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基本不等式及其应用

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基本不等式及其应用

篇1：基本不等式及其应用

基本不等式及其应用

摘要：基本不等式在高中数学中具有极其重要的地位，从知识体系角度说，基本不等式不仅本身就是一个重要的数学知识模块，而且能与高中数学多个分支知识进行融合；从思维能力角度说，基本不等式是创造性与严谨性的有机结合、发散性思维与收敛性思维的辩证统一.本文从基本不等式的三个限制条件�D�D“一正，二定，三等”入手，结合典型例题，探究基本不等式的运用，让学生充分经历知识的形成过程，从而形成自己对重难点的突破策略，培养学生的归纳、总结能力. 关键词：基本不等式限制条件最值应用一、主干知识 1.基本不等式：≤或a+b≥2. （1）基本不等式成立条件：a＞0，b＞0; （2）等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号. 2.基本不等式的拓展：ab≤，其中a，b∈R. 二、深入探究，加强理解问题：设x＞0，求函数y=x+的最小值. 解析：∵x＞0“一正” ∴x+≥2=2“二定” 当且仅当x=，即x=1时，等号成立.“三等” 故函数y=x+的最小值为2. 点评：在应用基本不等式时，要把握三个限制条件，即“一正�D�D各项都是正数；二定�D�D和或积为定值；三相等�D�D等号能取得”，这三个条件缺一不可．探究1：设x＜0，求函数y=x+的最大值. 解析：∵x＜0，∴-x＞0， ∴x+=-（-x+）≤-2=-2，当且仅当-x=，即x=-1时，等号成立. 故函数y=x+的最大值为-2. 变式：设x≠0，求函数y=x+的值域. 解析：∵x≠0，∴|x|＞0， ∴|x+|=|x|+≥2=2，当且仅当|x|=，即x=±1时，等号成立. ∴|y|≥2，∴y≤-2或y≥2，即函数y=x+的.值域为（-∞，-2］∪［2，＋∞）. 另解：用分类讨论的方法（x≠0，分x＞0和x＜0两种情况）. 点评：培养学生等价转化的思想，如何创造条件满足“一正�D�D各项都是正数”. 探究2：设a＞1，求a+的最小值. 解析：∵a＞1，∴a-1＞0， ∴a+=a-1++1≥2+1=3，当且仅当a-1=，即a=2时，等号成立. 故a+的最小值为3. 变式：设0＜a＜1，求的最大值. 解析：∵0＜a＜1，∴1-a＞0， ∴=?≤?=，当且仅当a=1-a，即a=时，等号成立. 故的最大值为. 点评：运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，即满足“二定�D�D和或积为定值”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件. 探究3：设t≥2，求t+的最小值. 分析：本题不满足限制条件：“三相等�D�D等号能取得”，故不能用基本不等式. 解：由双钩函数y=t+的图像及性质，易知函数y在［2，+∞）上是增函数，当t=2时，t+的最小值为2. 变式：已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求+的最小值. 错解：由已知，1=x+y≥2?圯≤?圯≥2 ∴+≥2=≥8 ∴+的最小值8. 错因：多次用到基本不等式，能否取等号，当且仅当x=y，=，又x+y=1，但x，y无解. 正解：∵x＞0，y＞0， ∴+=（+）（x+y）=7++≥7+2=7+4 当且仅当=又x+y=1，即x=2-3，y=4-2时，等号成立. 故+的最小值为7+4. 知识迁移：已知0＜x＜1，求+的最小值. 解析：∵0＜x＜1，∴1-x＞0， ∴+=（+）?（x+1-x）=7++≥7+4，当且仅当=，即x=2-3时，等号成立. 故+的最小值为7+4. 点评：运用基本不等式求最值时，应考虑到等号成立的条件.有些题目在拼凑过程中，注意通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次. 三、高考回放 A组 1.（湖南高考10）若x＞0，则x+的最小值为?摇 ?摇. 2.（重庆高考12）已知t＞0，则函数y=的最小值为?摇 ?摇. 3.（重庆高考7）若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=（） A.1+ B.1+ C.3 D.4 A组命题意图：主要考查灵活应用基本不等式求最值的知识，解决此类问题时，一定要注意“一正二定三等”，三者缺一不可. B组 1.（20重庆高考7）已知a＞0，b＞0，则++2的最小值是（） A.2 B.2 C.4 D.5 2.（20四川高考11）设a＞b＞0，则a++的最小值是（） A.1 B.2 C.3 D.4 3.（20天津高考12）已知loga+logb≥1，则3+9的最小值为___________. B组命题意图：主要考查应用基本不等式探求最值问题，解答过程中经过几次的放缩才能达到目的，充分体现了试题思维的层次性. C组 1.（年天津高考9）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b=3，a+b=2，则+的最大值为（） A.2 B. C.1 D. 2.（年山东高考14）已知x，y∈R，且满足+=1，则xy的最大值为___________. 3.（年浙江高考16）若实数x、y满足x+y+xy=1，则x+y的最大值是___________. C组命题意图：主要考查基本不等式的推广ab≤（）（a，b∈R）在求最值中的应用. 从近几年的高考试题来看，利用基本不等式求函数的最值、证明不等式、解决实际问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；客观题突出“小而巧”，主要考查基本不等式取等号的条件及运算能力；主观题考查较为全面，在考查基本运算能力的同时，又注重考查学生的逻辑推理能力及等价转化、分类讨论等思想方法．预测高考仍将以求函数的最值为主要考点，重点考查学生的运算能力和逻辑推理能力．参考文献：［1］孙翔峰主编.三维设计高考总复习新课标.光明日报出版社，2011.4. ［2］杜志建主编.�D2011新高考5年真题汇编.新疆青少年出版社.

