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篇1：第六届全国周培源大学生力学竞赛出题思路及说明
第六届全国周培源大学生力学竞赛出题思路及说明
1 竞赛及试题简介 第六届周培源全国大学生力学竞赛(个人赛)于5月20日在全国各地考区同时进行,有近万名考生报名参赛,是历届力学竞赛中规模最大的一次.
作 者：高云峰 GAO Yunfeng 作者单位：清华大学航天航空学院,北京,100084 刊 名：力学与实践 ISTIC PKU英文刊名：MECHANICS IN ENGINEERING 年，卷(期)： 29(4) 分类号： 关键词：篇2：第6届全国周培源大学生力学竞赛团体赛的出题与比赛
第6届全国周培源大学生力学竞赛团体赛的出题与比赛
1 团体赛内容介绍 本次团体竞赛分为4个环节,每个环节都要设计制作不同的装置,完成指定的'要求,每个环节均涉及理论力学和材料力学的一些基本知识.
作 者：高云峰 GAO Yunfeng 作者单位：清华大学航天航空学院,北京,100084 刊 名：力学与实践 ISTIC PKU英文刊名：MECHANICS IN ENGINEERING 年，卷(期)：2007 29(6) 分类号： 关键词：篇3：从大学生力学竞赛看周培源的故事
清华才子
198月28日，周培源出生在江苏宜兴一个开明绅士家庭。而就在一年前，清政府签订了丧权辱国的《辛丑条约》，中国再次陷入了被列强瓜分、帝国主义凌辱的时代乱潮。幼小的周培源，就在那动荡不安、民不聊生的时局中成长。
10岁开始，周培源随祖父离开宜兴老家，辗转于南京、上海读书，16岁时入读上海圣约翰附中。在摩登都市读书的周培源常常在公园看到“华人与狗不得入内”的牌子，心中别是一番滋味，而一次相当屈辱的经历更让他坚定了振兴中华之宏愿。
那天，周培源和同学在外滩草地上散步，竟然被一个外国看守轰了出来，他非常气愤地问：“我们为什么不能在这上面走走?”那名看守漫不经心而又轻蔑地说：“中国有一天强大了，你们就可以在这上面走了。”这番经历让周培源刻骨铭心，在感到愤怒的同时，也意识到只有中国强大了，才能不受外国人的凌辱，自己的人民才能在自己的国土上随意行走。
19，志在拯救中国的五四运动爆发，周培源毫不犹豫地加入到游行请愿的队伍中，贴标语、喊口号，他始终冲在最前列。上海圣约翰附中也因此开除了他。
失去学籍的周培源并没有放弃，他回到宜兴乡下，躲进一座寺庙继续潜心读书。一天在浏览报纸时，他无意间看到清华学校在江苏省招考五名插班生的广告，考试地点定在南京。刻不容缓，他立刻赶赴南京参加考试，正所谓机会只给有准备的人，他一举成功，得入清华。
多年后谈及此事，周培源仍兴奋地说：“那则报上的招生广告只登了一天，而且是非常小的一条消息，居然被我看到。”就这样，周培源迈向了人生最重要的一个转折点，并与清华学校结下了不解之缘。
在清华读书期间，周培源学习成绩优异。他特别钟爱数理化，崇尚“科学救国”。在他进入清华的第一年，爱因斯坦的相对论得到科学验证，在全世界引起轰动，报刊、杂志等介绍相对论的文章比比皆是，极大地震动了周培源年轻的心灵。于是他改变学工程学的初衷，决定学习物理。
1924年，周培源从清华大学毕业，当获准“庚款留美”时，他毫不犹豫地选择了芝加哥大学物理系。与许许多多“庚子赔款”出国留学的中国学生一样，他发愤读书，希望学得一技之长，报效祖国。他也正是凭这样的信念创造了一个奇迹：用了3年半时间，修完了学士、硕士、博士三个学位。1928年他获得加利福尼亚理工学院理学博士学位，并因其学业与科研成果特别优异而获得该院最高荣誉奖，与赵忠尧、何增禄二人一起被该院院长、诺贝尔物理学奖获得者、国际著名物理学家密立根称之为“加利福尼亚中国三杰”。他的博士论文被当今自然科学史专家许良英评价为“起点高、难度大，说明他当年心志远大”。
周培源的女儿也曾经问他：“何以能3年半连拿三个学位?”周培源回答：“勤奋。别人夏天都休息时，我到处去选课，所以很快修满学校规定的学分。”
1929年，27岁的周培源回到祖国，受清华大学第一位校长罗家伦聘请，成为该校最年轻的物理教授。
科学巨匠
周培源的国际声誉，更多地源于他的科学研究。从1926年起直至1993年去世，周培源从事相对论研究的时间跨度长达近70年，从事湍流理论研究长达50多年，先后在这两个物理学基础理论中重大而困难的领域里发表了数十篇论文，奠定了中国理论物理研究的基础。
周培源是谦虚的，面对这样的成就，他自称是“以勤补拙”。同时他也十分强调科学界前辈对自己的启发和影响，其中不得不提的就是他的“偶像”爱因斯坦。
周培源是中国唯一一位在爱因斯坦身边长期工作的人。1936年，周培源利用清华的科研休假年到美国新泽西州的普林斯顿高级研究院，参加由爱因斯坦亲自主持的广义相对论高级研讨班，在那里，他与爱因斯坦一起工作了一年，对运动方程等问题进行了深入的谈论。这一年的接触，对周培源一生的科学研究起到了深远的影响，爱因斯坦求解运动方程所用的逐级近似的方法，就对他后来的湍流研究有很大的启发作用。
