考研数学 中值定理及其应用(（锦集9篇））由网友“huojuju”投稿提供，以下是小编整理过的考研数学 中值定理及其应用，欢迎阅读与收藏。
篇1：考研数学 中值定理及其应用
考研数学 中值定理及其应用
考研数学复习中，中值定理证明题是让很多考生头疼的一个点,解这类题的关键在构造辅助函数，辅助函数构造好了，题目便能迎刃而解。对此汤家凤老师在《无师自通2013考研数学复习大全》中不光详细列出和讲解了中值定理相关的基础知识，而且列了专题讨论和讲解了辅助函数的构造问题并附有大量例题。本文总结其中几点如下，供考生参考。
考研数学考察的中值定理有：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理(即微分中值定理)、柯西中值定理和泰勒中值定理。这四个定理之间的联系和区别要弄清楚，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。除泰勒定理外的'三个定理都要求已知函数在某个闭区间上连续，对应开区间内可导。柯西中值定理涉及到两个函数，在分母上的那个函数的一阶导在定义域上要求不为零，柯西中值定理还有一个重要应用――洛必达法则，在求极限时会经常用到。泰勒公式中的x0=0时为泰勒公式的特殊情况，为麦克劳林公式，常见函数的麦克劳林展开式要熟记，在求极限和级数一章中有很重要的应用。
证明题中辅助函数的构造方法：
一、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间的差距为一阶。
二、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间相差超过一阶。
三、结论中除含ξ，还含有端点a,b。
四、结论中含两个或两个以上的中值。
大学网才研频道。篇2：考研数学定理证明
考研数学定理证明
考研数学定理证明不一定会考，或者说是好像近几年也就是的考题出过一道证明题(拉格朗日中值定理的证明)。但准备时最好把课本上几个重要定理(比如中值定理)的证明看下，做到会自己证明。还有就是几个证明过程或方法比较奇特的定理，要看懂证明。一个可以应付直接考证明题，还可以借鉴证明思路帮助自己解其他题目，算是开扩思路吧，总之看下会有好处的，而且也不是很多，比照课本自己总结下吧，我去年就是这么整理的。数学140+
定理的证明属于比较难的，可以不看。很多人看都看不懂，或者看懂了也不会用。
但是定理的结论和应用一定要会。
考研里的证明题属于压轴的，大部分人都做不出来，所以不用担心。只要把基本盘拿下，你的分数就应该能过国家线。
祝你成功。
呵呵 非常理解你的处境。我觉得这个问题不难解决，主要有两个办法。下面帮你具体分析一下，呵呵～
一。旁听师弟师妹的数学课～优点：不仅经济，便利，而且对老师的水平有保证～因为都是你们学校的嘛，你可以事先充分打听好哪个老师哪门课讲得好，然后还能比较容易获取课程进度，这样就可以专门去听自己不懂得那块，针对性强矮甚至你下课后还可以就不懂得习题跟老师请教一下～就本人这么多年的上学经验，老师对“问题学生”都是欢迎的，至少不排斥～缺点：由于不是专门针对考研复习的'讲授，有些东西可能不是很适合～举个例子吧，比如将同样的知识，高一时候和高三第一轮复习时，讲的侧重点就不一样～(但是个人觉得这不算什么大缺点～嘿嘿～)
二。报名参加专门的考验辅导班。优点显而易见。老师肯定都是有多年考研辅导经验的，指导复习当然针对性强，有事半功倍的效果。缺点就是，嘿嘿，学费问题。你所在地的学费情况我就不清楚了，你可以自己去查一下～
还有一句话想说，其实这两个办法也不是对立的，你可以在学校里去旁听老师的课，把第一轮扎扎实实的复习完，放假回家去报名参加个辅导班，利用假期有针对性的做第二轮复习～相信两轮复习下来，你的长进一定不蝎呵呵～
我就说这么多，要是以后想起来了会再来补充的～最后祝你如愿考上理想院校哦～加油
也不知道一楼是哪个名校数学系的研究生，广州大学吗?这么有才华!听他的话等楼主没考到130哭的地方都找不到。
考研每一门学科都要复习好几轮，也不知道楼主考什么专业，数学几?
