本科组差异大,差异值分别为5.57和9.56。根据人的认识特点,中小学数学知识遵循螺旋式上升编排,有的概念外延和内涵逐步拓展和深化.每次学历提升都是经过考试筛选的,学历高的人参加考试的次数多,运用某些知识的机会多,这些知识在使用中受到的强化多,印象深,遗忘少。
3.4数学知识类别的影响
我们选择的代数问题与几何问题个数比例为18∶23,先把代数、几何的得分和总分(13.22、16.60、29.82)分别除以各项的满分值18、23和41,得到代数比率、几何比率和总分率,它们的平均比率分别是73.44%、72.17%和72.73%,代数知识相比几何知识存留的多一点。究其原因有以下几点:一是教学内容本质的差异;二是教学时间的差异;三是教学手段的影响;四是争议削弱人们对几何的重视程度。
3.5职业的影响
表4显示,初中数学知识存留量平均值依次为在校学生、公务员、记者、教师、工程师、农民.因为在校本专科学生(不包括数学专业)初中毕业时间短,而且还在读书,遗忘较少;教师工作在学校,一直与学习相关,遗忘受到抑制,存留较多;而农民遗忘最多。
4结语
遗忘在人们学习之后立即开始;遗忘的速度不是线性的,是多因素的,它与时间、性别、学历、数学知识本身及职业的类别密切相关,一般代数知识比几何知识遗忘得少一点,女性比男性遗忘少,尤其是“模仿推理”女性高于男性,学历越高遗忘越少,职业常用的知识遗忘少,为体现新课程标准的理念,增加存留,要根据存留量变化趋势研究数学教学,加强几何知识学习,加强数学符号的教学,关注男生学习,密切数学知识与现实生活的关系。
参考文献
[1]李越.心理学教程[M].北京:高等教育出版社,:35-40
[2][美]索里,特尔福德著.高觉敷译.教育心理学[M].北京:人民教育出版社,1987
篇5：小学数学知识的形成论文
小学数学知识的形成论文
长期以来，数学教学以告知学生已被发现的规律为主要方式，虽然在新授课中有学生自主探究、小组互助合作的过程，但真正的一些有价值的知识形成过程还是被老师所忽视。导致学生对知识的形成过程缺乏认识和了解的原因主要有两个方面：一方面，由于学生自主学习和探究的能力有限，在自学和互助学习的过程中可能还无法发现一些知识的形成过程，而是浮于表面的接受书上已有的结论；另一方面，教师对学生的自学能力估计过高，以为学生能自主探究出结果，但忽视了结果产生的过程。
一、存在的问题及分析
1.教学中呈现的问题。
在备课过程中，教师往往由于忽视了学生的已有经验和认知上的误差，而导致课堂教学的失误。小学数学《角的认识》一课中，某老师是这样引导学生学习的：
学生经过前一天的预习，对本课学习的内容有所了解，知道本课将要学习“角”。在课堂上老师首先介绍了什么是“角”，然后引导学生找出身边的角，说出角的特性。
学生在老师的指导下找出了身边的很多角，但他们眼中真正的角是一个三角形，比如课桌的一个被切下的“角”。所以老师在引导角的组成时遇到了很大的阻碍。
2.对问题产生原因的分析。
（1）学生年龄小，自学能力有限。
由于学生正处于自学能力的培养期，对于个别能力较强的`学生才能领会课本知识的本质与内涵。对于绝大多数的学生，他们的学习还是需要教师的辅助。
（2）教师忽视了“角”的抽象性。
“角”是实际存在的，但是它在我们的生活中是附着在物体上的，也就是说，角是一个抽象的概念，是人们为了研究的方便从实物上抽象出的。所以在讲授时，教师一定要把“角”从它的附着体上分离出来，也就是将实物表面存在的角抽象出来，以课件、比划和语言描述相结合的方式展示给学生。只有这样，学生在理解什么是角的时候才不会把“角”与“三角形”搞混。
二、成功教学案例及分析
1.成功案例描述：
在讲授《认识平角与周角》一课中，某老师是这样进行教学的：
学生经过前一天的预习对本课学习的内容有所了解，知道本课将要学习“平角”与“周角”。
老师首先与学生一起复习了角的构成“一顶点、两射线”。借助活动角向学生依次展示了锐角、直角、钝角，当角的两边叉开的更大，直至两条边在同一条直线上的时候，这个角我们称之为“平角”。随后在黑板上画出一个平角，同时画出一条直线，让学生对比它们的相同点和不同点。 学生们在老师的提示下，回想了刚才活动角的变化过程，又通过讨论得出结论：带箭头的弧线表示的是“角的一条边不动，另一条边沿逆时针方向旋转半周所成的角”。周角的讲解也随之展开。
2.成功原因分析。
（1）中年级的学生已经具备一定的自学能力。
中年级的学生通过老师的引领，已经具备了一定的自学能力。他们通过自学，可以了解和掌握课本所提供的知识要领。但由于课本的二维性，它展示给学生的依然是静止的结论性的知识。
（2）利用教具，展示过程。
“活动角”作为学习角的相关知识的重要辅助教具之一，经常被老师应用于教学当中。一个简易的活动角可以将课本上静止的角的大小变化过程，形象的展示在学生的面前。
（3）适时提问，探索知识的形成过程。
三、对知识产生过程的思考
1.过程性知识学习的重要性。
数学的学习过程，不仅是教授给学生一些前人已经发现或发明的知识内容，还要教会学生如何探究新知识，在体验知识的形成过程中体会到学习的快乐。学生在老师适当的引领下，通过自己的思考和与同伴的讨论所得到的结论给他们的印象更深，同时也更利于对知识的了解。
2.质疑习惯的培养。
“提出一个问题，比解决一个问题更有价值。”这句话应用在数学中是最恰当不过了。回眸数学的发展史，她的每一次进步无不伴随着一个个猜想、证明、验证等一系列过程。勇于质疑、大胆猜想是极具价值的数学品质。