回国后，周培源潜心研究广义相对论，之后为了支持抗战，他又转向更具实用性的湍流理论研究，都取得了丰硕的成果：他在上世纪代提出的广义相对论引力论中的“坐标有关”论点，80年代后期获得了科学实验的初步支持;1975年他提出的研究湍流理论的“准相似性条件”，1986年在北京大学湍流实验室中获得了证实;80年代，他又提出求解脉方程的逐级迭代法，从而使他1945年提出的湍流平均运动方程与脉动方程应联立求解的梦想得以实现，湍流求解问题得到彻底解决。50多年来的顽强奋斗，他终于建立了我国独特的湍流理论体系，被世界公认为湍流模式理论的奠基人。
在很多人看来，周培渊早已功成名就，大可颐养天年。但是他却仍抓住一切时间工作。至今，他的三女儿周如玲还记得一件事：1980年，周培源在麻省理工学院当访问教授时，房间的`空调机坏了，人坐在屋里热得直冒汗。他穿了一件背心，坐在书桌前一动不动地演算，一坐就是几个钟头。几天后，他把算稿拿给周如玲核对。五六页的算稿，密密麻麻地写满了各种公式、符号，加起来少说也有近万个字符。周如玲核对下来，只发现有一个张量的下标，在誊写时抄错了，顷刻被感动得热泪盈眶。“要知道，那时他已是年近八旬的老人了。”周如玲说。
通常而言，科学家从事科技事业的黄金年龄在中青年，而周培源的黄金年龄段却一直延续到耄耋之年。在他80岁至90岁的十年中，他和他的学生、同事共发表24篇科学论文，其中7篇重要论文都是他自己研究撰写以个人名义发表的，其他论文也大多是在他的主持研究下共同撰写的。一位科学家在如此高龄获得如此丰硕的科研成果实属罕见!这恰恰是因为他尊重科学，相信科学，对科学执着追求、锲而不舍。
爱情故事
1930年的一个周末，周培源到同学家中做客，无意中发现一张少女的照片，周培源心头立刻涌起了一种异样的感觉。他原以为是同学的妻子刘孝锦，当得知不是时，不由得心中暗喜。照片的主人叫王蒂澂，是刘孝锦的同学，北平女子师范大学的学生。
王蒂澂祖籍山东潍县(今潍坊市)，19出生在吉林扶余，父亲早逝，母亲历尽艰难供养孩子读书。1927年，学习出众的王蒂澂被吉林省官费保送至北京女子师范大学。王蒂澂天生聪慧机智伶俐，兼之鲁迅等名师曾在北京女师任教，因此她受新文化运动、新文学影响颇深，思想和视野愈加开阔。
在同学的撮合下，王蒂澂和周培源很快便陷入了爱河。1932年6月18日，这对有情人在北平欧美同学会举行了结婚仪式，清华大学校长梅贻琦亲自主持了婚礼。
关于周培源和王蒂澂的爱情故事，还有一个流传甚广的小插曲。据知情人透露，清华大学物理系主任、年轻潇洒的哈佛博士叶企孙对王蒂澂也是一见钟情，按照钱钟书小说《围城》里的说法，叶企孙和周培源这两位清华物理系的教授由同事变成了“同情”(同时钟情于一位女性)。但叶、周都是颇具西方绅士风度的海归，他们订下了君子协定，尊重王蒂澂女士的选择。
绣球最终抛给了周培源，据说原因有二。一是叶企孙平常略带口吃，与异性交谈更加紧张，有时甚至连一句话也说不出;另一条是王蒂澂一直想找一个身材高大的伴侣，叶企孙虽然英俊却不够高大，而周培源恰恰是高大威猛的英俊小生，当时因风流潇洒而与陈岱孙、金岳霖并称为“清华三剑客”，建国后在中科院数理化学部的帅气排名也在前三名(冠、亚军据说分别是吴有训和钱三强)。
周培源夫妇一生共育有四朵金花，在女儿眼中，父母一直就是一对恩爱的恋人。两人一同出门出差或旅行，还没出发，周培源就把手臂高高举起，王蒂澂挽着周培源形影不离。行李多时，女儿只好说：“对不起!麻烦你们两位分开一会儿，帮我照看一下东西。”
王蒂澂晚年瘫痪在床，每天早晨周培源都要到老伴房里问安：“你今天感觉怎么样?腰还疼不疼?我爱你，60多年我只爱过你一个人。你对我最好，我只爱你!”周培源晚年右耳失聪，说话总是大声嚷嚷，于是，周家上下老少每天便要听他公开的“爱情宣言”，这位严谨的物理学家带着公式化的特点，天天向他心中最美的女子重复着同样的话。
1993年11月24日，周培源如常晨练，又到老伴房里说了一会儿话，感觉不好想躺下，就再也没有起来。王蒂澂一时不能接受，埋怨老伴：“不讲信用!说好先送我，可连个招呼都不打，说走就走，连个再见都不说。”随后，她平静地料理了丈夫的后事，老伴的衣袋里，装着一张她让女儿代写的纸条：“培源：你是我最亲爱的人，你永远活在我的心中!”文/王帅
历程评述：
周培源一生向往光明进步，追求真理，以国家独立、民族振兴、社会进步、人民幸福为己任，把毕生精力献给了祖国和人民，献给了民主科学事业。
篇4：发展・创新・挑战-第6届全国周培源大学生力学竞赛总结
发展・创新・挑战-第6届全国周培源大学生力学竞赛总结
1竞赛圆满落幕 8月20日,北京九华山庄报告厅,庆祝中国力学学会成立50周年大会暨中国力学学会学术大会'的开幕式特别增加了一项内容:为第6届全国周培源大学生力学竞赛颁奖.在中国科学技术协会、国家自然科学基金委领导、国际理论与应用力学联盟(IUTAM)主席等贵宾、国内力学界及相关领域1500多名代表热烈的掌声中,在中央电视台记者的摄像机前,获奖同学激动地从他们所敬仰的科学院院士、力学界的泰斗们手中接过奖杯、奖牌和奖状,高高举起.他们将会铭记老一辈力学家的`谆谆寄语:在中国力学学会100周年华诞,希望你们站在颁奖台上,将科学的接力棒传承给新的年轻一代.