基础差的话第一轮复习要弄清楚定理及其证明过程。如果应届本科生又是学理科，平时成绩不错，高数，线性分都很高的话第一轮可以直接看教材做题。
篇3：罗尔(Rolle)中值定理的一个应用
摘 要 罗尔中值定理是一个重要的微分学基本定理，它揭示了可导函数的极值点的本质特合理地利用它，则可方便地证明某些恒等式。
关键词 罗尔中值定理 极值 极值点 可导函数 恒等式
中图分类号：O172 文献标识码：A
罗尔中值定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理统称为微分中值定理。其中罗尔中值定理是微分学基本定理中的一个重要的定理，它也是拉格朗日中值定理的一个特殊形式。它的几何意义在于：若函数在某区间上满足罗尔定理的三个条件，则在该区间内至少存在一点，函数在该点的切线必与X轴平行。正是基于这一点，在教学中人们一般主要介绍它在判别某个方程是否有解上的`应用。但在辅导学生作考研准备时发现，理解中值定理的本质，利用它也可以巧妙地来证明一些特殊的恒等式。现介绍如下：
篇4：罗尔(Rolle)中值定理的一个应用
这三个例题均为某大学的考研题。从例3、例4及例5可以看出，若能深刻理解罗尔中值定理的本质特征，并能巧妙地建立辅助函数（这也是解决这类问题的关键所在），就能利用它方便地证明一些特殊的恒等式。当然，这实质上也还是方程根的存在性问题，只是表示方法有所不同而已。
注释
① 华东师范大学数学系.数学分析（第四版）.高等教育出版社：122.
②③刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（上册）（第三版）.高等教育出版社：212，213.
篇5：微分中值定理与导数的应用习题
§4.1 微分中值定理
1． 填空题
（1）函数f(x)?arctanx在[0, 1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是
4??
?
．
（2）设f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?5)，则f?(x)?0有 3 个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,5)中．
2． 选择题 （1）罗尔定理中的三个条件:f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，是f(x)在(a,b)内至少存在一点?，使f?(?)?0成立的（ B ）．
A． 必要条件 B．充分条件 C． 充要条件 D． 既非充分也非必要条件
（2）下列函数在[?1, 1]上满足罗尔定理条件的是（ C ）．
1?
?xsin, x?0
A. f(x)?e B. f(x)?|x| C. f(x)?1?x D. f(x)?? x
? x?0?0,
（3）若f(x)在(a,b)内可导，且x1、x2是(a,b)内任意两点，则至少存在一点?，使下式成
x
2
立（ B ）．
A． f(x2)?f(x1)?(x1?x2)f?(?)
??(a,b)
B． f(x1)?f(x2)?(x1?x2)f?(?)?在x1,x2之间 C． f(x1)?f(x2)?(x2?x1)f?(?)x1???x2 D． f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(?)x1???x2
3．证明恒等式：arctanx?arccotx?
?
2
(???x??)．
11
??0，所以f(x)为一常数．
1?x21?x2
证明： 令f(x)?arctanx?arccotx，则f?(x)?设f(x)?c，又因为f(1)?
?
2
，
n?arccotx?故 arctax
?
2
(???x??)．
4．若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，其中a?x1?x2
?x3?b，证明:在(x1,x3)内至少有一点?，使得f??(?)?0．
证明：由于f(x)在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)可导,且f(x1)?f(x2)，根据罗尔定理知，存在?1?(x1,x2)， 使f?(?1)?0． 同理存在?2?(x2,x3)，使f?(?2)?0． 又f?(x)在[?1,?2]上 符合罗尔定理的条件，故有??(x1,x3)，使得f??(?)?0．
x2x3
??0有且仅有一个实根． 5． 证明方程1?x?26
1x2x3
?证明：设f(x)?1?x?， 则f(0)?1?0,f(?2)???0，根据零点存在定理至
326
少存在一个??(?2,0)， 使得f(?)?0．另一方面，假设有x1,x2?(??,??)，且x1?x2，使
1
f(x1)?f(x2)?0，根据罗尔定理，存在??(x1,x2)使f?(?)?0，即1????2?0，这与
2
12x2x3
1?????0矛盾．故方程1?x???0只有一个实根．
226
6． 设函数f(x)的导函数f?(x)在[a,b]上连续，且f(a)?0,f(c)?0,f(b)?0，其中c是介
于a,b之间的一个实数． 证明： 存在??(a,b), 使f?(?)?0成立.