3.教具的灵活使用。
教具是必不可少的，作为教师的我们要发挥自己的聪明才智，为学生们设计出易制作、易操作的教具，使我们的数学课堂活跃起来，让学生对数学充满乐趣。
篇6：高中数学知识漏洞修补探讨论文
摘要：进入高中以后，数学学习的难度越来越大，系统性越来越强，一些初中阶段没有打牢基础的学生会感觉到越来越吃力，知识漏洞会越来越大，数学成绩的提升也越来越艰难。为此，本文从高中数学学习特点入手，对高中数学知识漏洞修补的必要性进行分析，并就高中数学教学中如何进行知识漏洞的修补展开论述，以供参考。
关键词：高中数学；知识漏洞；系统性；后续学习
数学是一个完整的知识体系，缺乏其中的任何一个环节的知识，都难以实现数学学习的整体提升。尤其是到了高中阶段，知识的漏洞更是应该及时弥补，只有这样，才能巩固学生数学学习基础，快速提高数学成绩。
1、高中数学学习特点
高中数学具有系统性强和难度大的特点，而这也是导致部分高中生数学学习水平急速下降的主要原因。
1．1系统性强：高中的数学是由几块相对独立的知识拼合而成（如高一有集合、命题、不等式、函数的性质、指数和对数函数、指数和对数方程、三角比、三角函数、数列等），经常是一个知识点刚学得有点入门，马上又有新的知识出现。因此，高中数学的系统性较强，注意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点。
1．2难度加大：高中数学的数学语言更为抽象，比如高一数学一下子就触及非常抽象的集合语言、逻辑运算语言、函数语言、图象语言等，十分难以理解。同时，高中数学的思维方法更趋理性，与初中阶段大不相同，高中数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求，这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应。此外，高中数学知识内容急剧增加，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，所以综合看来，高中数学教学的难度有很大的增强。
篇7：高中数学知识漏洞修补探讨论文
高中数学知识漏洞的修补不仅是完善知识体系的需要，也是学生进行后续学习的需要。
2．1完善知识体系的需要：高中数学与小学数学、初中数学共同构成了一个严密的知识体系，缺了其中任何一个环节，知识体系都是残缺不全的，因此对学生现有的知识漏洞进行修补，是完善知识体系的需要。
2．2进行后续学习的需要：高中阶段涉及到的知识点比较多，容易发生漏洞的地方也是比较多的，如果不及时弥补漏洞，会使接下来的数学学习困难重重。举个简单的例子，在高一数学的第二章第一节指数函数学习过程中，学生对于指数函数的图像、性质与运算掌握不牢固，在后面的第三章函数与方程的学习中，就会十分困难。
3、高中数学教学中如何进行知识漏洞的修补
高中数学教学中，要进行知识漏洞的修补，就要在课堂上注重回顾旧知识，注重强化复习环节，并且充分地利用错题本。
3．1课堂教学注重回顾：课堂回顾时指教师在上完课后，对教学活动进行反思，在总结成功经验的同时，寻找教学中的不足，吸取失败的教学，进而优化自己的教学。在高中数学教学中，帮助学生查漏补缺，教师需要及时对课堂教学活动进行回顾，重新梳理教学过程的各个环节，包括课堂导入、新课讲授、课堂练习，以及课堂小结和布置作业等。尤其是要重点反思新课讲授这一环节，这是课堂教学的重点和难点，关系到了学生对知识的掌握情况，关系到课堂教学效果如何。重要的是，通过回顾，教师可以及时了解到自己的教学活动有无遗漏，如基础知识的讲授是否全面，重点知识的训练是否到位，难点知识的讲解是否详细透彻，并在反思的基础上及时调整教学方法，搜集教学素材，修补知识漏洞，优化教学过程。
3．2注重强化复习环节：复习就是重新学习以前学过的知识，加深印象，使其在脑海中留存的时间更长一些，这表明复习能够深化和巩固知识，其实，这只是复习最基本的功能，通过复习，学生还能够对以前的知识漏洞进行填补，进而梳理和完善自己的知识体系。因此，在高中数学教学中，教师要重视复习环节，因为数学知识的系统性较强，虽然各个章节是独立的，但知识点之间有着密切的联系，因此，教师在复习环节要帮助学生梳理知识脉络，要利用板书对知识点进行罗列、整理和总结，也要鼓励学生动脑动手，列出每一节课的知识点，画出知识框架，理清每个知识点之间的.关系。这样做既能够帮助学生巩固所学知识，也能够使教师了解知识点的讲解是否有遗忘和缺漏，进而及时给学生查缺补漏，使他们更全面、更系统地学习和掌握知识，提高学习水平。
3．3充分地利用错题本：在教学中，教师经常遇到这样的情况：有些题目，即便老师已经讲过了解题方法，学生考试时依然做错。这说明学生在学习中不注意总结，不注意反思，懒惰的思想导致他们不求甚解。因此，不少教师让学生建立错题本，使他们通过错题发现知识盲点和学习误区，寻找做题失误的原因，抓住问题的关键，进而系统化、条理化地解决问题。在高中数学教学中，教师要充分利用学生的错题本来修补教学中知识漏洞，错题本就像一扇窗口、一座桥梁，教师可以通过错题本了解学生解答某个问题时的思路和方法，也能了解他解题过程中暴露出的问题，进而开展有针对性的讲解，弥补学生的不足，解决他们零散、疏漏的问题。此外，教师可以通过批阅学生的错题本找到自己教学中的薄弱环节和存在的问题，进而及时调整自己的教学思路，改进教学方法。
4、结语
