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常微分方程的教学

时间：2022-12-25 07:28:09 其他范文收藏本文下载本文

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常微分方程的教学

篇1：常微分方程的教学

摘要：常微分方程是一门重要的数学基础课，作者结合教学经验，对常微分方程的教学方法进行初步探讨。

关键词：常微分方程教学方法数学建模线性代数微课

在自然科学和社会科学的研究中，许多现象及事物发展的规律都可用数学模型表示出来，而常微分方程是数学建模中最基本的工具。

同时，又是应用数学专业一门重要的基础课，对先修课程及后续相关课程起到承上启下作用。

现我对于怎样教好常微分方程这门课以达到该课程教学目的，提高教学质量，谈谈一些体会和看法。

一、让学生了解常微分方程课程的特点，认识到学好该课程的重要意义。

常微分方程是学习其他数学理论后续课程的基础，这些课程包括数理方程、微分几何、泛函分析等。

课程本身既有严密的逻辑性，又有一定的应用性，但目前高校常微分方程课程大多还停留在传统教师主讲形式，偏理论，轻应用，使学生极易产生排斥心理。

因此，讲授这门课内容之前，教师不妨先利用一些简单的物理、生物和化学等相关学科的模型引入，让学生深刻认识到这门课是解决实际问题的有力工具，提高学生对课程的兴趣。

二、培养学生的学习兴趣。

教师要注意采用多种教学方法，不能为了赶教学进度直接把定义、定理、证明一一搬出来，使学生陷入枯燥的学习中，进而失去学好这门课的兴趣。

因此，教师在教学过程中既要充分发挥自身的主导作用，又要让学生积极、主动地参与到教学中。

比如，学习了二阶常系数线性方程的求解后，可以引导学生根据中学时接触过的单摆问题，先让他们尝试建立简单的物理模型并加以讨论，由此得到出现简谐振动、共振现象的条件。

三、根据授课对象，对教学内容进行适当增减，教学难度应有所不同。

学生所学的专业对数学基础的要求不尽相同，因此，教师应该根据学生专业选择授课内容。

比如，若授课对象是应用数学或数理专业的学生，则除了要求掌握常微分方程的计算技巧外，还应强调基本数学定理的证明。

若授课对象为金融数学专业，常微分方程的作用主要体现在应用上，因此教师在授课中应侧重数值计算，复杂的定理推导可以仅介绍证明思路。

此外，若教师在平时工作中注意收集相关实际案例，把这些案例引入各类专业课堂教学中，则对促进学生学习积极性提高起到至关重要的作用。

四、注意本课程与其他课程的相互渗透。

常微分方程教学内容中，计算占了很大比例，而课程本身就是结合线性代数、解析几何等相关数学知识解决数学理论和其他学科中出现的微分方程问题。

因此，教学中，除了让学生掌握基本计算方法外，还要注意与其他课程的相互渗透。

如学习求解常系数线性方程组的基解矩阵这部分内容时，若方程组的系数矩阵A(设为n阶)恰好有n个线性无关的特征向量，则可直接利用课本上的定理写出其基解矩阵。

此外，还可引导学生根据线性代数的知识知A可对角化，则通过可逆的'线性变换必能将系数矩阵化为对角形，使得方程组的求解易于进行。

五、结合运用多媒体技术。

传统的教学方法以板书为主，但是由于常微分方程这门课中定理的理论证明比较多，一味板书和讲授会让学生产生厌烦心理。

因此，教师应该把传统教学方式与现代教学手段结合起来，借助多媒体把板书内容适当变得有趣一些。

如学习解的延拓时，可以用动态画面把这部分内容展现出来，让学生在脑海里有较为直观的印象，接着引导学生思考、总结方程的解向左右两边延拓的情形究竟如何，最后教师对学生总结出的内容给予相应修改、补充。