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基本不等式及其应用装原版全文

篇2：基本不等式

课题: §3.4

【学习目标】

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【能力培养】

培养学生严谨、规范的学习能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；及其在求最值时初步应用

【教学难点】

基本不等式等号成立条件

【教学过程】

一、课题导入

基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，教师引导学生从面积的关系去找不等关系。

二、讲授新课

1．问题探究——探究图形中的不等关系。

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形abcd中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形efgh缩为一个点，这时有。

2.总结结论：一般的，如果

（结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导）

3．思考证明：（让学生尝试给出它的证明）

4．特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，

通常我们把上式写作：

①从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明：（略）

②理解基本不等式的几何意义

探究：对课本第98页的“探究”（几何证明）

注:在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

5、例：当时，取什么值，的值最小？最小值是多少？

6、课时小结

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（ ≥ ）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将进一步学习它们的应用).

7、作业：

课本第100页习题[a]组的第1、2题

板书设计

课题: §3.4基本不等式

一、两个不等式

二、例题及练习

【教后小结】

篇3：几个不等式的应用

几个不等式的应用

引述几个初等的不等式,给出了这些不等式在求极限、极值时的作用,使一系列问题得到直接的'处理.并沟通了一些不等式之间的相互关系.

作者：饶明贵 Rao Minggui 作者单位：河南工程学院,郑州,451191 刊名：河南科学 ISTIC英文刊名：HENAN SCIENCE 年，卷(期)： 26(8) 分类号：O177.2 关键词：贝努里不等式几何算术平均不等式不等式的应用

篇4：基本不等式说课稿

各位评委老师，上午好，我选择的课题是必修5第三章第四节《基本不等式》第一课时。关于本课的设计，我将从以下五个方面向各位评委老师汇报。

一、教材分析

◆本节教材的地位和作用

◆教学目标

◆教学重点、难点

1、本节教材的地位和作用

“基本不等式” 是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究。在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

2、教学目标

（1）知识目标：探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。

（2）能力目标：培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。

（3）情感目标：培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

3、教学重点、难点

根据课程标准制定如下的教学重点、难点

重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。

难点：基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。

二、教法说明

本节课借助几何画板，使用多媒体辅助进行直观演示。采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动。运用生活中的实际例子，让学生享受解决实际问题的乐趣。课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。通过师生和谐对话，使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。