进入高中阶段以后，每一门学科的学习难度都大大提高了，在这样一个情况下，学生在学习中就会逐渐产生畏惧情绪，从而为后面的学习与成长造成不利影响。因此，教师应该注重对学生知识漏洞的考查与修补，使学生稳扎稳打地学习每一节内容，基础牢固，学习水平才能有较大的飞跃。
参考文献:
［1］史可富，孙志慧，李冬胜．高效数学学习的学生心理特征模型［J］．数学教育学报，2006（04）．
［2］王光明，刁颖．高效数学学习的心理特征研究［J］．数学教育学报，2009（05）．
［3］马淑杰，连四清，冯汝静，于永涛，王京滔，张秀英，李秀菊，陈福印，乔建华，郭海杰．高中生数学课堂学习效率的个体差异研究［J］．数学教育学报，2009（02）．
篇8：数学知识作文
数学对于每个人来说都很难，但数学其实并不是那么难，很简单，告诉你一个诀窍：只要上课认真听讲，仔细读题，你就会觉得数学特别好学，很简单，一点也不难。
今年，我们学习了不少知识。认识正、负数这一单元，我知道了：我国数学家刘微在注解《九章算术》时，更明确的提出了正数与负数的概念。他在筹算中规定“正算赤，负算黑”，就是用红色算筹来表示正数，黑色算筹来表示负数。这个记载，比国外早了七八百年。从这里可以看得出来，正数和负数的作用。
检查视力用的视力表上也有小数，现在我国使用的是国家标准视力表。当检查结果等于或大于5。0时，视力为正常，小于5。0，视力你应该知道的，对不对？如果你不近视，也要注意用眼卫生噢！
两个数相除，如果得不到整除商，会出现有限小数和无限小数，小数部分的数位是有限的，就叫做有限小数。小数部分的数位无限，那就是无限小数。循环小数是无限小数，一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字，就是这个小数的循环节。你知道什么是有限小数、无限小数了吗？
数学知识无处不在，数学其实不难吧！让我们学好数学，将来成为中国的第二个“华罗庚”吧！
篇9：因数是什么_数学知识
因数是什么_数学知识
因数，数学名词。
假如a*b=c(a、b、c都是整数)，那么我们称a和b就是c的因数。
需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。 反过来说，我们称c为a、b的倍数。在研究因数和倍数时，不考虑0。
拓展阅读：因数相关知识
1.整除：若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零， 我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，记作b|a。
质数v素数w：恰好有两个正因数的自然数。(或定义为在大於1的自然数中，除了1和此整数自身外两个因数，无法被其他自然数整除的数)
合数：除了1和它本身还有其它正因数。
1只有正因数1，所以它既不是质数也不是合数。
若a是b的因数，且a是质数，则称a是b的质因数。例如2，3，5均为30的质因数。6不是质数，所以不算。7不是30的因数，所以也不是质因数。
公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数。
1个非零自然数的正因数的个数是有限的，其中最小的是1，最大的是它本身。而一个非零自然数的倍数的个数是无限的。[1]
所有不为零的整数都是0的因数。(还有争议)
2是最小的质数。
4是最小的合数。
拓展阅读：列举因数
6的因数有：1和6，2和3。
9的因数有：1和9，3。
10的因数有：1和10，2和5。
15的因数有：1和15，3和5。
12的因数有：1和12，2和6，3和4。
25的因数有：1和25，5。
36的因数有：1和36，2和18，3和12，4和9，6。
注：此处只列举正因数。切记：一个合数的因数不止一组。
[因数是什么_数学知识]
篇10：中小学生数学知识观的调查研究论文
1前言
数学观是人们对数学的认识和看法。由于研宄领域、研宄视角等方面的不同，研宄者对数学观的内涵有着不同的分析。在哲学范畴里，数学观是世界观的一部分，是对数学本质的认识。而在数学教育领域里，数学观是学习与教学观念系统中的一种。综合索梅(Schommer)对一般学习观的分析以及舍恩费尔德(Schoenfeld)对学生数学观的研宄，刘儒德等人提出中小学生的数学观由数学知识观、数学学习观和数学自我概念三部分构成。其中，数学知识观涉及对数学知识的确定性问题、简单性问题、社会性问题以及数学的价值等认识|1]。张奠宙等人有着类似的看法。他们认为学生在数学学习中的信念或观念涉及到三个方面:关于数学的信念、关于数学学习的信念、关于自己的信念|21。
学生的数学观作为一种元认知知识，是学生先前经验中重要的组成部分。学生的数学观制约数学学习，影响学生的数学学习动机、学习策略、学习成绩等。同时，学生的数学观也是数学学习的结果之一，是在学校数学学习过程中发展起来的。香港中文大学以黄毅英为主的数学观研宄小组的一些研宄结果表明，许多学生认为数学是符号与数字的运算，涉及思考且有实用性因而他们的问题解决方式十分机械化，问题解决行为被“数学课堂文化”。国外不少研宄表明学生的数学观与学校数学经历紧密相关，因而一些教学干预研宄希望通过改变数学课堂学习环境来提升学生的数学观。
目前，国内对学生数学观进行理论探讨的比较多，而微观层次上的实证性研宄比较少而且深度不够，一些描述性结论还需要进一步的验证。比如我国中小学生数学观是否存在差异？不同数学学业水平学生的数学观是否存在差异？这些方面都还缺乏直接的实证证据.