这样教师既可以较为轻松地把抽象的定理内容传授给学生，又可以让学生参与到课堂讨论中。

六、将微课形式融入教学中。

近年来，微课在我国发展很快，这一新的教学形式逐渐成为教育信息化的热点之一。

它不同于传统课程，主要以教学视频为表现形式，具有内容少而精的特点。

由于常微分方程课时的限制，教师不可能将课程全部内容都在课堂教学中呈现出来，而且有些较难的知识点通过教师的讲授可能还有部分学生无法掌握。

因此，教师可根据课程内容的特点，将微课适当引入教学中。

例如，讲授求常系数线性方程组基解矩阵这一部分内容时，在课堂上教师主要介绍根据空间分解理论所得的基本计算公式，至于其他计算方法，如利用约当标准形，以及利用哈密杜顿-凯莱定理的方法，教师可将其录制成微课放在网上，供感兴趣的学生自行学习。

这样可以让学生充分利用课余时间学习这门课，激发学生的学习热情和创造性。

但需要注意的是，微课只是教学辅助手段，并不是所有常微分方程的知识都适合制作成微课，因此在知识点选择上还需教师反复推敲，在教学中适当融入微课，才能达到提高教学质量的目的。

常微分方程是一门重要的基础课程，随着科技进步，高校教师应紧跟时代前进步伐，更好地设置教学内容和教学模式，尽可能深入浅出地讲授这门课程。

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，等.常微分方程(第三版)[M].北京：高等教育出版社，.

[2]胡铁生.“微课”：区域教育信息资源发展的新趋势[J].电化教育研究，(10)：61-65.

[3]杨晨.常微分方程教学改革探讨[J].长春师范大学学报：自然科学版，(3)：167-169.

[4]白灏.方程在数学建模中的思想及应用研究[J].湖北第二师范学院学报，，32(2)：106-108.

篇2：常微分方程的教学论文

摘要：常微分方程是数学类本科专业开设的一门专业主干课程，常微分方程的教学现状对应用型人才的培养是不利的。

本文结合作者的实际教学体会，提出要注重培养学生的学习兴趣，突出教学中的师生互动，强化体现数学的应用性，重视教学手段的利用，注意考核方式的改革，加强教学团队的建设等几点改进措施。

关键词：常微分方程;课堂教学;教学改革

常微分方程是现代数学的一个重要分支，它的任务是建立数学模型，寻求各种求解方法、进行理论分析，从而达到解决现实问题的目的。

在数学与应用数学本科专业开设常微分方程课程旨在让学生学习和掌握常微分方程的基本理论和基本求解方法，学会运用所学知识解决某些实际问题，提高学生的科学素养。

在高等教育从“精英教育”到“大众教育”的今天，学生整体素质下降，学生学习积极性不高，对知识缺乏融会贯通;同时在课堂教学时数缩减的情况下，教师在教学内容的处理上只注重讲授微分方程的基本概念、基本理论及其解法，而略讲或不讲常微分方程模型的建立方法及方程的实际意义，这对应用型人才的培养是不利的。

因此，如何对常微分方程的教学进行改革，提高课堂教学质量，促进大学生数学素养的提高，提高学生的就业竞争力，是我们每一位授课教师都必须思考与面对的问题。

1.注重培养学生的学习兴趣。

兴趣是学生学习的直接动力。

学生学习的主动性首先取决于对所学课程的浓厚兴趣，当然这是建立在对这门课程的内容与性质的充分了解的基础之上，因此教师应充分向学生说明常微分方程的重要性以激发学生的学习兴趣。

教师要介绍常微分方程课程与其他学科联系和作用，常微分方程课程是解决实际问题的重要工具，要讲清楚所学内容对解决实际问题的作用，从常微分方程对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段来激发学生的学习兴趣。

教师也可以适当地介绍常微分方程的历史来激发学生的学习兴趣，使学生从中受到启迪与教育。

教师在教学过程中，一定要深入钻研教材，把握教材的相关知识点，让学生了解常微分方程的重要性、历史以及其应用来激发学生学习兴趣，只有这样才会让学生更好地发挥学习的自主性。

2.突出教学中的师生互动。

篇3：常微分方程课程教学改革

摘要：常微分方程是数学类本科专业开设的一门专业主干课程，常微分方程的教学现状对应用型人才的培养是不利的。

篇4：常微分方程课程教学改革

常微分方程是现代数学的一个重要分支，它的任务是建立数学模型，寻求各种求解方法、进行理论分析，从而达到解决现实问题的目的。

1.注重培养学生的学习兴趣。

兴趣是学生学习的直接动力。

学生学习的主动性首先取决于对所学课程的.浓厚兴趣，当然这是建立在对这门课程的内容与性质的充分了解的基础之上，因此教师应充分向学生说明常微分方程的重要性以激发学生的学习兴趣。