三、学法指导

为更好的贯彻课改精神，合理的对学生进行素质教育，在教学中，始终以学生主体，教师为主导。因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析，指导学生解决问题，感受知识的形成过程，培养学生数形结合的意识和能力，让学生学会学习。

四、教学设计

◆运用国际数学家大会会标引入

◆运用分析法证明基本不等式

◆不等式的几何解释

◆基本不等式的应用

1、运用20国际数学家大会会标引入

如图，这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标。会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。（展示风车）

正方形ABCD中，AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=__,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，它们的面积之和是S’=_

从图形中易得，s≥s’，即

问题1:它们有相等的情况吗？何时相等？

问题2:当 a,b为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）

一般地，对于任意实数a、b,我们有

当且仅当（重点强调）a=b时，等号成立（合情推理）

问题3:你能给出它的证明吗？（让学生独立证明）

设计意图

（1）运用年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。

（2）运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系，引入基本不等式很直观。

（3）三个思考题为学生创造情景，逐层深入，强化理解。

2、运用分析法证明基本不等式

如果 a>0,b>0 ,

用和分别代替a,b.可以得到

也可写成

（强调基本不等式成立的前提条件“正”）（演绎推理）

问题4:你能用不等式的性质直接推导吗？

要证 ①

只要证 ②

要证② ,只要证 ③

要证③ ,只要证 ④

显然， ④是成立的。当且仅当a=b时，不等式中的等号成立。

（强调基本不等式取等的条件“等”）

设计意图

（1）证明过程课本上是以填空形式出现的，学生能够独立完成，这也能进一步培养学生的自学能力，符合课改精神；

（2）证明过程印证了不等式的正确性，并能加深学生对基本不等式的理解；

（3）此种证明方法是“分析法”,在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解，此处有必要让学生初步了解。

3、不等式的几何解释

如图，AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连AD,BD,则CD= ,半径为

问题5: 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）

设计意图

几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。

4、基本不等式的应用

例1.证明

（学生自己证明）

设计意图

（1）这道例题很简单，多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明，能够练习“分析法”证明不等式的过程；

（2）学生能够加深对基本不等式的理解，a和b不仅仅是一个字母，而是一个符号，它们可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一个多项式；

（3）此例不是课本例题，比课本例题简单，这样，循序渐进，有利于学生理解不等式的内涵。

例2:（1）把36写成两个正数的积，当两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当两个正数取什么值时，它们的积最大？

（让学生分组合作、探究完成）

设计意图

（1）此题目利用基本不等式求最值，包含正用，逆用，体现了基本不等式的应用价值；

（2）强调利用不等式求最值的关键点：“正”“定”“等”;

（3）有利于培养学生团结合作的精神。

练习:（1）若a,b同号，则

（2）P113 练习1.2

设计意图

巩固基本不等式，让学生熟悉公式，并学会应用。

小结：（让学生畅所欲言）

设计意图

有利于发挥学生的主观能动性，突出学生的主体地位。

作业：必做题：P 113 A组3、4

选做题：

设计意图

（1）必做题是让学生巩固所学知识，熟练公式应用，强化学生基础知识、基本技能的形成；

（2）选做题达到分层教学的目的，根据学生的实际情况，对他们进行素质教育。

时间安排：引入约5分钟

证明基本不等式约10分钟

几何意义约10分钟

知识应用约15分钟

小结约5分钟

五、板书设计

分析法证明

几何解释

例题讲解

小结

作业

例2

以上是我对这节课的教学设计，恳请各位评委老师指导，谢谢！

篇5：基本不等式教案

【教学目标】

1、知识与技能目标

(1)掌握基本不等式，认识其运算结构;

(2)了解基本不等式的几何意义及代数意义;

(3)能够利用基本不等式求简单的最值。

2、过程与方法目标

(1)经历由几何图形抽象出基本不等式的过程;

(2)体验数形结合思想。

3、情感、态度和价值观目标

(1)感悟数学的发展过程，学会用数学的眼光观察、分析事物;

(2)体会多角度探索、解决问题。

【能力培养】

培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程。

【教学难点】

基本不等式等号成立条件。

【教学方法】

教师启发引导与学生自主探索相结合

【教学工具】

课件辅助教学、实物演示实验

【教学流程】

SHAPE MERGEFORMAT

【教学过程设计】

创设情景，引入新课

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直角三角形的面积和与大正方形的面积，你会得到怎样的相等和不等关系?