本研宄旨在探讨中小学生数学观中的数学知识观。具体地来说，本研宄选取小学六年级和初二学生作为研宄对象借鉴黄毅英的研宄材料，采用假设性情境题目和数学认识问卷分析中小学生的数学知识观，同时考察两个研宄变量：年级和学业水平。我们希望能够了解中小学生的数学知识观的特点及发展，为后继研宄累积资料。
2研究方法
2.1被试
有效被试为温州市一所小学的六年级两个班共90名学生，以及一所中学的.初二年级两个班共106名学生.其中，男生101人，女生95人。请这四个班级的数学教师根据学生的平时数学学习情况，取数学成绩排名前面的约20%学生为优秀学生，数学成绩排名后面的约20%学生为后进学生，中间的60%为中等学生，结果区分出优秀学生38人，中等学生125人，后进学生33人。
22测查工具
本研宄所采用的问卷由两部分构成。第一部分是12道假设性情境题目，取材于黄毅英所使用的研宄材料。请学生判断这12种假设性情境是不是在做数学或用数学，回答“是”记1分，回答‘否’记0分。第二部分是改编的数学认识问卷。参考黄毅英等人对学生数学观的分析|31，问卷包括三个维度维度一是“数学涉及运算”，包括3个项目，Cronbacha系数为0.572考察学生对数学与运算关系所持的态度。维度二是‘数学涉及思考”，包括8个项目，Cronbacha系数为0.620,旨在考察学生对数学涉及思考的认i识维度三是“数学具有实用性”，包括9个项目，Cronbacha系数为0.883,旨在考察学生对数学具有实用性的认识。一共由20道题目，部分取材于东北师范大学于卓的硕士论文。题目采用利克特量表五级评定：很不同意”、“比较不同意”、“不确定”、“比较同意”、“很同意’，分别记分为“1”、“234”、“5”；否定性题目反向计分。
23调查过程
问卷施测是在两所学校放学后以班级为单位集中进行的，整个过程约需15-20分钟。
24数据处理
采用SPSS10.0统计软件处理和分析数据。
3研究结果
31被试对假设性情境回答的人数百分比
表1为被试认同12道假设性情境是做数学或用数学的人数百分比。总体上看，按照被试认同做数学或用数学的人数百分比从高到低，题目排列为Ts>T4>T6>T12>T1>T2>T7>T0>T11>T3=T9。被试对假设性情境认同程度
差异比较大，可分为三个水平，前面的T5、T4、T6这3道题的认同程度均在80%以上；中间的T12、T1、T2、T7这4道题认同程度约在50%-60%之间；后面的TK)、Tn、T8、丁3、乃这5道题学生认同程度低于三分之一(33.3%)另外，在每道题目上初二年级的认同程度都高于小学六年级。按照认同程度，六年级学生的题目排列为Ts>T4>T6>Ti2>T1>Tx>T7>
由表2可见，从总体上看，年级主效应极其显著初二学生认同程度显著地高于六年级学生，学业水平的主效应不显著也不存在年级与学业水平的交互作用。就具体题目而言，T2、T5、T6、T7、T9、T12这6道题存在显著或极显著的年级差异，题
表3运算、思考、实用性
目T12存在显著的学业水平的差异，题目T4、Ti〇存在显著的年级和学业水平的交互作用.
33被试在数学涉及运算、思考、实用性三个维度上得分的方差分析
被试在数学涉及运算、数学涉及思维、数学的实用性三个维度得分的描述性分析及方差分析的结果见表3、表4。
由表3可见，就总体而言，被试在数学涉及运算维度上平均得分是10.06在从最低分3分到最高分15分的连续体上处于中上位置;在数学涉及思考维度上平均得分是31.26在从最低分8分到最高分40分的连续体上处于高分位置;在数学实用性维度上平均得分是37.32从最低分9分到最高分45分的连续体上处于高分位置。
由表4可见在数学涉及运算维度上，年级主效应不显著，学业水平的主效应显著，不存在年级与学业之间的交互作用；事后分析表明，中等生的得分最高，并且显著地高于后进生(p=0.014)在数学涉及思考维度上，年级主效应没有达到显著水平;学业水平的主效应不显著；不存在年级与学业水平之间的交互作用。在数学实用性维度上，年级主效应极显著，六年级学生的得分显著地高于初二学生;学业水平的主效应不显著;不存在年级与学业水平之间的交互作用。
4讨论
4.1学生数学知识观的基本情况分析
在假设性情境判断中，认同程度超过80%的3道题目所涉及的内容是长度测量、分数大小比较、用计算器进行加法计算这些都是属于数学课程中的基本内容。认同程度在50%一60%之间的题目所涉及的内容是估算估计、抽象的图形（正弦曲线）这些是属于数学课程中的选学内容或高年级的学习内容。认同程度低于三分之一的题目所涉及的内容是单纯的观察、生活中的判断选择、具体的图形，这些内容及其表述都
相当生活化，很少出现在数学教材中。
由于算术运算是数学课程中的一个基础内容，因此学生在判断各种假设性情境时，无论是估算、测量还是数字比较，都有很强的做运算的倾向，如果觉得这些情境中会有数学运算，就判断是做数学或用数学。这一点验证了黄毅英等人提到的学生认为数学是‘可计’的研宄结果|3)。例如，题目Ti、T7、Tn的内容都涉及到估计，但学生的认同程度分别属于三个水平，这说明学生在判断时并不认为估计本身就是数学，而主要是看是否涉及数字与运算。另外，值得注意的是题目T6表明学生己经普遍接受利用计算器来进行计算，而在黄毅英的研宄中不少学生不赞成用计算器计算是做数学，因为‘不是他自己算，是机器算出来的”。这说明随着时代的发展计算器与计算机己经进入数学课堂。另一方面，黄毅英等人研宄认为学生对几何图形的认识受到压抑;在本研宄中，学生对图形还是区别对待的，他们比较能够认同抽象的曲线而不是具体的拼图。
在数学认识的三个维度上，学生在很大程度上肯定了数学涉及思考、数学的实用性，表现出比较高的理论认识水平；而只是在中等程度上肯定数学涉及运算，这说明随着数学课程经验的积累，高年级小学生和初中生己经不再把数学狭隘地理解为等同于运算，或者说学生认识到涉及运算的是数学但是数学不等于运算。
在本研宄中，假设性情境判断与数学认识问卷结果之间存在某些不一致性。比如，虽然学生在回答问卷时相当强调数学与社会实践以及日常生活之间的联系，但在判断假设性情境时却倾向于把在日常生活有广泛应用的数学如记录、观察、数学决定等方面看成是与数学无关的。对此的解释是学生对假设性情境的判断折射出的是一种对数学知识性质的素朴、内隐的认识;学生对问卷题目的回答直接反映了一种对数学知识性质的理论上的认识。学生数学知识观作为一种个体认知的结果，未必是一种系统的整合的观念系统，至少存在两个层次的认识:一个层次是素朴、直觉、内隐的认识，不一定能够有意识地提取但却能支配数学行为，来源于个体对数学经验的表面的直觉的概括;另一个层次是理论上的认识，直接来源于学校教育。刘儒德等人在解释开放式问卷与封闭式问卷所反映出的数学知识观之间的不一致性时有过类似的分析|6]。
篇11：中小学生数学知识观的调查研究论文
在对假设性情境的判断上，初二学生的认同程度显著地高于六年级学生。这种年级效应直接验证了学生数学课程学习经验在很大程度上影响他们的数学知识观。小学生的数学课程内容主要是算术知识与简单的几何图形，而初二学生开始比较系统地学习代数、几何等数学学科基础知识，因而对数学知识的丰富性有更充分的认识.