教师也可以适当地介绍常微分方程的历史来激发学生的学习兴趣，使学生从中受到启迪与教育。

2.突出教学中的师生互动。

在教学过程中，一定要让学生先自学，让学生自己挖掘各种问题并将之带入课堂，同时让学生充分参与到教学过程中来。

课堂上的互动可以按以下方式进行，一是讲授中允许学生提问，二是精心设计问题让学生回答，三是课堂上分配一定时间让学生讨论。

3.强化体现数学的应用性。

常微分方程是数学与应用数学专业人才培养目标的核心课程之一。

自然界许多纯数学理论对其他学科的应用都是通过微分方程来实现的，众所周知的牛顿运动定律、万有引力定律、市场价格的变化等都可以归结为常微分方程描述的数学模型。

作为教师应当在课堂教学上让学生尽可能地从事物的实际问题背景出发来建立相应的微分方程，选取能用微分方程模型来解决的一些问题让学生建立微分方程，引导学生运用所学的知识来解方程，对模型做出合理正确的解释和评价，进而达到提高学生的就业竞争力的目的。

教师在习题布置时也应注意渗透数学建模思想。

学数学的最好方式是做数学，所以教师在授课中应注重引入数学模型的同时，要根据学生的情况设置一些实用性、趣味性、开放性的习题，给学生提供一个可以拓展思维和探索创新的空间。

可以灵活采用完成的方式，如，学生可以和同学合作交流，这样不但培养了学生互相协助的精神，也调动了学生学习的积极性，让学生感受到学习数学是一种享受，是一种期待，把数学课作为他们展示才能的舞台。

另外，以科研立项为平台，引导学生参与教师的科研立项项目研究，培养学生综合运用所学的常微分方程知识解决问题的能力和科研创新能力。

4.重视教学手段的利用。

①将多媒体教学引入课程教学中。

教学中适当使用多媒体教学手段，可使学生在有限的时间内学到更多的知识。

利用多媒体课件的特点，图文和音频共同作用，可以营造一个良好的教学情境，让学生的各种感官有机结合起来，充分调动学生的学习积极性。

多媒体课件可以拓宽课堂知识信息量，使课堂知识能够形象生动直观地呈现给学生。

但注意不要过分依赖多媒体，多媒体教学必须与传统教学方法完美结合，才能取长补短。

教师在授课时要做到讲解与课件相融合、演示与板书相融合，这样才能起到事半功倍的效果。

②开发网络资源共享平台，利用网络环境的开放性、交互性，实现资源共享、优势互补。

这样，教师和学生之间由传统的教与学的关系，转化为平等讨论、互相促进的关系，同时也有利于学生培养自觉学习的主动性。

③课外探究撰写小论文，鼓励学生对感兴趣的内容进行课后探究，撰写小论文。

如在处理解的存在唯一性定理时均采用了经典分析的方法(Picard逼近法)，在学生理解了此方法后，提出问题：可否有其他更简便的方法?提示学生课外阅读泛函分析中的不动点定理，并尝试用这一定理来解决问题。

又如在讲解全微分方程这一节积分因子的内容时，向学生阐明只要有解的一阶显式微分方程都存在积分因子，那么变量可分离方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程的积分因子能否求出来?如果能求出，用积分因子解此类方程与原有的方法之间又有什么联系与区别?

再如给学生一些实例来构造常微分方程模型解决实际问题，教师提出思路让学生动手撰写小论文，也可以引导学生参与教师课题的研究，创造条件使学生参与科学探索、研究和创新活动，目的就是更有效地激发学生学习的兴趣，提高学生科研的意识，培养学生的数学研究能力。