作 者：蒋持平JIANG Chiping 作者单位： 刊 名：力学与实践 ISTIC PKU英文刊名：MECHANICS IN ENGINEERING 年，卷(期)：2007 29(5) 分类号： 关键词：篇5：第十届全国周培源大学生力学竞赛详细参考解答及评分标准
详细参考解答及评分标准
出题学校：
评分总体原则
各题均不限制方法。若方法与本文不同，只要结果和主要步骤正确，即给全分；若方法不同而结果不正确，各地自行统一酌情给分。本文中多处用图形解释，若试卷中未出现相应图形但已表达了同样的意思，则同样给分。计算结果用分数或小数表达均可。
本文中用浅黄色标识的公式和文字是给分的关键点，其后圆圈内的数字仅为本处的所得分值。
第1题（30分）
某工厂利用传送带运输边长为b的均质正方体货箱。已知货箱质量为m，绕自身中心轴的转动传送带A倾角为?（??45o），惯量为J，并且 6J?mb2，速度为v0，传送带C水平放置，B处为刚性支承。考虑货箱与传送带之间的摩擦，设两者之间的静摩擦因数为
fs，动摩擦因数为f，并且 0?f?1。
(1) 若货箱在O处由静止轻轻放在传送带A上，如图 (A) 所示，试判断货箱在到达刚性支承B之前是否会翻倒，并论证你的结论。
(2) 当货箱运动到传送带A底部时，其角部恰好与刚性支承B的顶端发生撞击，假设撞击过程为完全非弹性碰撞，货箱能顺利翻过刚性支承B到达传送带C，如图 (B) 所示，则释放点O到传送带A底部的位置s应该满足什么条件？（忽略两个传送带之间的距离）
解答及评分标准
(1) （本小题12分）首先分析货箱在传送带上的运动。
(A)
(B)
题 1 图
由于货箱静止放置在传送带上，而传送带具有速度v0，所以初始运动阶段，货箱相对于传送带产生滑动。该阶段货箱受力如图1-a(A) 所示，图中G为货箱重力，F为摩擦力，FN为传送带给货箱的法向反力，a1为货箱在初始加速阶段的加速度。
由质心运动定理，
ma1?Gsin??F， (1-1a)
图 1-a
FN?Gcos??0 。 (1-1b)
式中，F?fFN。由式 (1-1) 得货箱质心的加速度
(A)(B)
a1?g?sin??fcos?? 。 ① (1-2)
当货箱与传送带同速的瞬间，二者相对静止，无滑动摩擦。货箱的最大静摩擦力
Fmax?fsFN?fsGcos?。 (1-3)
此后，若货箱重力沿斜面向下的分量 Gsin? 大于该静摩擦力，货箱还将继续向下做加速运动，并且受力如图1-b(A) 所示，此时满足
Gsin??fsGcos?。 (1-4) 由上式解得
??arctanfs。 (1-5) 按照上述方法求解得该阶段货箱的加速度
(B)
a2?g?sin??fcos?? 。 ② (1-6) 当 ??arctanfs，货箱与传送带同速后将一起以速度
(A)
图 1-b
v0作匀速运动。
再分析货箱是否会倾倒。货箱相对于传送带滑动过程中，可能存在两种倾倒情况：初始加速阶段绕右下角M点倾倒，或同速后再次加速阶段绕左下角N点倾倒 ②。在货箱上考虑惯性力，记货箱在上述两种情况下的惯性力分别为 F11 和 F12，利用达朗贝尔原理求解。如果考生只考虑了一种货箱可能翻倒的情况，此处只给 ① 分。
首先分析货箱绕右下角M点倾倒情况。设 FN 距M点距离为 x1，如图1-a(B) 所示，根据达朗贝尔原理，
?M?F??
① (1-7a)
?F?0， F?Gcos??0。 (1-7b)
M
yN
式中， FI1?ma1?G?sin??fcos?? 。 (1-8)
① (1-9)
再分析货箱绕左下角N点倾倒情况。设
，如图1-b(B)所示，同样有
MN?F??0， ② (1-10a)
?