在数学涉及运算和数学涉及思考两个维度上，初二学生的肯定程度都比六年级学生高但没有表现出显著差异。在数学实用性上初中学生的肯定程度却显著下降。对此可能的解释是:其一，初中的数学课程内容更具有抽象性。小学的算术知识与日常生活的联系很直接学生接触到数学语言与曰常语言比较接近;而初中学习的数学知识与日常生活之间直接联系比较少而且学生需要熟悉不同于日常语言的数学语言系统。其二，由于面临学生升入高中的考试压力等，我国初中数学教育的目的带有更多的功利性特点而远离其实用‘性。
43学业水平与学生数学知识观
许多研宄调查了学生的学习观、知识观与学习动机、学习过程及学业成绩之间的关系，结果都表明，学生是否具备正确的和成熟的学习观与他们的学业表现有非常密切的联系111。而在本研宄中，不管是假设性处境判断还是数学认识问卷的结果都不能表明学业水平对数学知识观的明确的影响。对于这种现象，我们的解释是:其一，不同学业水平学生的数学观的差异，主要表现在数学学习观与数学自我概念上而在数学知识观上则表现出较多的一致性其二，在特定的学校文化环境中，由教师和各个学生组成了学习共同体。学习共同体中的成员相互影响，形成某些共识。而这些共识一旦确立，就获得了很强的生命力，在很大程度上制约个体行为。学生的数学知识观正是这些共识中的一类内容。其三本研宄中假设性情境判断题目所涉及的数学知识难度并不高。如果增加数学知识的难度，学生学业水平对其判断的影响可能加强。比如，题目乃2存在学业水平的显著差异而内容涉及到的是正弦曲线。
5结论
51中小学生数学知识观形成及发展与学校数学课程内容紧密相关。同时，数学知识观既有素朴、直觉、内隐的认识层次也有理论上的认识层次。
52中小学生数学知识观存在差异。在对假设性情境的判断上，初二学生的认同程度显著地高于六年级学生；在数学认识问卷上，在数学涉及运算、数学涉及思考两个维度上不存在年级差异，在数学实用性上，六年级学生的肯定程度显著地高于初二学生。
53从总体上看，学生的学业水平与数学知识观的关系不大。
篇12：物理学中的数学知识教育论文
物理学中的数学知识教育论文
物理是一门对数学知识要求较高的自然学科。物理学的发展离不开数学，数学是物理学发展的根基。数学是学习物理的语言和工具，数学在学生物理认知结构的形成过程中起着十分关键的作用。数学所具有的高度概括性特征，为描述具有深刻内涵的物理概念和规律提供了最佳表达形式。数学所具有的简洁而又严密的逻辑思维方式，简化和加速了人们进行物理思维的进程。由于高中物理学习比初中物理更加注重定量分析，所以数学知识在物理题目分析和计算中的应用急剧增多。
“任何一位物理学家都同时也是一位数学家”，所以物理教师也必须加强与高中物理密切相关的数学知识的学习。当然除了教师自身以外，学生的数学知识储备和掌握情况也需要认真了解，因为老教师都知道到了高三制约学生提高物理成绩的往往是阅读理解能力和数学应用能力，而并不是物理概念规律的应用。所以，本人认为每一位高中物理教师都应在平时的教学活动中有意识地加强数学能力的培养，尤其督促基础较弱的学生在每个单元学习之前落实相关数学知识的掌握。笔者认为与高中物理密切相关的数学知识主要有以下几个方面：
一函数知识
函数是数学的纲，力和运动的关系是物理的纲。而力和运动的关系是因变量和自变量的关系也就是函数关系，所以数理不分家。最常用到的函数是三角函数，而力学中的力的`分解和力的合成都必须用到数学中的三角函数。此外，三角函数的运用在圆周运动的相关题目中也较多，特别是天体运动题目或带电微粒在磁场或电磁场中的运动，这时就需要用反三角函数来表示一部分数值。
二图象知识
函数图象——是物理应用最多的数学知识之一，如速度时间图象、伏安曲线、路端电压与负载的关系等。
数学中，我们从初中就开始学习直线，后来又学习抛物线、双曲线、椭圆等函数方程及图像。我们对各种曲线的性质非常清楚，如直线的斜率、截距等；抛物线的开口、顶点、对称轴和坐标轴的截距等；但是当我们学习物理时碰到类似的关系式时很多学生却不知所措。如：一个内阻为R的电源，其端电压U与电流I之间的关系就是一条简单的直线，从直线和坐标轴的交点上我们能得出电源电动势以及短路电流的大小，从斜率上还能分析出来负载电阻R的情况。虽然这个例子简单，但是还是有不少学生在分析的时候搞不清楚。可是如果放在数学上考他直线的性质，他肯定会做，但是放到物理上他就不会做了，所以这是一个很有意思的事情。
三计算能力
这是高中物理教师最头痛的一件事，从高一强调到高三，但往往事与愿违。现在的学生从初中有的甚至是小学开始就使用计算器，导致他们的计算能力低下，而高考是不能使用计算器的。在教学中我特别注意这一点，有时我会故意设计一些计算量较大的习题采用分组竞赛的方式来提高学生对计算的重视和计算能力。近几年高考有这样一个特点，物理理论的难度有所下降但数学计算能力有所提高，所以必要的计算速度和准确性的训练是非常必要的。
四其他知识
坐标系的应用——如平抛运动规律的推导、运动的分解和合成、力的分解和合成、物体运动位置的确定等；圆的知识——圆周运动、天体运动、磁偏转等；向量计算——平行四边形定则、三角形定则、矢量的处理与运算等；概率知识——能级跃迁光子种数的确定、热统计规律等；微积分知识——速度，加速度的概念理解、万有引力的理解、重心概念的理解等。
总之，还有很多没有提到的数学知识，希望各位老师多多评论与补充，希望教师在实际教学中重视数学知识应用能力的培养，争取让我们的学生能从教学中受益。根据现在的教学现状来看，数学的教学侧重抽象化（与实际问题结合的不多），而物理的教学侧重形象化（用到的数学知识不多）。若我们能把这两者的学习结合在一起，那么一定能相互促进、共同提高！
篇13：数学知识不确定性的价值及其实现论文
数学知识不确定性的价值及其实现论文