证明： 由于f(x)在[a,b]内可导，从而f(x)在闭区间[a,b]内连续，在开区间(a,b)内可导．又因为f(a)?0,f(c)?0，根据零点存在定理，必存在点?1?(a,c)，使得f(?1)?0． 同理，存在点?2?(c,b)，使得f(?2)?0．因此f(x)在??1,?2?上满足罗尔定理的条件，故存在??(a,b)， 使
f?(?)?0成立．
7. 设函数f(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导. 试证:至少存在一点??(0,1), 使
f?(?)?2?[f(1)?f(0)].
证明： 只需令g(x)?x，利用柯西中值定理即可证明.
8．证明下列不等式
2
sinx
?cosx． x
证明： 设f(t)?sint?tcost，函数f(t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，且
（1）当0?x??时，
f?(t)?tsint, 故f(x)?f(0)?f'(?)(x?0), 0???x, 即
sinx?xcosx?x?sin??0 (0?x??)
sinx
?cosx． 因此， 当0?x??时，x
a?baa?b
?ln?（2）当 a?b?0时，． abb
证明：设f(x)?lnx，则函数在区间[b,a]上满足拉格朗日中值定理得条件，有
f(a)?f(b)?f'(?)(a?b),b???a
1a1111'
因为f(x)?，所以ln?(a?b)，又因为b???a，所以??，从而
xb?a?b
a?baa?b
?ln? ． abb
§4.2 洛毕达法则
1． 填空题 （1） lim
cos5x
5x?
?
2
cos3x
??3
ln(1?1
（2）)
xlim
???arctanx
? （3）lim11x?0(x2?
xtanx)=1
3 （4）lim(sinx)x
x?0
?
?2．选择题
（1）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A． limnnlim
lnnn??nlim
1n??
?e
?e
n??n?1
B． lim
x?sinxx?0x?sinx? lim1?cosx
x?01?cosx
??
x2sin111C． lim
x2xsin?cos
x?0sinx?limxx不存在 x?0cosx
D． lx1
x?i0ex=limx?0e
x?1
（2） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）
A． limx2x?0sinx B． xlim?0?(1x)tanx C． limx?sinxx??x
D． xlimxn
???ex
3． 求下列极限
limxm?am
（1）x?axn?an
．
解： limxm?ammxm?1mx?axn?an=lim
x?anxn?1?n
am?n
． 2x?2?x（2）lim?2x?0x
2． 解： lim2x?2?x?22xln2?2?xln22x(ln2)2?2?x(ln2)22
x?0x
2=limx?02x=limx?02=(ln2)．
（3）lim
sinx?tanx
．
x?0x3
1
x?(?x2)
解：limsinx?tanxx?0x3＝limtanx(cosx?1)x?0x3?limx?0x3＝?12． （4） limex?sinx?1
．
x?0(arcsinx)2
解：limex?sinx?1
ex?sinx?1ex?cosxex2＝x?0(arcsinx)limx?0x
2＝limx?02x?lim?sinxx?02?12．
（5）limx?xx
．
x?11?x?lnx
解： (xx)??xx(1?lnx)， xx
?xx(1?lnx)2?xx
1lim
x?x
xx?11?x?lnx＝lim1?x(1?lnx)x?1＝lim
?1?
1
x?1x
?1x2
?limx?1
[xx?2(1?lnx)2?xx?1]?2．
（6） lim(1x?0x?1ex?1
)． 12解：lim11x?0(x?ex?1)?limex
?x?12x1x?0x(ex?1)?limx?0x
2?2
（7） 1
tanx
xlim?0
?
(x
) ．
11
?limtanxlnx
?lim
lnx
limlim
sin2x
解：tanx
x?0?
x?0?cotx
xlim?0
?
(x
)?e?e
?e
?xx?0
??csc2x?e
x?0?x?1．
（8）limln(1x
3
x???
?2)ln(1?
x
)． 2xln2
解： x33xln(1?2x)xxlim???ln(1?2)ln(1?x)=xlim???xln(1?2)?3xlim???x?3xlim
???1
=3ln2xlim2
x???1?2x
=3ln2．
（9） lin??
n．
解： 因为limx?e
xlim1??x
lnx
xlim
1
??x
x??
?e
?1，所以nlim??
n=1．
§4.3函数的单调性与曲线的凹凸性
1． 填空题
（1） 函数y?4x2?ln(x2)的单调增加区间是(?