5.注意考核方式的改革。

学生学习的效果如何，必须通过有效的方式进行考核。

当前课程的考试命题一般都是课本上的理论部分，缺乏开放性的应用题以及考查学生灵活应用所学知识解决实际问题的题目，不能充分体现学生学习的积极性和主动性。

我们必须要在考试命题和考试方式上做一些改革，改变以前的考试模式。

如，试题可以分为两部分，一部分是考核课本的基础知识，可在规定的时间完成;另一部分是一些实用性和开放性的应用题，要求学生按数学建模的方法去完成。

此外，还可以把学生平时撰写的小论文和作业等作为评定的依据。

考核方式重在平时，重在积累，重在对知识的应用。

这样不但能对学生所学知识进行全面考核，而且能从中挖掘学生的潜力，培养学生的创新素质，达到培养应用型人才的目的。

6.加强教学团队的建设。

教师是人才培养的核心力量，是提高教育质量的关键。

提高教学质量，促进大学生数学素养的提高，必须有一支适应基础教育改革需求、教学经验丰富、学术水平高、师德优良而且年龄、职称、学历结构合理的常微分方程教学团队。

对于教学团队建设，提高教学质量，我们认为可以从以下几个方面入手：加强任课教师的思想教育，使得每一位教师具有热爱本职工作的责任心和较高的职业道德水准，要为人师表，在教学过程中要达到既教书又育人的标准;提高青年教师上课水平，包括教学拜师结对、集体备课、教学示范与教学观摩等。

开展青年教师和教学新人讲课比赛，选拔教学能手;完善监督机制，提高教师对教学活动的重视程度，树立教学工作的责任心;鼓励并资助中青年教师积极申报各级教学课题，对教学方法与内容进行研究，参与教材教参的编写，发表教学论文;加强任课教师的业务培训，提高教师的素质能力，使得每一位任课教师都能精通本学科理论，全面精通和准确理解基本理论。

在教学中要做到不断补充新知识，及时掌握和了解本学科研究的最新动态，努力提高业务素质，兢兢业业教好每一堂课，认真耐心准确地解答学生的每一个疑难问题;定期开展集体备课及教学法研究活动，要求任课教师提前备课，并撰写出教案纲要，备课以教学大纲为主要依据，同时要参考教材外的其他参考资料，使教学内容丰富起来，加大授课内容，备课中要突出讲授中的重点和难点。

实际上，教学的过程是师生共同活动共同参与的过程，只有在教与学双方的共同努力下，才能提升常微分方程课程的教学质量，才能提高学生的数学素养，才能提高学生的就业竞争力。

如何通过常微分方程教学改革更有效地培养应用型人才，仍然是我们数学教育面临的一个十分重要的研究课题，我们将更加努力地不断探索，不断实践。

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，.

[2]刘会民，那文忠，等.“常微分方程”课程教学模式的改革与探索[J].数学教育学报，2006，(1).

[3]葛渭高.关于常微分方程教学内容的思考[J].中国科教创新导刊，，(16).

[4]张少华，王思聪.《常微分方程》教学中探究式教学法初探[J].遵义师范学院学报，，(6).

[5]徐亚兰，盛晓娜.新形势下《常微分方程》课程教学方法的改革与探索[J].科技信息，2008，(31).

[6]胡秀林，陈秀，等.“常微分方程”分层教学与学生创新能力的培养[J].合肥学院学报，，(1).

[7]夏利民，李长江.常微分方程基本定理与线性理论教学[J].高师理学刊，2008，(2).

[8]魏章志，宁群，等.应用型本科院校《常微分方程》教学的几点思考[J].宿州学院学报，2010，(2).

篇5：常微分方程教学改革启发论文

常微分方程教学改革启发论文

摘要:本文根据普通高校常微分方程课程的教学现状，对于如何学好本课程，加强课堂教学、促进创新思维的培养及丰富教学资源等方面作了一些初步的探讨。

关键词:常微分方程；教学改革；教学方法；启发式教学

常微分方程是高等院校数学专业的一门必修课程，是数学分析的后继课程，同时又是几乎所有应用类课程的先修课程。因此，它起到一种承前启后的作用。但是，传统的教学模式往往是以教师为中心，采用教师讲、学生听的单一教学模式，课程体系仍局限于对常微分方程基本理论知识的讲解，忽视了常微分方程作为联系外部世界的桥梁作用。这使得常微分方程课程的教学效果大打折扣。本文从以下几个方面对常微分方程的教学改革进行探讨和研究。