20世纪末21世纪初,人类知识观发生了重大变化：知识不再被认为是“真理”而被当作一个暂时的结论。它有待发展、修订与完善。正如波普尔（Pop?per,K.)所言：“所有的科学知识，不仅是科学知识,在实质上都是‘猜测性的知识’，都是我们对于某些问题所提出的暂时回答”。换句话说,人们认为知识具有不确定性。由于知识是教育的主要内容，因此知识观的变化必然带来教育的变化。本文主要讨论数学知识的不确定性及其教学问题。
一、数学知识的确定性及其教育局限
数学知识具有确定性,其发展也是沿着确定性的道路进行的,但这种确定性是有限度的。超过了这个限度,将不利于数学教育价值的实现。
(一)数学知识的确定性及其表征
1.数学知识确定性的涵义
通常认为，在所有知识中，数学是最确定的。正因为如此，某门学科能否称为“科学”，关键就看其能否被数学化（即能否运用数学的方法来进行研究）。数学成了衡量其它学科能否成为科学的标准。比如，社会学之所以成为一门科学，就在于孔德（Comte,A.)将实证（其中最主要是运用了数学的手段）方法引入了社会学。那什么是数学知识的确定性呢？简而言之,数学知识的确定性是指数学的知识结论是精确的,而且这一结论是可信的。数学知识的确定性既指数学知识是精确的,也指数学知识是客观的，还指数学知识是永恒的、超越时空的。
2.数学知识确定性的表征
(1)数学知识确定性的历史追溯
数学知识自产生起,就沿着确定性的道路向前发展。柏拉图（Plato)将世界划分为在的世界和变的世界，数学属于在的世界，是不变的。在《理想国》第七卷中，他认为数学是科学，强调“科学的真正目的是纯粹为了……关于永恒事物的，而不是关于某种有时产生和灭亡的事物的……知识”欧几里得（Euclid,A.)的《几何原本》被当作是确定性数学知识的代表作,全书包括23条定义、五条公理和五条公设。欧几里得认为公设是适用于一切科学的真理，公理是几何学中的真理，它们都是确定无疑、无须证明的。
中世纪,人们认为数学知识是上帝预先设计好的、确定的客观真理。在《哲学原理》中，笛卡尔（Descartes,R.)认为要使哲学能够统一所有科学，必须要用数学方法（后来他将这称为“普遍数学”，“绝不接受我没有确定为真的东西”。这句名言更是诠释了他对数学确定性的追求。可以说,在20世纪以前，数学发展的历史就是追求数学确定性的历史。
(2)数学知识确定性的权威定位
历代的数学权威都认为，数学是不变的真理；甚至认为“自然法则就是数学规则”。柏拉图认为“只有从理想世界是数学知识来理解现实世界的实在性和可知性,无疑这个世界是数学化的”。在他看来,只有掌握了数学，才能理解这个世界。因此,在柏拉图学园门口处挂着这样一个标牌：“不懂几何学者免进”。他认为，只有精通几何,才能够学习其它学科。毕达哥拉斯派甚至提出“万物皆数”，将音乐、行星运动归结为数的关系,认为数是万物的代表,万物都可归结到数中。拉普拉斯（Laplace,P.S.)认为“如果一个有理性的人在任何时刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切资料，那么他就能用一个方程式表达宇宙中最庞大的物体和最轻微的原子的运动”，表明在他看来方程式可以表达并解释宇宙间所有运动，这句话也被当作追求确定性的最高描述，即拉普拉斯方程式。兰德尔（Randall,J.H.)在《现代思想的形成》中指出“科学起源于用数学解释自然界这种信念,而且在很久以前这个信念就为经验证实了”，从中可以看出数学是近代科学形成的前提。由此可知,从古希腊起,确定性数学知识在所有知识中占据权威的地位。
(3)数学知识确定性的价值澄明
数学知识确定性的表征还表现为，将确定性的数学知识应用到其它学科中去,取得了巨大成就。
首先,对确定性数学知识的追求促进天文学、物理学等自然学科的发展。如高斯（Gauss,K.F.)在24岁时运用数学知识观察小行星谷神星，并预言了这颗行星的轨迹。伽利略（Galileo,G.)运用数学知识来描述和解释自由落体规律,促进物理力学的发展。牛顿（Newton,I.)受伽利略影响,将数学作为描述自然定理的一个工具,如在解释万有引力时,摒弃物理原理而只用数学原理。在《自然哲学的数学原理》一书中，对天文学、物理学和数学等学科知识的证明或求解,也都采取完全数学化的过程，以大量的数学分析为基础，用微积分和几何学知识来解释说明物体运动和宇宙体系,促进了物理学、天文学学科的发展。
其次,对确定性数学知识的追求也促进了音乐、哲学、统计学等人文学科和社会学科的发展。公元前600年,毕达哥拉斯学派用数学方法研究琴弦震动，建立了关于音乐的理论。康德（Kant,I.)认为数学是先天的理性真理，对数学真理的追求促进其哲学思想体系的形成‘康德的问题是揭示数学如何能先天被知道,而又能以无可更改的确定性地应用于所有经验”统计学中定量研究要求对数据进行精确的计算和分析。建筑设计要求有精确的数字比例以达到完美的效果。
(二）确定性数学知识的局限
作为自然科学的基础,数学知识确实具有客观性、准确性和普遍性。追求确定性数学知识本身没有什么错,错在“唯确定性”，即人们过于强调其确定性,排除了其它的可能性。在教学中，如果过于强调数学知识的确定性,就会严重限制教师的教和学生的学，不利于学生全面自由的发展。
1.限制了教师教学的主体性