赵爽弦图

1.探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。

2.得到结论：一般的，如果

3.思考证明：你能给出它的证明吗?

证明：因为

当

所以，，即

4.基本不等式

1)特别的，如果a>0，b>0，我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：

2)从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明：

要证 (1)

只要证 (2)

要证(2)，只要证 a+b- 0 (3)

要证(3)，只要证 ( - ) (4)

显然，(4)是成立的。当且仅当a=b时，(4)中的等号成立。

3)理解基本不等式的几何意义

篇6：基本不等式教案

一、教材背景分析

1.教材的地位和作用

本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用;从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法(如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等)在各种不等式的研究中均有着广泛的应用;从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体.

本节是复习课，不仅应让学生进一步理解概念，还要掌握应用基本不等式求最值，体会基本不等式在实际生活中的指导作用。

2.学情分析

在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算(即加法和乘法)所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质.

另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值问题中的作用.

3、教学重难点：

教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程;用基本不等式解决一些简单的最值问题.

教学难点：回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程;基本不等式中等号成立的条件;应用基本不等式解决实际问题.

二、教学目标

1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式，再利用教材中的“探究”回顾基本不等式的几何意义，通过基本不等式的回顾，进一步让学生体会和感悟形数统一的思想方法;

2、通过对教材“探究”再探究，引导学生拓展基本不等式，体会基本不等式的应用;

3、通过对教材中例题的变式教学，让学生体会和感悟应用基本不等式求最值应该注意的问题，解决基本不等式在实际中的应用;

4、利用电脑屏幕的情景，激发学生学习数学的热情，进一步培养学生的数学应用能力;

5、通过学生自主构建知识网络结构图，深化对基本不等式的理解。

三、教学对策

本节作为基本不等式的复习课，一是借助弦图和几何画板演示，让学生回顾基本不等式的概念形成过程，体验基本不等式模型的观察、分析、猜想和概括等系列思维活动过程，复习基本不等式的代数结构特征，体会数学抽象思维的方法;二是通过基本不等式的证明方法的探索和不同角度的欣赏，学生能用文字语言、符号语言和图形语言表述基本不等式的结构特点，归纳得出基本不等式中等号成立的条件及其使用条件，进一步体会数形结合的思想方法;三是要引导学生用基本不等式解决常见的最值和实际问题，进一步体验数学建模的过程;

四、教学过程

(一)温故知新，回顾基本不等式.

情景引入：

【投影显示】赵爽弦图。

问题1、请同学们重温“赵爽弦图”，比较正方形ABCD的面积S和里面的四个小三角形面积之和S’的大小，看可以得到怎样的不等关系?

(通过对“赵爽弦图”的观察，使学生由形识数，从几何图形中得到重要不等式的代数形式：

当且仅当，a=b时，取得等号。)

问题3、那么在使用基本不等式时，对实数a、b有什么要求呢?

( )

下面请大家打开课本第98页，看探究中的图3.4-3。

问题5、让D点动起来，请大家指出等号成立的条件.

链接1：几何画板—赵爽弦图

篇7：基本不等式说课稿

尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《基本不等式》。

接下来我将从教材分析、学情分析、教学重难点、教学方法、教学过程等几个方面展开我的说课。

一、说教材

我认为要真正的教好一节课，首先就是要对教材熟悉，那么我就先来说一说我对本节课教材的理解。《基本不等式》在人教A版高中数学必修五第三章第四节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。

二、说学情

教材是我们教学的工具，是载体。但我们的教学是要面向学生的，高中学生本身身心已经趋于成熟，管理与教学难度较大，那么为了能够成为一个合格的高中教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生思维能力已经非常成熟，能够有自己独立的思考，所以应该积极发挥这种优势，让学生独立思考探索。