11
,0)?(,??)，单调减少区间22
11
(??,?)?(0,)．
22
（2）若函数f(x)二阶导数存在，且f??(x)?0,f(0)?0，则F(x)?是单调 增加 ．
（3）函数y?ax2?1在(0,??)内单调增加，则a?0．
（4）若点（1，3)为曲线y?ax3?bx2的拐点，则a??凸区间为(1,?)．
2． 单项选择题
（1）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A. y?2 (??,??) B. y?e (??,0) C. y?lnx (0,??) D. y?sinx (0,?)
（2）设f?(x)?(x?1)(2x?1)，则在区间(,1)内（ B ）． A. y?f(x)单调增加，曲线y?f(x)为凹的 B. y?f(x) 单调减少，曲线y?f(x)为凹的 C. y?f(x)单调减少，曲线y?f(x)为凸的 D．y?f(x)单调增加，曲线y?f(x)为凸的
（3）f(x)在(??,??)内可导, 且?x1,x2,当 x1?x2时, f(x1)?f(x2),则( D ) A. 任意x,f?(x)?0 B. 任意x,f?(?x)?0 C. f(?x)单调增 D. ?f(?x)单调增
（4）设函数f(x)在[0,1]上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) B. f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) C. f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) D. f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0) 2． 求下列函数的单调区间 （1）y?e?x?1．
解：y??e?1，当x?0时，y??0,所以函数在区间[0,??)为单调增加； 当x?0时，y??0，所以函数在区间(??,0]为单调减少．
（2）y?(2x?
xx?x
x
f(x)
在0?x???上x
39，b?，曲线的凹区间为(??,1)，
22
1
2
10?3
解：y??x(x?1)，
3
当x?1，或x?0时，y??0,所以函数在区间(??,0]?[1,??)为单调增加； 当0?x?1时，y??0，所以函数在区间[0,1]为单调减少．
（3）y?ln(x??x2)
1
1?
解： y??
x?x2
2
x??x
?
1?x
2
?0，故函数在(??,??)单调增加．
3． 证明下列不等式
（1）证明： 对任意实数a和b, 成立不等式证明：令f(x)?
|a?b||a||b|
??．
1?|a?b|1?|a|1?|b|
x1，则f?(x)??0， f(x)在[ 0 , ?? )内单调增加. 2
1?x(1?x)
于是, 由 |a?b| ? |a|?|b|, 就有 f( |a?b| )?f( |a|?|b| ), 即
|a?b||a|?|b||a||b||a||b|
?????
1?|a?b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|1?|b|
（2）当x?1时, lnx?
2(x?1)
． x?1
'
证明：设f(x)?(x?1)lnx?2(x?1)， f(x)?lnx?
1
?1，由于当x?1时，x
11
?2?0, 因此f?(x)在[1,??)单调递增, 当 x?1时, f?(x)?f?(1)?0, 故f(x)在xx
[1,??)单调递增, 当 x?1时, 有f(x)?f(1)?0.故当x?1时,f(x)?(x?1)lnx?2(x?1)?0,
2(x?1)
因此lnx?．
x?1f??(x)?
x3
（3）当 x?0时，sinx?x?．
6x3x2
?0，证明：设f(x)?sinx?x?, f?(x)?cosx?1?当x?0，f??(x)?x?sinx?0， 26
所以f?(x)在[0,??)单调递增, 当 x?0时, f?(x)?f?(0)?0, 故f(x)在[0,??)单调递增, 从x3
而当 x?0时, 有f(x)?f(0)?0. 因此当 x?0时，sinx?x?．
6
??
4． 讨论方程x?sinx?k(其中k为常数)在(0,)内有几个实根．
22???
解：设?(x)?x?sinx?k, 则?(x)在[0,]连续, 且?(0)??k,???k，
222
由??(x)?1?
?
2
cosx?0，得x?arccos
2
?
为(0,
?
2
)内的唯一驻点．第一文库网
22?
?(x)在[0,arccos]上单调减少，在[arccos,]上单调增加．
??2
?222?4
故?)???k为极小值，因此?(x)在[0,]的最大值是?k,最
2??2
22?4
小值是??k．
?2
?2?2?4
（1） 当k?0,或k??时,方程在(0,)内无实根；
2?2
2?2?4
（2） 当??k?0时,有两个实根；
?2
22?4
（3） 当k??时，有唯一实根．
?2
(1,?10)5． 试确定曲线y?ax3?bx2?cx?d中的a、b、c、d，使得x??2处曲线有水平切线，
为拐点，且点(?2,44)在曲线上．
解： y??3ax2?2bx?c,y???6ax?2b，所以
?3a(?2)2?2b(?2)?c?0?