1立志

我认为在讲授常微分方程的具体内容之前应要求学生明确个人的理想。古人云：“志不立无可成之事”。只有志存高远，才能激起一个人的学习斗志，也才能在遇到困难时迎难而上。同时要求学生将志向具体分解成几个阶段，将每一个阶段的任务完成好了，最终的志向也就实现了。教师在此过程中应将常微分方程这门课的全貌梗概性的展示给学生，让学生充分认识到常微分方程的重要性，并将对这门课程的学习融入到阶段性的任务之中去，最终为理想的实现服务。对于任课教师，必须要树立将这门课讲授好的信心和决心。

2勤能补拙

勤奋是成就一切事业的基础。学习常微分方程这门课程必须要付出辛勤的劳动。所以任课教师要告诫学生勤奋是学好常微分方程这门课的一大必不可少的法宝。不做一定数量的习题，数学这门课程是不可能学好的。数学的学习需要持之以恒、日积月累的努力。勤奋是一切学习方法的基础，缺乏了勤奋，一切的学习方法都将成为虚设。

3根据学习内容选择适当的教学方法

教学方法的不同将带来教学效果上的'很大差异。以文献[1]为例，第一章讲述常微分方程的基本概念、发展历程以及它在各种不同学科中的应用。这部分内容可以分配给学生，让学生课下去查阅资料、课堂上进行讨论，最后任课教师进行点评和总结。这样可以让学生参与到教学中来，充分地调动学生的学习自主性。第二章为一阶微分方程的初等解法。在这部分内容的讲解过程中，任课教师要多寻找一些现实生活中的具体例子，将它们穿插于具体的教学过程中，使得所学理论更加真实、直观、富有背景感。这样可以使学生更加明确学习目的、更加充分地调动起学生的学习积极性。任课教师还可以有针对性地布置给学生一些具体的例子，让他们用本章所学的基本理论建立数学模型，在实践中学习理论，用所得理论指导实践。第三章为一阶微分方程解的存在定理。这部分内容为常微分方程的理论核心。这部分内容比较抽象，学生学习起来普遍觉得枯燥、困难。这部分内容在讲授之前要求学生必须提前预习，任课教师可借助于多媒体将所需要用到的基础数学理论展示给学生。可先忽略严格的证明过程，将解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解对初值的连续性和可微性定理的证明思路讲给学生。然后再对内容细节进行严格的证明。为了能够更加直观的向同学们讲解这部分内容，我们可以运用Mathematica,MATLAB和Maple等数学软件绘制图形，这样教学的效果将会更佳。在本章的讲解结束后，可以给学生概略性的用泛函分析中的Banach不动点理论证明解的存在唯一性定理，开阔学生的视野。第四章为高阶微分方程。高阶微分方程是一阶微分方程的理论推广。它与一阶微分方程理论既有联系又有区别。这部分内容的讲解宜采用启发式的教学方法，启发和引导学生发现不同类型的高阶微分方程的求解方法，并找出这些方法的区别和联系，以及这些方法的适用范围。第五章为线性微分方程组理论。这部分内容将矩阵理论完美地融合了进来。这部分内容的理论思想和一阶微分方程的基本理论思想是一样的。学习这部分内容一定要结合一阶微分方程的基本内容去学习，即采用类比法进行教学。第六章为非线性微分方程。这部分内容应用性比较强，任课教师可以向同学们讲解各种具体的数学模型，将这部分理论内容穿插进去。这样可以大大地降低这一章内容的学习难度。

4适当加入实验课程环节

现今信息技术高速发展，很多的常微分方程问题都可以用数学软件求解，这大大地节省了人力、物力。因此，让学生掌握一定的数学软件并学会以此用来求解常微分方程变得非常的必要。任课教师可根据学生的接受程度每周适当安排学生上机，使用数学软件解决一些基础的常微分方程问题。

5科研与教学相结合

很多学生今后将从事科学研究工作。在学习常微分方程过程中有针对性地训练学生的科学研究能力是很有必要的。光学习书本上的基本理论是不行的，我们必须使学生学会运用所学知识解决现实生活中的具体问题。就像一个演员不能只看戏而自己不去演戏。任课教师可以根据学生的基础提供一些科研题目让学生去做，并给予具体的指导。也可以定期请国内外的专家来学校讲学，让学生了解常微分方程方向最新的学术前沿。通过同科研专家的交流和对话，可以使学生更加了解这门课的主要意义、增强学生克服困难的能力。

6小结

总之，常微分方程教学必须适应新时代的发展要求，与时俱进。教学过程中必须结合专业培养模式和培养目标，真正做到以学生为中心，切实提高学生实际应用能力和独立创新能力，任课教师要成为学生实践能力的指导者和教学质量的监控者，让教学服务于学生的成长。

参考文献

[1]王高雄,周之铭,等.常微分方程(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]钟秀蓉.本科自动化专业常微分方程教学之改革与实践[J].内江科技，(4):46-46.