?F
y
FN?Gcos??0， (1-10b) ?0，
式中， FI2?ma2?G?sin??fcos??。
(1-11)
利用式 (1-10)、(1-11) 得 ② (1-12)
由于 0?f?1，所以式 (1-9) 和式 (1-12) 满足
b?x2?0 。 (1-13) b?x1?0，
即货箱在传送带A上运动时不会翻倒。① 如果考生只分析了一种货箱可能翻倒的情况，但仍然得出“不会翻倒”这一结论，则此处不给分。
(2) （本小题18分）设货箱运动到底部与钢支承B撞击之前质心速度为v1。货箱从O
点开始运动，直到到达传送带C整个运动过程分三个阶段。第一阶段：从O点运动到传送带底部并获得速度
v1；第二阶段：撞击刚性支承B；第三阶段：撞击后货箱运动到传送带C。
先分析撞击过程。由于货箱和支承B碰撞过程为完全非弹性，所以撞击后货箱不会弹起，而是绕着碰撞点B作转动 ①，碰撞前后质心速度方向发生突变。设碰撞后货箱质心速度为v2，角速度为?2，碰撞前后的速度方向及碰撞冲量如图1-c所示。
vv(A)
图 1-c
(C)
由图1-c(B)，碰撞冲量满足
MB?I??0 ， (1-14)
?
所以撞击前后货箱对B点的动量矩守恒，即
② (1-15)
式中，碰撞后速度 v2?
② (1-16)
再分析撞击后货箱的运动。由于碰撞结束后货箱运动过程中只有重力做功。故可利用机械能守
② (1-17) 21
b?2，J?mb2为货箱相对于质心的转动惯量。将两式代入式 (1-15) 可
26
选取B点为零势能点，则在该位置货箱势能
V2?Gh2。 (1-18)
只有货箱跨过图1-d(B)位置，才能到达传送带C，设该位置货箱的动能为 T3，撞击后，货箱能翻到传送带
vv
C的条件是T3?0 ①。货箱的势能为
V3?Gh3 。 (1-19) 根据机械能守恒定律
(A)
图 1-d
(B)
(1-20) T2?V2?T3?V3 。
将式 (1-17)~ (1-19) 代入上式得
① (1-21)
由上式解得
1
(1-22) T3?mb2?22?G?h2?h3? 。
3
因此，要满足 T3?0，需有
①
(1-23)
22bsin(45???)，h3?b。将以上各式连同式 (1-16) 代入式 (1-23)，得货22
箱能够达到传送带C的条件是
82
v12? (1-24) gb1?sin(45???)，
3从图1-d中易求得 h2?
??
即货箱滑到底部，与刚支承B碰撞前至少具有如下速度
。 ③ (1-25)
最后分析撞击前货箱能达到该最小速度的条件。
由问题 (1) 可知，当 ??arctanfs，货箱与传送带同速后，将以速度v0作匀速运动，此时若
v?
v1min，则货箱释放点位置应满足 0
。 ①
(1-26)
若 v0?v1min，s不管取何值，均无法满足要求。①
当 ??arctanfs，货箱与传送带同速后还将继续向下作加速运动，此时若 v0?v1min，则货箱速度未与传送带同步之前已经达到 v1min，s的表达式同式 (1-26) ①；若 v0?v1min，则货箱与传送带同速之后还需继续向下运动直至速度达到 v1min，并且
22
v0v12min?v0
s?s1?s2? 。 (1-27) ?
2a12a2
将式 (1-2)、式 (1-6) 和式 (1-25) 代入得
。② (1-28)
第2题（25分）
动物园要进行猴子杂技表演，训猴师设计了如下装置：在铅垂面内固定一个带有光滑滑槽，半径为 R 的圆环，取一根重为 P，长为 l?3R 的均质刚性杆AB放置在圆环滑槽内，以便重为Q的猴子沿杆行走，已知 P?2Q。
(1) 如图 (A) 所示，试求猴子处于距杆AB端点A距离为d时，杆的平衡位置？（用杆AB与水平线的夹角θ表示）
题 2 图
(2) 设两只重量均为Q的猴子同时进行训练。训猴师首先让猴甲静坐在杆AB的A端，并且使猴甲-杆系统处于平衡，然后让猴乙从杆的B端无初速的沿杆向猴甲运动，如图 (B) 所示。试问猴乙应该如何走法才能不破坏原猴甲-杆系统的平衡状态？
解答及评分标准
(1) （本小题10分）解法一：采用分析静力学方法，利 用虚位移原理寻求猴-杆系统的平衡位置。建立坐标系如图2-a所示，用K表示猴子的位置。由于A、B处为理想约束，约束力NA和NB在相应的虚位移不做功，系统只有重力做功。设
AB杆的质心为C，则圆心O到杆AB质心C的距离
OC?OA?AC?OA?AC
2
2
2
2
??1
?R2??R??R。
?2?2??
2
显然，在ΔOAC中，?OAC?30?，所以质心C坐标
图 2-a
yC?R?Rsin??30??猴K的坐标
??
Rsin?。 ① (2-1) 2
yK?R?Rsin??30??dsin?。 ① (2-2)
??
将式 (2-1) 和 (2-2) 分别取变分得
② (2-3a)
(2-3b) 根据虚位移原理，猴-杆系统平衡时有
① (2-4) P?y
C?Q?yK?0。
将式 (2-3) 代入得
③ (2-5)
2d?R
或 tan??。
3R
解法二：采用刚体静力学方法，直接列平衡方程求解。系统受力如图2-b所示，建立图示坐标系，垂直于杆方向为x轴, 沿AB轴方向为y轴。用K表示猴子的位置。对系统列平衡方程，
Fx?0，
(NA?NB)cos60o?(P?Q)cos??0，
Fy?0，
(NA?NB)cos30o?(P?Q)sin??0，
N
??