众所周知,教师是教学过程的重要主体之一。他之所以成为主体,并不仅仅是说他决定着教学进度、教学方法、教学评价等,而且还指他是知识的主体。即是说，当教师可以在课堂上用自己的方式讲述自己的知识时,他才是一个真正的主体。过度重视确定性数学知识,容易使教师形成这样一种教学观:数学教学向学生演绎、解释数学真理。对于数学知识而言，教师没有权力和能力去改变，甚至不能有一点不同于书本的理解。在这样的教学中，教师虽然讲述着数学知识，但却是以他人规定好的方式讲述他人的知识。他不但没有成为知识的主体,反而被知识奴役。这种教学对教师来说是痛苦的，因为他不能自主,没有激情和创造性,并由此陷入一种恶性循环：“学术生涯使他感到痛苦,他要把同样的痛苦加诸于学生一这是对自我本身深感困扰的痛苦”。这样,教师无法在教学中进行反思和建立自我感,最终使自己与教学分离。
2.窄化了数学教学的内容
由于数学本身被认为是确定性知识的典范，同时加上人们通常认为基础教育的主要任务是向学生传授基础知识（基础知识一般是指具有确定结论的知识），于是确定性的数学知识几乎成了数学教学的唯一内容,或者说不确定的数学知识仅仅是教学内容的点缀。
过度强调数学知识的确定性，限定了数学教学内容。一是将数学教学的内容限定为那些确定性的内容,不确定性的数学知识没有资格成为数学教学的内容,或者说所占比重非常小。二是教师在讲授确定性的内容时,不敢加以引申，仅仅局限于那个内容。不仅数学内容的范围被限制了，内容的深度也被限制了。在讲授数学知识时,教师认为数学答案就是唯一的，因此很少在课堂上与学生深度探讨数学问题。数学知识对于学生来说,就像是库存的展品，学生站在展品面前欣赏,但却无法触摸其真正的内涵，无法看到知识的多元意义。其实，对每个学生来说，“知识的现实意义是多元的、多样的、意义的，实现方式也是无限的”。
3.不利于学生创造力的培养
“创造力是一种产生新颖事物的能力，是一种解决问题的能力，是一种破除传统的能力。”培养学生的创造力是数学教育的重要目标。新数学课程标准指出：“数学教学活动,要引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维”。M确定性数学知识观,不仅无益于,反而会阻碍学生创造力的培养。
由于将数学知识当作是客观的、永恒的，因此人们不仅不敢质疑它，而且认为没有必要质疑它。然而“知识原本是他人对世界的一种看法，把知识当作绝对真理意味着承认他人看法的唯一合法性而否定了自己看法的必要性和合理性。”13教学过程中，过于强调数学知识的确定性,会导致学生被动地“接受”数学公式、定理与答案。因此方面学生不能形成数学批判思维能力；另一方面，学生思想被禁锢，不敢大胆想象,而批判与想象是创造的前提。正如杜威（Dew-ery,J.)所说“教育最大的错误在于认为一个人只学习他当时所学的特定事物”。
二、数学知识的不确定性及其价值
数学知识的确定性在19世纪出现了断裂，因为在这个世纪,人们发现数系、几何等知识都具有不确定性。数学知识不确定性的发现,对数学、对教育都具有重要意义。
(一)数学知识不确定性的涵义
数学知识的不确定性是指数学知识具有开放性和模糊性等特征。数学知识的开放性是指,数学知识并不是静止不变的，而是一个动态变化发展过程；它有可能被推翻。数学知识的模糊性是指数学结论本身具有不精确性,如概率论、模糊数学和灰色数学等,都具有模糊性。
数学发展到19世纪,就陷入自相矛盾的境地。数学知识不再是非此即彼的，而是亦此亦彼的。数学的.发展也超越了其固有的逻辑路线，这从数系、函数和几何等板块的发展过程中可以看出。
在数系中，无理数、复数的出现,表明数具有不确定性。以前，整数、分数和小数是确定的数。毕达哥拉斯派认为线段的长度与它所对应的原子数目之间的比例是一一对应的，因此直角三角形的三边之比都应是整数比，_些例子也证明它的“正确性”，如3:4：5、：12:13、：15：17等直角三角形。然而后来毕达哥拉
斯学生发现当两直角边均为1时,斜边为槡,这样斜边既不是整数,也不是分数，在线段中无法找到一个具体的点,历史上将槡称作不可公度比。后来人们就将类似于在的数统称为无理数。
传统意义上，人们将函数定义为：设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数,x叫做自变量。然而正切函数的出现,表明当x为90°时,y无限接近但永远不会等于一个值,y成为一个不确定的值。
几何学中，欧氏几何一直被当作是唯一正确的几何学，定理和公设是确定不移的真理,然而许多数学家却发现它并不是确定无疑的。例如在欧氏几何中三角形内角和等于180°,鲍耶（Bolyai,J.)和罗巴切夫斯基（Lobachevsky,N.I.)却证明三角形内角和小于180°,即双曲几何。同时黎曼（Giemann,G.B.)也得出结论:三角形内角和大于180°,即黎曼几何。双曲几何和黎曼几何（两者统称为非欧几何）的出现,表明三角形内角和等于180°并不是确定无疑的真理。
(二)数学知识不确定性的价值
1.为数学学科的繁荣提供了可能
正是由于数学知识本身的不确定性,促使数学不断发展。如欧氏几何第五公设（即平行公设）：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线无限延长后在这一侧相交。1826年，罗巴切夫斯基提出一条与之相反的公理:过平面上一已知直线外的一点至少可以引出两条直线与该已知直线不相交。1854年，黎曼有得出一个相反的命题:过直线外一点不能引出与该直线不相交的直线。因此,正是由于第五公设陈述上的模糊性促进非欧几何的出现。
再如18世纪以后,人们发现微积分也存在着逻辑上的局限性，如数学家也无法明确给极限和无穷小下定义。然而正是由于这一局限促使欧拉（Euler,L.)提出了不定积分和定积分的概念,柯西（Cauchy,A.L.)给出了极限、连续、导数、微分和积分等一系列微积分基本概念的严格定义。
2.为教师教学创造提供了空间