[3]张伟年.本科数学专业常微分方程教学改革与实践[J].高等理科教育，(1):19-21.

[4]周霞.中加高校“常微分方程”课程教学的比较分析[J].阜阳师范学院学报（自然科学版）,,33(4):118-123.

[5]李晓培.关于常微分方程课程教学的改革与实践[J].科技资讯，2008(31):169-169.

篇6：高职院校常微分方程教与学论文

摘要：常微分方程是高职院校理工科专业开设的高等数学课程中重要的知识内容之一。

文章针对高职院校的学生特性和常微分方程知识点的特性，分析教学内容及方法，引导学生透过现象看本质，从繁到简如何学好常微分方程相关内容。

关键词：常微分方程;教与学

常微分方程是高职院校高等数学的一个组成部分，，在高等数学中占据着重要位置，在理工科的专业课程中涉及广泛。

常微分方程不同于一般的方程，一般方程反应的是变量之间的函数关系式，而常微分方程是反应待求函数及其导数之间的关系式，在建立微分方程后，找出满足该方程的未知函数的过程，就是解微分方程。

常微分方程对解决实际问题具有重要的意义。

常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。

这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。

应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

高职院校在高等数学课程中讲解常微分方程，主要是为各专业课程服务，使学生在后续的专业课程学习和工作中能够理解分析并运用常微分方程，分析处理相关问题。

一、教学分析

(一)学生特性。

目前，高职院校的生源都是高等本科院校录取后的生源，其来源主要有三类：一是通过普通高考招收普通高中生，二是通过对口考试招收的职业高中生，三是3+2、2+3考试招收的中专、职中生。

(二)教学内容特性。

可分离变量的微分方程;一阶线性微分方程及其应用;二阶常系数齐次线性微分方程和二阶常系数非齐次线性微分方程。

这些内容只是常微分方程领域里的冰山一角，但对于高职院校学生来说具有一定的难度。

如何引导学生掌握相关的知识，并将所学内容运用到平时的工作和生活中，最终达到提高分析和解决问题能力的素质目标。

是承担常微分方程内容教学面临的一个具体而现实的问题。

二、教学思路

(一)把握学科特性。

数学的学习，简单说来，就是定义、公式、性质、定理等的理解与运用。

常微分方程作为数学的一个分支，学习的过程中同样具有这些特性。

所以我们在学习定义、公式、性质、定理等知识点的时候特别强调理解的重要性，在学习例题和做练习题时则强调能活运用的重要性。

(二)把握知识点特性。

(1)微分方程的基本概念。

从微分方程的定义我们可以知道，一个方程中只要含有未知函数的导数(或微分)，就可判断为微分方程。

所以我们在理解基本概念的时候要抓住主要特性。

(2)可分离变量的微分方程。

该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x的函数，另一个仅是y的函数，即f(x)，g(x)分别是变量x，y的已知连续函数.可分离变量的微分方程的求解方法，一般有如下两步：

第一步：分离变量g(y)dy=f(x)dx，

第二步：两边积分

第三步：计算上述不定积分，得通解。

因此，求解可分离变量的微分方程，只需两步：第一步，分析化简为可分离变量的微分方程;第二步，两边积分求得其通解。

(3)一阶线性微分方程及其应用。

1)先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的'通解;

2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解(将所求出的齐次方程的通解中的任意常数C改为待定函数)即可。

3)将所设解代入非齐次线性方程，解出，并写出非齐次线性方程的通解。

一阶线性微分方程的学习最后浓缩成两个公式，一是齐次线性方程通解的表达式;而是非齐次线性方程通解的表达式。

一阶线性微分方程的应用实际上是这两个公式运用于实际的过程，或者说运用这两个公式解决实际问题的一个过程。

(4)二阶常系数齐次线性微分方程。

首先应会判断什么是二阶常系数齐次线性微分方程，然后理解二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式。