图 2-b
?M
A
(F)?0，
l
NBlcos60o?P?cos??Qdcos??0，
2
???。 ?
由上面第一式和第二式得
?sin?cos? NB?3Q???
?代入第三式得
tan??
2d?R
。 3R
(2) （本小题15分）根据第 (1) 题的.结论，当猴甲静坐在杆A端时，d?0，代入式 (2-5) 可得猴甲-杆系统平衡时杆的初始位置角 ?0?30o。取B点为原点，s轴沿BA方向，
?，则作用在猴乙上的惯性力大小为 s设猴乙的加速度为?
。 ①
(2-6)
当猴乙运动到杆上任意位置时其惯性力方向及系统受力如图2-c所示。对猴-杆系统运用达朗贝尔原理，
MO(F)?0，
图 2-c
。⑤ (2-7) 将式 ③ (2-8) 。
上式即为保持原猴甲-杆系统平衡状态不变的情况下，猴乙的运动应满足的微分方程。上式对应的齐次方程的通解为
g
?BsinR
g
t ， (2-9) R
s1?Acos
易知微分方程 (2-8) 的一个特解可取为 s2?C，代入式 (2-8) 可得
s2?C?
2R
。
(2-10) 3
。 ③ (2-11) 故微分方程 (2-8) 的通解为
式中，A和B为积分常数，可由初始条件确定。当t ? 0时，猴乙在杆的B端，而且初速度为0，所以初始条件为：当t ? 0时，
??0。 (2-12) s?0，s
利用上述条件，可求得积分常数
2R
， B?0。 (2-13) 3
将式 (2-13) 代入式 (2-11) 可得猴B的行走规律
A??
③ (2-14) 。
即猴乙按照上述规律运动时，不会破坏原猴甲-杆系统的平衡状态。
第3题（30分）
如图传送装置中，AB是一段横截面为矩形的梁，A端自由，B端固定。截面宽度为b，高度为
h(h?2b)。弹性模量为 E，泊松比为 ?。设传送带连同带上分布均匀的散装物在单位长度上的重
量为q，传送带给予AB梁单位长度的切向作用力为t。建立图示的坐标系，考虑离A端为已知长度
L (L?5h) 的C截面，假定该截面中水平直线上的切应力均匀分布。
(1) 若q和t为已知，试确定C截面的上边缘P点和下边缘Q点的应力状态，画出单元体示意图，并写出各应力分量的表达式。
(2) 若q和t为已知，试求C截面上切应力的表达式。
(3) 事实上，q和t的数值不易直接得到。为了用电测法测定q和t的具体数值，拟在C截面所在区域且垂直于C截面的外表面上贴应变片。暂不考虑温度补偿片及组桥连接等事宜，先设计一个贴片最少的方案，并说明如何利用这些应变片的读数来求得q和t的数值。
解答及评分标准
题 3 图
(1) （本小题6分） AB部分可简化为上表面承受均布的竖向荷载q和切向荷载t的悬臂梁，如图3-a所示。在梁中截取坐标为x的截面，如图3-b所示。由平衡条件可导出，该截面上各内力分量
FN?tx， FS??qx， (3-1)
截面上的正应力由拉伸应力 ?N 和弯曲应力 ?M 构成。对于坐标为x的截面上坐标为y的点， FNtxMy6(qx2?htx)y?， ?
M??， ?N??
bh3AbhI
?x??N??M
(3-2)
图 3-a
图 3-b
特别地，在C截面，x?L。其上边沿P点处，y?
h
，故 2
tL
?x? ①
(3-3)
bh ① ① 此处的第二式若无负号，但单元体图正确，也给 ① 分。
P点处于双向应力状态，其单元体示意图如图3-c所示。
h
在C截面下边沿Q点，y?
?，故
2
2
tL3(qL?htL)? ?x? 2
① (3-4)
由于梁的下表面是自由表面，故 ?y?0，?xy?0。Q点 处于单向应力状态，其单元体示意图如图3-d所示。
图 3-d ①
(2) （本小题10分）为了导出截面上任意处的切应力 ?的一般表达式，在C截面附近截取梁中的一个微段 dx，再截取其坐标为y的水平面以上直到上边沿的部分，如图3-e所示。其左截面（图中灰色区域）正应力的合力按照实际的方向（即图中所标识的方向）应为
FNM
F??dA??ydA?dA。
IAA
AA
故有 ②
(3-5) ?
?
?
?
?
?
式中，S?A?是该区域的面积，即 ② (3-6)
图 3-e
图4- e中右截面上的正应力的合力可记为 (F?dF)。
记微元区段左截面上坐标为y处的切应力为 ?(y)，方向向上。根据切应力互等定理可知图3-e所示区域中，下截面上的切应力数值也为 ?，且方向向右。由这个区域在x方向上的力平衡可得
?F?tdx??bdx?(F?dF)?0。②
S?dMA?dFN
t1dFt
??。 故有 ?????
bdxbbIdxbAdxb将式 (3-1) 代入上式便可得
S??ht?t?A??
?1?????qx?????。 2?b?bI?A??