三、说教学目标

根据以上对教材的分析以及对学情的把握，结合本节课的知识内容以及课标要求，我制定了如下的三维教学目标：

（一）知识与技能

掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。

（二）过程与方法

经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。

（三）情感态度价值观

在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。

四、说教学重难点

并且我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的`。那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：基本不等式的形式以及推导过程。而作为高中内容，命题的严谨性是必要的，所以本节课的教学难点是：基本不等式的推导以及证明过程。

五、说教法和学法

那么想要很好的呈现以上的想法，就需要教师合理设计教法和学法。根据本节课的内容特点，我认为应该选择讲授法，练习法，学生自主思考探索等教学方法。

六、说教学过程

而教学方法的具象化就是教学过程，基于新课标提出的教学过程是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。我试图通过我的教学过程，打造一个充满生命力的课堂。

（一）新课导入

教学过程的第一步是新课导入环节。

我先PPT出示的是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的。

提问：你能在这个图中找到不等关系么？

引出课题。

通过展示会标并提问的形式，一方面可以引发学生的好奇心和求知欲，激发学生的学习兴趣；另一方面直入课题，可以很好的过渡到今天的主题内容：推导基本不等式。

（二）新知探索

接下来是教学中最重要的新知探索环节。

（1）通过导入的问题，学生思考：通过赵爽弦图推可以发现哪些不等关系呢？

学生小组探究：利用赵爽弦图推导出基本不等式。

之后请学生把证明过程进行板书：

（2）“探究”，几何证明。

分析法是从结果入手，由果索因；几何法是由几何中的不等关系，进行证明。此类不等式的证明分析法理解简单，几何法稍难。学生通过两种证明过程，加深基本不等式的理解，还练习了证明方法。

至此本节课的主要教学内容已经完成，学生在我层次性问题的引导下，一步步通过自己的思考和探索，发现基本不等式，通过不同的方法证明了基本不等式。重点得以突出，难点得以突破。

（三）课堂练习

当然一节课只得出结论还是不够的，作为一节数学课要及时对知识进行应用。所以我设计了如下两道课堂练习：

（2）一段长为36m的篱笆围成矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时菜园面积最大？最大面积是多少？

这样的问题能够兼顾到本节课的所有主要内容，并且问题具有层次性，能让学生初步感知基本不等式应用中“积定和最小，和定积最大”的规律，为后续基本不等式的应用做好了铺垫，利于学生的思维发展。

（四）小结作业

在课程的最后我会提问：今天有什么收获？

引导学生回顾：基本不等式以及推导证明过程。

本节课的课后作业我设计为开放性问题：思考还有什么方法能够证明基本不等式？可以利用书本资料，也可以上网查阅资料。

这样的作业设置能够有效激发学生思考，不限制学生的思维，真正做到以学生为主体，让学生学会自主学习。

篇8：基本不等式说课稿

大家上午好！我是来应聘高中数学的一号考生，我今天说课的题目是《基本不等式》，下面我将从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学过程，说板书设计六个方面展开我的说课，下面开始我的说课！

一、说教材。

1、教材的地位和作用：

《基本不等式》是人教版高中数学必修五第三章第四节的内容。本节主要内容是基本不等式的证明和简单应用。它是在学完不等式性质，不等式的解法及线性规划等知识的基础上，对不等式的进一步研究，在不等式的证明和求最值的过程中有着广泛的应用。

2、教学目标：

（1）知识与技能：学生能写出基本不等式，会应用基本不等式解决相关问题。

（2）过程与方法：学生通过观察图形，推导、证明等过程，培养观察、分析、归纳、总结的能力。

（3）情感态度与价值观：学生领略数学的实际应用价值，感受数学学习的乐趣。

3、教学重难点：

重点：理解基本不等式的本质并会解决实际问题。

难点：基本不等式几何意义的理解。

二、说学情。

为了更好地实现教学目标，我将对学生情况进行一下简要分析。对于高一年级的学生来说，他们对不等式的知识有了一定的了解，但对基本不等式的理解运用能力不足。这一阶段的学生正处在由抽象思维到逻辑思维的过渡期，对图形的观察、分析、总结可能会感到比较困难。这都将成为我组织教学的考虑因素。