6a?2b?0?
?
a?b?c?d??10?
32??a(?2)?b(?2)?c(?2)?d?44
解得： a?1,b??3,c??24,d?16．
6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间
x
2
x?1x2?12x3?6x
解： y??1?2, y???2, 23
(x?1)(x?1)
令y???0,得x?0，当x??1时y??不存在．
当?1?x?0或x?1时, y???0,当x??1或0?x?1时, y???0．
x
故曲线y?x?2在(??,?1)?(0,1)上是凸的, 在区间和(?1,0)?(1,??)上是凹的，
x?1
曲线的拐点为(0,0)．
（1）y?x?
（2）y?(2x?5)x2拐点及凹或凸的区间
，y??? 1
当x?0时，y?,y??不存在；当x??时，y???0．
2
解：y??
故曲线在(??,?)上是凸的, 在(?
1211
,??)上是凹的，(?,?32)是曲线的拐点, 22
xx
? 2?
xx1x11x
证明：令f(x)?sin?, 则f?(x)?cos?, f??(x)??sin．
2?22?42
xx
当0?x??时, f??(x)?0, 故函数f(x)?sin?的图形在(0,?)上是凸的, 从而曲线
2?
y?f(x)在线段AB（其中A(0,f(0)),B(?,f(?)）的上方，又f(0)?f(?)?0, 因此f(x)?0,
xx即sin?．
2?
7．利用凹凸性证明: 当0?x??时, sin
§4.4 函数的极值与最大值最小值
1． 填空题
（1）函数y?x2x取极小值的点是x??
23
2
13
1． ln2
（2） 函数f(x)?x?(x?1)在区间[0,2]上的最大值为f(
12
)?
2
2
，最小值为
f(0)??1 ．
2．选择题
（1） 设f(x)在(??,??)内有二阶导数，f?(x0)?0，问f(x)还要满足以下哪个条件，则
f(x0)必是f(x)的最大值？（ C ）
A． x?x0是f(x)的唯一驻点 B． x?x0是f(x)的极大值点 C． f??(x)在(??,??)内恒为负 D． f??(x)不为零
（2） 已知f(x)对任意y?f(x)满足xf??(x)?3x[f?(x)]2?1?e?x，若
f?(x0)?0 (x0?0)，则（ B ）
A. f(x0)为f(x)的极大值 B. f(x0)为f(x)的极小值 C. （x0,f(x0))为拐点 D. f(x0)不是极值点, （x0,f(x0))不是拐点
（3）若f(x)在x0至少二阶可导, 且lim
x?x0
f(x)?f(x0)
??1,则函数f(x)在x0处( A ) 2
(x?x0)
A． 取得极大值 B． 取得极小值 C． 无极值 D． 不一定有极值
3． 求下列函数的极值 （1） f?x??x?
32/3
x． 2
解：由f?(x)?1?x
?
13
?0，得x?1．
1?4
f??(x)?x3,f''(1)?0，所以函数在x?1点取得极小值．
3
（2）f(x)?x．
1x
1
(1?lnx)， x2
令y??0得驻点x?e，当x?(0,e)时，y??0，当x?(e,??)时，y??0．
解：定义域为(0,??)，y?e
1lnxx
, y??x
1x
因此y(e)?e为极大值．
32
4． 求y?2x?3x?12x?14的在[?3,4]上的最大值与最小值．
解：y(?3)?23, y(4)?132．
由y??6x2?6x?12?0，得x?1, x??2．
而y(1)?7,y(?2)?34, 所以最大值为132，最小值为7．
5． 在半径为R的.球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V最大． 解：设圆锥体的高为h, 底半径为r,故圆锥体的体积为V?由于(h?R)2?r2?R2，因此V(h)?
1
e
1
? r2h， 3
1
? h(2Rh?h2) (0?h?2R)， 3
14R222
由V?(h)?? (4Rh?3h)?0，得h?，此时r?R．
333
由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在(0,2R)的内部取得. 现在V?(h)?0在(0,2R)内只有一
个根,故当h?
6. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km, A点到火车站B的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD, 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B与工厂C间的运费最省, 问D点应选在何处？
解: 设AD?x? B与C间的运费为y, 则 y?5k400?x2?3k(100?x) （0?x?100）， 其中k是某一正数． 由 y??k(
4R22, r?R时, 内接锥体体积的最大． 33
5x400?x
2
?3)?0? 得x?15?
1
? 其中以y|x?15?380k为最小? 因25
由于y|x?0?400k? y|x?15?38k0???y|x?100??此当AD?x?15km时? 总运费为最省．
7． 宽为b的运河垂直地流向宽为a的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?
解： 问题转化为求过点C的线段AB的最大值. 设木料的长度为l, AC?x,CB?y，木料与河岸的夹角为t，则x?y?l，且
x?
acost,y?bsint, l?acost?bsint t?(0,?2)．
则
l??
asintcos2t?bcost
sin2t
， 2
2
3
由l??0得tant?3b
, 此时l?(a3?b3)2a
，
223
故木料最长为l?(a3
?b3
)2．
§4.5 函数图形的描绘
1．求y?x3
(x?1)2
的渐近线.
x3
解：由 lim??1(x?1)2???，所以x?1为曲线y?f(x)的铅直渐近线．
x因为 limyx2x3
x??x?limx??(x?1)2?1,limx??(y?x)?limx??(x?1)2
?x??2
所以y?x?2为曲线y?f(x)的斜渐近线．
第四章 综合练习题
1．填空题
（1） lim1ln(1?1
)
x?0xsinx?xlim???arctanx?．
（2） 函数y?x?ln(x?1)在区间(?1,0)内单调减少，在区间(0,??)内单调增加． （3） 曲线y?1
x?ln(1?ex)的渐近线是x?0和y?0． （4）lim(tanx)cosx?．
x??
2?0
2． 求下列极限
（1） lim?tanx??sinx
x?0xln(1?x)?x2 解：lim?tanx??sinxtanx?sinx1
x?0xln(1?x)?x2＝limx?0x[ln(1?x)?x]??tanx??sinx ＝11
2lim1?cosx
ln(1?x)?x?limtanx
x＝11?cosxsinx
x?0x?02lim＝x?0ln(1?x)?x2limx?01 1?x?1
＝?1sinx
2limx?0x(1?x)??1
2．
(?sin1?1cos11
（2） limxxx)cosx
x??1 (ex?a?ea)2sin1
x
(?sin1?1111111111
解：limcos)cos(?sin?cos)cos?sin?cos
x??=lim=lim11
(ex?a?ea)2sin1x??2ax21x??
xe(e?1)sinxe2a(1
x)21
x
1111
=12cosx?2cosx?1
3sin1x
e2alim??1． x???33e2a
x4
3． 求证当x?0时， x?12
2x?ln(1?x)．
证明： 令f(x)?ln(1?x)?x?1
2x2, 则
f?(x)?1
1?x?1?x?x2
1?x,
11
当x?0时, f?(x)?0，故f(x)在[0,??)单调增． 当x?0时，有f(x)?f(0)?0，即
12x?ln(1?x)． 2
4． 设f(x)在[a,b]上可导且b?a?4，证明：存在点x0?(a,b)使f?(x0)?1?f2(x0).
?f?(x)|F(x)|?证明： 设F(x)?arctanf(x), 则F?(x)?，且． 221?f(x)
F(b)?F(a)?F?(x0), 即 由拉格朗日中值定理知, 存在x0?(a,b)，使b?ax?
?
f?(x0)F(b)?F(a)|F(b)|?|F(a)|??????1． 2b?ab?a441?f(x0)
5． 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值, 且??f(a)?g(a), f(b)?g(b), 证明： 存在??(a,b),使得f??(?)?g??(?)．
证明： 设f(x),g(x)分别在x1,x2?(a,b)取得最大值M， 则f(x1)?g(x2)?M, 且f?(x1)?g?(x2)?0． 令F(x)?f(x)?g(x)．
当x1?x2时, F(a)?F(b)?F(x1)?0, 由罗尔定理知, 存在?1?(a,x1),?2?(x1,b), 使 F?(?1)?F?(?2)?0, 进一步由罗尔定理知, 存在??(x1,x2)，使F??(?)?0，即f??(?)?g??(?)