将式 (3-6) 代入上式便可整理得
?3qx?4y2?t?4y12y2??
? ?(x,y)????1?h2???4b??1?h?h2???。 (3-7a)
2bh?????? ④ (3-7b) 这就是所求的切应力的表达式。负号说明切应力的实际方向与图3-e所，单元体的切应力方向如图3-f示方向相反。例如，形心轴处（y?0）所示（图中未标出正应力）。
计算方向
实际方向
如果考生在图3- e中，假设切应力?的方向是向左的，那么式 (3-7) 中就没有负号。
图 3-f
(3) （本小题14分）在C截面所在区域的各外表面中，上表面有传送带覆盖，贴应变片不大现实。故只有侧面和下表面比较合适。同时，太靠近棱边的区域贴片，可能导致数据不够真实，也是应该避免的。
由于各应力分量沿y方向连续分布，因此可以预料，在截面上存在着应力分量 ?x，?y 和 ?xy。其中 ?xy 对沿坐标轴方向的线应变没有影响，但对其他方向的线应变有影响，因此，如果所贴应变片是沿坐标轴方向的，一枚沿轴向，记为 ?(1)??x，另一枚垂直于轴向，记为 ?(2)??y，那么，由平面问题的广义胡克定律，
11
?x?(?x???y)， ?y?
(?y???x)，
EE
可得 ② (3-8)
上式涉及正应力分量 ?y，这个分量可按下述方法进行分析。
在图4-e中，根据式 (4-7a)，微段左截面上坐标为y的水平线以上的部分切应力的合力为
hh2
FQ????bdy??
y
?
y
?3qx?4y2?t?4y12y2??
????2?1?2?1??dy ?????h?4?hh???2h?
⑤ 由y方向上的力平衡，如图4-e，有
FQ?qdx?(FQ?dFQ)??ybdx?0，①
q1dFQqq?3y4y3?
???
??3?1?即得 ?y???， ??bbdxb2b?hh?
即 ② (3-9) 这样，?x 和 ?y
的一般表达式分别由式 (3-2)
和式 (3-9) 给出。
可在C截面区域的侧面的不同位置粘贴应变片，从而构成不同的贴片方案。 第一种方案：可选择在侧面中线的K处贴片，如图3-g所示。在该处，
② 故有
① (3-10a)
①
(3-10b)
h
第二种方案：可选择在侧面中线上方的S处贴片，S处距中线 ，如
4
图3-h所示。在该处，
② 由式 (3-8) 可知，
5htL?3qL2E
?(?(1)???(2))， 2
2bh1
??
E27q?(?(2)???(1))， ?
32b1??2
由式 (3-8) 可知，
EtL
?(?(1)???(2))，
bh1??2
Eq
??(?(2)???(1))， 2b1??2
图 3-g
C
图 3-h
故有 ① (3-11a)
注意：如果考生没有求出 ?y 的表达式，直接考虑贴片，那么，应变片可用3片。以下的三种
方案，若算式都正确，则本小题统一给 ⑥ 分。
第三种方案：可选择在侧面中线的K处贴片，并贴成如图3-i所示的直角应变花。由于在中线上，与式 (3-10a) 相同，
Ebh
(?(1)???(2))。 t?
L(1??2
)
由式 (3-7) 可知，在K处的切应力按照其实际方向，可写为
?xy
?故有 ?xy?
6qL?ht
， 4bh
图 3-i
?xy
G
?
(1??)(6qL?ht)
。
2Ebh
在K处沿45°方向上的线应变
?(3)?
故有 q??
111(1??)(6qL?ht)?， ?(1)??(2)???xy???(1)??(2)??2224Ebh
?Ebh?h
????????????2(1)(2)(3)(1)(2)?。 ?3L(1??)?2L(1)???
第四种方案：除了在中线K处沿坐标轴方向贴片之外，再在底面沿轴向贴片，如图3-j所示。应变片共计仍用3片。
与第一、第二种方案类似，由 ?(1) 和 ?(2) 可得式 (3-10a)：
t?
Ebh
(?(1)???(2))。
L(1??)
在C截面所在底面处沿轴向贴一枚应变片?(3)，该处处于单向应力状态，由式 (3-4) 可知，
E?(3)??
2htL?3qL
，
bh2
2
图 3-j
将式 (3-10a) 代入上式即可得
2(?(1)???(2))?Ebh2?
?? q???(3)?。
3L?1???
第五种方案：在第四种方案中，应变片?(1) 和 ?(2)不一定要选择在侧面的中线K处，也可选择在侧面的S处贴片，该处的纵坐标为y0，如图3-k所示。由式 (3-2) 可知，
2
tL6(qL?htL)y0
?， ?x?3
bhbh
2
EtL6(qL?htL)y0
?即 ?(?(1)???(2))。 3
bhbh1??2
另外，在C截面所在底面处沿轴向贴一枚应变片?(3)，与第四种方案相同，
E?(3)
2htL?3qL2
??。
bh2
?1
图 3-k
上两式构成关于t和q的线性方程组，联立求解可得 Ebh??(1)???(2)2y0?(3)??2y0?
t???， ???1?
L?1??2h??h?
2Ebh2??(1)???(2)?13y0???2y0?
q??????。 ??(3)??1??
3L2?1??22hh?????