三、说教法。

科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教育学的和谐完美与统一。根据本节课的特点并结合新课改的要求，在本节课中，我将采用讲授法、演示法、引导启发法等教学方法。

四、说学法。

教师的教是为了学生更好地学，结合本节内容，我将学法确定为自主探究法、分析归纳法。充分调动学生的眼、手、脑等多种感官参与学习，既培养了他们的学习兴趣，又使他们感受到了学习的乐趣。

五、说教学过程。

首先，我将利用多媒体战士国际数学家大会的会标，让同学们边观察边思考：图上有哪些相等或不等关系？通过展示来激发学生的学习兴趣。接下来是新授环节。

我将会标抽象成几何图形，正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，让学生自主探究，比较三角形面积之和与正方形面积的大小，从而让学生自主推导出不等式a2+b2>2ab，再通过引导启发，让学生自己将结论补充完整。接下来，我会提问：你们能给出它的证明吗？给两分钟的时间让学生自主探究。然后用讲授法给出基本不等式的常用形式ab≤a+b（a>0，b>0），并给出具体的证明过程，强调等号成立的条件。基本不2

等式的证明是本节课的重点，先通过学生的自主探究，再通过我的讲授，学生可以更快地理解这一知识点。接下来是探究基本不等式的几何意义。先由学生自主思考两分钟的时间，然后通过我的讲授，让学生理解基本不等式的几何意义，最后通过几何画板动态演示，让学生更直观地感受基本不等式的几何意义。这样就突破了基本不等式的几何意义这一难点。接下来是巩固练习环节。

这个环节，我将利用两个例题对刚才所讲的知识进行巩固练习。

例1：证明（1）x+1≥2（x>0）x

（2）a+1≥2a（a≥0）

例2：（1）用篱笆围一个面积为100m的矩形菜园。问矩形长宽各为多少时，所用篱笆最短？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问长宽各为多少时面积最大？第一个例题不是课本例题，它比课本例题简单，这样循序渐进，有利于学生理解不等式的内涵，此处a、b不仅仅是一个字母，而是一个符号，可以是具体数字，也可以是一个多项式。对于这个例题，多数学生会仿照课本上的思路用分析法进行证明。

第二个例题是利用基本不等式求最值进而解决实际问题，体现了基本不等式的应用价值，而且例题包含了公式的正向应用和逆向应用，锻炼了学生的灵活使用能力。

下面是小结环节。我将让学生用两分钟的时间回顾本节课所学习的内容，并自己总结出本节的知识点。这样不但能巩固本节所学知识，而且能培养学生分析、归纳、总结的能力。

然后是布置作业。为了在课后对所学的知识进行巩固，我将布置课后习题第2题，第4题作为练习题。

篇9：基本不等式导学案

基本不等式导学案

均值不等式

【使用说明】1.自学课本P69―P71,仔细阅读课本，课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇不会问题再回去阅读课本； AA完成所有题目，BB完成除（**）外所有题目，CC完成不带（*）题目。加?为重点内容，加△为次重点内容。2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏。4.必须掌握的方法：运用均值不等式求函数的最值；数学思想：整体代换思想，数形结合思想.

一、学习目标：1.熟练掌握均值不等式，提高运用均值不等式解题的能力；

2.自主学习，合作交流，探究均值不等式应用的规律及方法； 3.激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度。

重点：均值不等式；难https://点：均值不等式的运用。

二、问题导学：

?问题1：均值定理是如何叙述的？你会证明吗。

思考1：均值定理的适用范围是什么？成立的条件是什么？

思考2：“当且仅当”的含义是什么？

思考3：什么是算术平均值？什么是几何平均值？

思考4：均值不等式有几个变形？

思考5：“任意两个同号的数的算术平均值不小于它们的几何平均值”的说法是否正确？为什么？

△问题2：重要不等式a

?b2?2ab与均值不等式的区别与联系？