当x1?x2时, F(x1)?M?g(x1)?0,F(x2)?f(x2)?M?0，由零点存在定理可知，存在?1?[x1,x2]，使F(?1)?0． 由于F(a)?F(b)?0，由前面证明知, 存在??(a,b)，使F??(?)?0，即f??(?)?g??(?)．
1?1有且仅有一个正的实根． x2
11证明：设f(x)?kx?2?1． 当k?0，显然2?1只有一个正的实根．下考虑k?0时的xx6． 设k?0,证明方程kx?
情况．
先证存在性： 因为f(x)在(0,??)内连续，且limf(x)???，limf(x)???，由零点存在定x?0x???
1?1至少有一个正的实根． 2x
再证唯一性：假设有x1,x2?0，且x1?x2，使f(x1)?f(x2)?0，根据罗尔定理，存在
22??(x1,x2)?(0,??)，使f?(?)?0，即k?3?0，从而k?3?0，这与k?0矛盾．故方理知，至少存在一个??(0,??)，使f(?)?0，即kx???
程kx?
1?1只有一个正的实根． x2
327． 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8时开始工作，在t小时之后，生产出Q(t)??t?9t?12t个产品．问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？
2解：因为x(t)?Q?(t)??3t?18t?12,x?(t)?Q??(t)??6t?18, 令x?(t)?0,得t?3． 又
当t?3时，x?(t)?0．函数x(t)在[0,3]上单调增加；当t?3时，x?(t)?0，函数x(t)在[3,??)上单调减少．故当t?3时，x(t)达到最大, 即上午11时这个工人的工作效率最高．
12
篇6：试论积分第一中值定理
试论积分第一中值定理
以微积分基本定理为桥梁,利用实变函数论中的一些重要结果与函数逼近论中的Weierstrass第一定理及其Bernstein证明,在条件减弱的`情形下,获得了比通常的积分第一中值定理更强的结论,且试图揭示积分第一中值定理与微分中值定理间深刻的联系.
作 者：陈奕俊 CHEN Yi-jun 作者单位：华南师范大学数学科学学院,广东广州,510631 刊 名：华南师范大学学报（自然科学版） ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SOUTH CHINA NORMAL UNIVERSITY（NATURAL SCIENCE EDITION） 年，卷(期)： “”(3) 分类号：O172 关键词：微积分基本定理 微分中值定理 积分第一中值定理 Weierstrass第一定理篇7：考研数学高等数学定理定义
考研数学高等数学定理定义
考研数学复习已经开始，考研高等数学基本定理定义需要在备考初期扎实掌握。下面为大家提供2015考研数学高等数学第一章到第八章定理定义汇总。
第一章 函数与极限
1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.
5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
单调有界数列必有极限。
6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。
不连续情形：1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。
如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。
定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。
定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。
定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。
第二章 导数与微分
1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。
2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续;函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。
第三章 中值定理与导数的应用
1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a
2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a
3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f’(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加;(2)如果在(a，b)内f’(x)
如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。
6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。
在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的.驻点却不一定是极值点。
定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为正;当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为负;当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。
定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)当f’’(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。
7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。
定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f’’(x)>0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凹的;(2)若在(a，b)内f’’(x)
判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。
在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。
第四章 不定积分
1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x)
篇8：微分中值定理的推广形式
微分中值定理的推广形式
刘期怀
（桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林541001）
摘要：函数的可微性与定义域的凸性是中值定理成立的两个本质条件，本文我们将微分中值定理推广到多元可微函数的情形。最后，我们将介绍微分中值定理的一个统一公式，该公式适用于所有的Lipschitz连续函数。
关键词：微分中值定理；Lipschitz连续；Clarke梯度
基金项目：本文获得桂林电子科技大学数学与计算科学学院教学改革重点项目资助
1 引言
微分中值定理是高等数学微分学中最重要的定理之一，也是数学分析中的基本内容。关于微分中值定理的研究有很多方面，主要涉及它的推广形式及其应用。在文献[1]中，作者利用平面几何中曲线之间的相切关系不依赖于坐标轴的选取这一基本事实对微分中值定理进行了几何上的解释；文献[2]把微分中值定理推广到连续的一元凸（或者凹）函数上去，给出了微分中值定理更加一般的形式。众所周知，欧式空间上的凸（或者凹）函数具有局部Lipschitz连续性。下文中我们首先将微分中值定理推广到多元可微函数上去，并且通过结果指出，函数的可微性与定义区域的凸性是中值定理成立的两个本质条件。最后，我们将介绍微分中值定理的一个统一公式，该公式可适用于所有的Lipschitz连续函数。
在本文中，我们始终假设A为欧式空间Rn上的开集，函数u（x）为A上的实值连续函数。对于任意给定的x，y∈A，记［x，y］A为连接x，y线段上所有的点构成的.集合。
2 多元函数微分中值定理
从定理1的证明来看，ξ的值可不在线段［x，y］的两个端点上取到。
3 Lipschitz连续函数中值定理的统一形式
参考文献：
[1]曾可依。从几何的角度看微分中值定理[J].大学数学，，（02）：108-111.