?1
显然，侧面的两枚应变片也可以贴在中线的下方。
第4题（35分）
如图横梁的长度为 1600mm，横截面是底边 b?40mm，高度h?60mm的矩形。梁的左端A
为固支端，右端B自由。材料性能常数 E?95GPa，屈服极限 ?s 和比例极限 ?p 均为250MPa。 今有一批质地均匀、每块重量为 3.2kN、长度也为 1600mm的软金属板需要整齐地叠放在梁上，如 图 (A) 所示。现拟用一根长度为 1800mm、直径 d?36mm、材料与横梁相同的圆杆来提高横梁的承载能力。限于条件，只有梁下方1000mm处的地基可以对圆杆提供支撑；而且圆杆两端都只能用球铰与横梁和地基相连接。两个铰支座的水平位置可以根据需要分别随意调整，圆杆的长度也可以
- 11 -
随之而任意截取，如题图 (B) 所示。
(1) 定性分析：如何使用这根圆杆，使之与横梁形成合理的结构，才能尽可能多地放置金属板？ (2) 不计横梁和圆杆的重量，根据问题 (1) 的要求，设横梁和圆杆的安全因数均为 [n]?2，设计和定量地计算这一结构。结果中长度精确到 0.1mm。
(3) 根据你的设计，加上支撑后的横梁最多可以堆放多少块金属板？
(A)
题 4 图
解答及评分标准
(1) （本小题7分）横梁的右部增加一个斜撑，实际上增加了一个向上的力和向右的力。向上的力可以改善横梁的弯曲强度，故不可缺少。但向右的力使横梁产生拉弯组合变形，加大了横梁横截面上的最大正应力，故该项作用力对强度不利。若要完全消除向右的作用力，则圆杆应处于铅垂位置。另一方面，对斜撑而言，由于是受压杆，可能存在稳定问题。圆杆越长，稳定性越差。因此，圆杆处于铅垂位置具有最好的稳定性。所以，使圆杆处于铅垂位置是应该采用的方案。（关键词：铅垂放置③）
在圆杆处于铅垂的情况下，圆杆的左右位置的调整也是一个可以提高横梁强度的措施。（关键词：左右调整②）
同时，还可以将圆杆的长度取得比 1000mm 略长，利用装配应力（即预应力）来提高横梁的强度。（关键词：装配应力②）
(2) （本小题26分）金属板的重量可简化为作用在悬臂梁上的均布荷载q。记竖杆安置在距右端B为a的C处，把竖杆的支撑简化为向上的作用力R，其力学模型和弯矩图如图4-a所示。在这种情况下，弯矩存在着三个峰值，即位于AC之间的 MK，A截面的 MA ，以及C截面的 MC。要使横梁的强度得到充分利用，应有
① (4-1) MK??MA??MC。
以B端为原点，x坐标向左。C截面的弯矩
① (4-2a) 在C截面左面，弯矩为
M(x)?R(x?a)?
12
qx (x?a)， 2
R
其极值点 xK?，该截面的弯矩
q
① (4-2b)
固定端A处的弯矩
- 12 -
M
图 4-a
① (4-2c) 和 ② (4-3b)
11
故有 Mmax?qa2?(
9?42)qL2。
298
1
由于横梁的抗弯截面系数 W?bh2，故强度条件是
6
式 (4-2) 的三式联立，即可解得
， ② (4-3a)
?max
Mmax?3qL2
(9?42)?s， ??2
W49bh[n]
由此可得许用荷载
49?40?602?250
?34.35N/mm。 ② (4-4) 3?(9?4)?2?16002相应地，C处的支承反力
R?34659.90N。 (4-5)
记横梁横截面惯性矩为 I1，下面用不同的方法计算在R和q的共同作用下C处的挠度 wC。
方法一（叠加法）：C处的挠度 wC可按图4-b所示的简化模型计算，即（向上为正）
(R?qa)(L?a)3q(L?a)4?12?(L?a)2
wC? ??qa??
3EI18EI1?2?2EI1
q?(L2?2La?5a2)(L?a)2 ⑥ (4-6a) 24EI1
上式中代入 a?417.926mm，q?[q]?34.35N/mm等数据，可得
wC?10.214mm。 ① (4-6b)
或者：wC 可以直接用q来表达。
(R?qa)(L?a)3q(L?a)4?12?(L?a)2
wC? ???qa?
3EI18EI122EI??1
2(113?722)qL424(113?72)qL4??
7203EI17203Ebh3
44
?2qL?3qL?3.7240?10。 ?3.1033?10
Ebh3EI1在上式中代入 q?[q]?34.35N/mm 等数据，即有
0.03724?34
第十届全国周培源大学生力学竞赛详细参考解答及评分标准.35?16004wC??10.214mm。
95?103?40?603
或者：wC 还可以直接代入数值计算。
11
EI
1?Ebh3??95?103?40?603?6.84?1010N?mm2，
1212
(R?qa)(L?a)3
?163.4267mm，
3EI1
- 13 -
图 4-b
q(L?a)4
?122.5700mm，
8EI1
?12?(L?a)
?30.6425mm， ?qa?
22EI??1
2
wC?163.4267?122.5700?30.6425?10.214mm。
方法二（图乘法）：将原有荷载分解为如图4-c左方所示的三种荷载，画出相应的弯矩图。同时，在
C处加上向上的单位力，画出其弯矩图。各弯矩图如图4-c右方所示。故有：
EI1wC?
qa(
q(L图 4-c
121q3
R(L?a)?(L?a)?(L?a)??(L?a)2?(L?a)?(L?a) 23324
qa211??2a?qa2?