不确定数学知识观,使教师认识到数学知识具有相对性、条件性、主观性。教师在教学过程中，可以谈自己对数学的理解与认识,也可以结合自己或学生的经验来讲解数学知识。这样,教师就不再仅仅是数学知识的忠实实施者,而是数学知识的创造者,就容易实现自己、学生和数学知识真正相遇。数学课堂就变成一个开放的学习空间，每个人可以对某个数学问题发表自己的见解,师生可以围绕着某个不确定的、有待解决的数学问题,共同探讨数学真理,形成教师、学生和知识融于一体的学习共同体。数学教学也不再仅仅是教师将数学真理以“展品”的形式展现在学生的面前、控制课堂的过程，而是教师将数学知识融入自身价值观中，促使教学与自身融为一体,这样的数学教学才有可能是好的教学。
3.激发学生学习探究欲望
数学知识的不确定性使学生认识到世界上并不存在永恒的数学真理，不要盲信数学定理。于是,他们才有可能对数学产生怀疑,进而去探究;才会破除自己固有的僵硬思维,开拓学生的视野。学生在质疑数学、研究数学的过程中，会获得一种自信,认为知识是可以被自己改变的。
在陈景润读中学的时候,沈元老师给学生讲了一道困扰人们200多年的数学难题一哥德巴赫猜想，他恰当的引出数学界比喻“数学是自然科学皇后，‘哥德巴赫猜想’则是皇后王冠上的宝石”引起了陈景润的兴趣。虽然沈元老师也没有解出这道题,但他促使陈景润对这道题保持着好奇心，_直研究这道题,最终发表论文《大偶数表示一个素数及一个不超过2个素数的乘积之和》,引起世界轰动。因此,有时不确定性的数学知识可以激发学生探究欲望,使学生获得自信。
三、不确定性数学知识价值的实现策略
如上所述,数学知识的不确定性具有重要的教育价值。那么在实际教育中如何实现这些价值值得我们去研究。
(一)突出确定性知识成立的条件
强调数学知识的不确定性,并不是说在教学中不教确定性的数学知识,而是说要换一种思维去教授确定性知识。其实，任何数学知识要正确，都是有条件的。在教学过程中，教师要强调数学知识确定性成立的前提和条件。某个知识正确，只是在某个特定条件下正确；若超出了这个条件,其正确性就受到了挑战。首先,在课堂上教师要告诉学生数学定理的成立是需要条件的。如在初中讲数的平方这一规律时定要告诉学生只有在实数范围内，一个数的平方才是正数。其次,告诉学生即使现在这些数学知识是准确的、唯一的，也不代表它就永恒不变。在教学中，可以适当增加数学史的知识,告诉学生这些知识后来引起的争议,使学生能够用动态的眼光看待数学知识。
(二）适当增加课程内容的不确定性
多尔（Doll,W.E.Jr.)认为“课程应具有‘适量’的不确定性、异常性、无效性、模糊性”。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出课程基本理念“课程内容的呈现应注意层次性和多样性。”M因此，国家和地方在制定教材时，以及教师在教学时,要适当地多增加一些不确定性的、有争议的、能引起学生认知冲突的数学知识^“编制课程大纲或教学计划应该采用一种一般的、宽松的、多少带有一定的不确定的方式”。M如在教学不同学段，可适当增加不等式、不定方程、负数、估算、统计与概率、无理数等不确定数学知识的比例，引导学生用“亦此亦彼”的思维模式去思考问题。国外的某些做法值得借鉴。如在我国老
师教授时（-8)+,老师告诉我们将它看作是-8的开立方，因此结果为-2。而在国外,老师认为这题有3种不同的结果3“第一种方法与我国解法是相同的，将（-8)+看作是-8的开立方，因而结果为-2。第二种将^当作是I,于是(-8)+=(-8)+=槡(-8)=^=2。第三种观点认为（-8)^是说不清的，因为每个人可以有自己不同的解法”。这样,学生在计算负数的指数时,答案是不确定的。
(三）注重数学教学的开放性
开放性教学在教学中发挥着重要的作甩“开放性教学是为学生提供一个发现和创新的环境和机会,为教师提供一个培养学生解题能力、自控能力和应用数学知识能力的有效途径。”19因此，教师的教学应具有开放性。这里的开放性,首先是指教师在教授数学时,不一定非得将结论教给学生;其次,要注重选择一些没有确定答案的数学内容;再次,要选择一些条件并不是十分明朗的数学问题让学生思考;最后，还可以创造一些只有部分条件的问题，让学生补充相关条件,并提出问题。如小学低年级可以设计这样的题型:羊圈里有8只羊?这样每个学生补充的条件不同，最终得出的结果也就不一样。同时,教师可以自己结合生活经验进行教学，重视数学经验在教学中的作用，培养学生直觉思维和求异思维能力。如在课堂上让小学生设计如何测量土豆的体积,不同学生有不同测量方法，一个学生也可以有多种方法；让学生自己描述回家路线图，这样题目就与学生实际生活联系，且每个人回家路线的不同,得到的答案必然不同。
(四）注重评价方式个性化
既然数学知识具有不确定性,那么对学生的评价就不能局限于统一的标准。要在评价中突出学生的主体地位,注重学生数学学习的个别差异性“新评定走出了甄别的误区，评定尊重学生的个别差异和个性特点，问题要求具有相当的开放性,允许学生依据自己的兴趣和特长作出不同形式和内容的解答。”M只有根据每个学生实际情况进行评价,才能够发现每个学生数学学习的差异性,才能够因材施教,也才能引导学生对数学充满怀疑,才有利于学生发散思维的形成与发展。
《素质教育在美国》一书中作者讲到在一次数学对数测试中，美国一个学生矿矿在考试时,在对数这一题上画了一只咬原木的河狸,手中拿着一块木头（在英语中Log除了表示对数,还可以表示原木），并写上“Logsarefun!”(木头真有趣味）。矿矿试卷本身得了100分,老师又给试卷上的画“原木和河狸”加了0.2分,这0.2分表明老师对矿矿数理逻辑、形象思维和自信心的充分肯定。这位教师把学生当作独特的个体,这种评价更具有指导性作用，激励学生“探究”数学而不是“学习”数学。
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