[2]王良成，白海，杨明硕。关于Lagrange微分中值定理的逆问题[J].大学数学，，（05）：140-143.
[3]P. Cannarsa and S. Carlo，Semi-concave functions，Hamilton-Jacobi equations，and optimal control [M]. Springer，.
[4]F. H. Clarke，Optimization and non-smooth analysis [M].Wiley，New York，1983.
篇9：考研数学：熟练掌握定理公式及解题技巧
考研数学：熟练掌握定理公式及解题技巧
考研辅导专家提醒考生，经过上一轮的复习，大家对知识点已经有了一个相当的把握，不过存在的一个问题就是知识点比较孤立，之间的联系不强，而且复习中往往有遗忘。
不管采用哪种复习模式，本阶段都要开始进行归纳与总结，考研辅导专家提醒考生，在复习过程中，大家一定要记录下自己在做题和理解中所犯的错误和心得，以备在考前一周大脑全程再现。有些错误是带有习惯性的，你当时更正了，时间一长就忘，考试时就容易再犯。
熟悉考研题型
考研强化冲刺阶段的主要目标是熟悉考研题型，加强知识点的前后联系，分清重难点，让复习周期尽量缩短，把握整体的知识体系，熟练掌握定理公式和解题技巧。考研辅导专家提醒考生，经过上一轮的复习，大家对知识点已经有了一个相当的把握，不过存在的一个问题就是知识点比较孤立，之间的联系不强，而且复习中往往有遗忘。这些都不可怕，因为考生前面工作都很投入，现在回头再重新找回原来的状态应该花不了太长时间，而且如果真的忘得比较严重，反而说明在相关的知识点上我们本身就存在不足，这也可以为我们是否进行针对复习提供依据。考研辅导专家提醒考生，考试大纲对内容的要求有理解、了解、知道三个层次，对方法的要求有掌握、会两个层次，一般地说，要求理解的内容，要求掌握的方法，是考试的'重点。在历年考试中，这方面考题出现的概率较大。
错误带有习惯性
在同一份试卷中，这方面试题所占有的分数也较多。希望以“猜题”致胜的考生，往往要在这方面下功夫，一般说来，也确能猜出几分，但遇到在主要内容中包含着次要内容的综合题时，“猜题”便行不通了。这里所强调的突出重点，不仅要在主要内容和方法上多下功夫，更重要的是去寻找重点内容与次要内容间的联系，以主带次，用重点内容提挈整个内容。主要内容理解透了，其他的内容和方法迎刃而解。即抓出主要内容不是放弃次要内容而孤立主要内容，而是从分析各内容的联系中，从比较中，自然地突出主要内容。不管采用哪种模式，本阶段都要开始进行归纳与总结，一定要记录下自己在做题和理解中所犯的错误和心得，以备在考前一周大脑全程再现。有些错误是带有习惯性的，你当时更正了，时间一长就忘，考试时就容易再犯。
◇编辑推荐・2014年考研复习：政治 英语 数学 专业课・ 历年考研真题汇总 2014考研报考指南・ 考研网上辅导热招！ ・2014各高校招生简章 ・考研院校录取数据对比 复试信息
【考研数学 中值定理及其应用（锦集9篇）】相关文章：
考研数学复习备考每天三步骤2022-09-02
高数二期末考试题2022-04-29
考研数学复习几大注意事项2022-05-07
考研高数知识点梳理及指导2022-05-14
努力拼搏向考研 攻克数学解答题2023-06-22
考研冲刺数学 模拟题齐上阵2022-08-07
学好考研数学 从良好习惯开始2022-10-02
考研数学终极夺分高招?解答题2022-05-07
考研数学 线代解题的思维定势2023-01-26
考研数学考场答题技巧2023-12-08