?(L?a)?(L?a)??qa?L???()?L?a?(L?a)， ??
2??2?2?322
(L?a)2
故有 wC?8R(L?a)?q(3L2?2La?a2)。
24EI1
1
将 R?q(L?a) 代入上式，即可得
2
(L2?2La?5a2)(L?a)2? wC?(L2?2La?5a2)(L?a)2?10.214mm。 3
24EI12Ebh
??
wC 为正，说明竖杆的长度应比基本长度H更长。记竖杆的长度为 H??H??，竖杆的横截面
积为A2，由于竖杆为压杆，故有协调条件：
②
?1
???RH???RHR?R
??????ww故有
???11???????C??C??①
???EAEAEAEA2?2???2???2
4?
34659.9?10004RH
??w??10.214?10.572mm。 C
Eπd295
?103?π?362所以，应取立柱高度
- 14 -
H??H???1010.57mm。 ① (4-7)
下面校核立柱的安全性。由于立柱承受压力，故考虑其柔度。由已知，?p??s，
①
① 故撑杆是大柔度杆 ，应该考虑其稳定性。记 I2 为撑杆横截面惯性矩，由于轴力 FN2?R，故有
Fcr?
③ (4-8)
n?R所以撑杆安全。由此看来，选定 H??1010.57mm 是合适的。
结论：截取圆杆长度 H??1010.6mm，使之处于铅垂位置，在离右端 a?417.9mm 处与横梁强行安装。这样制成的结构具有最大的许用荷载 [q]?34.35kN/m。
①
[q]34.35
??17.18。 (4-9)
[q0]2
(3) （本小题2分
）每块金属板的分布荷载
即加上支撑后结构最多可以放置17块金属板。①
注意：求解本题考生可能会采取以下不够完备的方案。可参考如下评分标准：
方案1（本方案6分） 在B端加高度 H?1000mm 的竖直撑杆，如图4-d 所示。
这种情况下，协调条件为
② ①
3HI1Hbh31000?40?603
??5.1808?
10?4。 式中， ???23323
π?36?1600A2LπdL
图 4-d
弯矩最大值出现在固定端，
1?4?
?1.0016。 式中，
1??
① 容易看出，?体现的是竖杆弹性的影响。上述计算表明，这个影响是非常微小的，忽略它所引起的误差小于0.2 ?。这样，强度条件可简单地写为
Mmax3qL2?s
?max?。 ??
W4bh[n]由此可得许用荷载
①
- 15 -
因此，在这种情况下，最多可以放置4块板材。①
方案2（本方案10分） 在B端加上高度大于H?1000mm的竖直撑杆，利用装配应力的方案，如图4-e 所示。
由于竖杆变形对强度的影响很小，故忽略。设右端支座的支反力为 R ，撑杆比 H?1000mm 多出?，根据右端B处的协调条件可得：
②
33EI
故有 R?qL?3?。
8L
由此可得左端支反力及支反力偶矩
1
F?qL?R， m?qL2?RL。
2
由此可知，弯矩峰值出现在A、K两个截面上（如图4-f）。由
FRqL?RR
? 即 ?，
LssLss??
可得 s?
图 4-e
R
。
q
x
① ①
最佳的 ? 值，应使 MA?MK，即
R212
qL?RL?，
22q即 R2?2qLR?(qL)2?0。 可得 R?(2?1)qL。
将上式代入R的表达式即可得最佳的 ? 值：
(82?11)qL4(82?11)qL4
。
???
2Ebh324EI
①
可得这种情况下的许用荷载
②
因此在这种情况下，最多可以放置6块板材。①
同时，竖杆在 H?1000mm 的基础上应该增加的长度为
②
方案3（本方案12分） 未考虑预应力，但考虑了竖杆左右平移的方案。
若不考虑预应力，如图4-g 所示，也不考虑立柱的变形，那么C处就相当于增加一个铰。显然C处支座的支反力 RC 随着a的位置的变动而变化；或者说，这种情况下，可以调整的因素只剩下a。
- 16 -
根据C
② ①
①
C ①
K ①
由于可调因素只有a，故不可能取 MK??MA??MC。最佳的 a 值，应使 MA?MC ①，即
11
q?L
2?2La?a2??qa2，
28
即 5a2?2La?L2?0。
故有 ②
图 4-g
注意上式与式 (4-3a) 中的 a?417.9
mm 相比，向中部靠近了约 46mm。
① 根据上述结果可以算出，当 MA?MC 时，
1
MK?7?26qL2?MA。
100
1
由此可知，MA?MC?7?2qL2 是这种情况下的最大弯矩。
50
1
可以看出，在B处铰处于 a?6?1L 位置上时，如果铰再往左移，则 MC 将会增加；如
5
1
果铰再往右移，则MA将会增加。因此，MA?MB?7?2qL2 是B处铰移动时所可能产生
50
的最小弯矩。
??
?
??
??
用弯曲强度条件，
① 便有
[q]27.89
??13.94。
[q0]2
这意味着，板材放置14块有困难。同时还可以看出，若将铰换为立柱，实际上使C处的竖向位移的刚性约束变为弹性约束，许用荷载将再次略略降低，因此最多放置13块的结论比较合适。①
- 17 -
?max
Mmax3(7?26)qL2?s???，
W25bh[n]
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