求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤为：

第一步，写出微分方程的特征方程;

第二步，求出特征根;

第三步，根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。

两个不等实根

两个相等实根

一对共轭复根

所以，求解二阶常系数齐次线性微分方程，掌握这三种情况，直接套用公式就能游刃而解。

(5)二阶常系数非齐次线性微分方程。

二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法，由非齐次线性方程解的结构定理可知，求非齐次方程的通解，可先求出其对应的齐次方程的通解，再设法求出非齐次线性方程的某个特解，二者之和就是二阶常系数非齐次线性微分方程之通解。

三、教学结论

常微分方程这一模块，涉及到微分方程的基本概念;可分离变量的微分方程;一阶线性微分方程及其应用;二阶常系数齐次线性微分方程和二阶常系数非齐次线性微分方程。

在具体的学习过程中，首先会判断属于那种形式的微分方程，如果是可分离变量的微分方程，直接分离变量再积分就可。

如果是一阶线性微分方程，根据齐次和非齐次而套用不同的通解公式即可求出通解。

如果是二阶常系数齐次线性微分方程或者二阶常系数非齐次线性微分方程则根据实际情况套用相关公式，再计算化简涉就能求得通解。

所以，在解常微分方程的过程中，先看微分方程符合哪类，然后再根据具体情况运用公式求通解。

求解常微分方程简单而言就是套用公式的过程。

高职院校学生在学习的过程中，只看到了常微分方程复杂的表面，实际上如果稍微深入研究就会明白，在常微分方程类型确定后，只是一个套用公式由繁化简的过程。

什么类型就套用什么公式，然后计算化简求通解。

综上所述，我们在常微分方程的学习中要透过繁杂的表面看简单的本质，透过繁琐的文字说明看体现本质的核心内容。

这样就能由繁到简的学好常微分方程。

参考文献：

[1] 王高雄，周之铭.常微分方程[M].2 版.北京：高等教育出版社，1983

[2] 李宏平.廖仲春.应用数学[M].湖南大学出版社，

篇7：高职院校常微分方程教与学论文

摘要：本文对常微分方程的案例教学进行了探索，分析了如何在课程教学中引入适当的案例调动学生的学习积极性，从而提高学生的学习兴趣。

关键词：常微分方程教学案例高职数学教学

微分方程是研究自然现象及现实生活中很多问题的强有力工具，一般涉及“改变”、“衰变”、“边际”、“运动”、“逃跑”等等词语的确定性问题往往是微分方程模型，因而应用极其广泛。

然而，常微分方程这门课理论性很强，其概念、解法、定理等均较为抽象，最后导致学生只会求解方程，却不知道有什么用，更有不少学生产生厌学心理，这与我们的教育目标是背道而驰的。

归结起来，原因有三：一是教师主导，学生被动接受，学生的主观能动性不能正常发挥;二是强调理论，忽视实践;三是教学手段单一，没有充分使用信息化的工具。

为了弥补以上不足，以一阶微分方程中的可分离变量类型的讲解为例，我进行了改进，选取简单且学生感兴趣的案例引入相应的内容。

例1(动力学问题：跳伞运动员为什么能安全着地)：降落伞打开后，运动员下落时的阻力骤增，使下落速度的增加减缓，从而保障了跳伞运动员的安全。

在速度不太大的情况下，空气阻力可以看做与速度v成正比，下面我们用微分方程的相关知识研究这个问题。

这里，不妨假设运动员一开始就打开了降落伞，并且初始速度为零(事实上，这一假设并不影响最后的结果)。

由牛顿第二定律，建立运动员下落的运动方程：

以上列举了三个例题，当然在实际过程中可举一例作为引入，其他作为练习。

在实际授课过程中，可以先抛出问题，激发学生学习的兴趣。

待学习相关解法后，鼓励学生自己求解，同时利用相应的数学软件如mathematiaca\matlab等进行验证。

整个过程充分调动了学生的学习积极性，实现了理论和实践的结合，对于培养学生分析、解决问题的能力收到了较好的效果。

在常微分方程教学中结合学生感兴趣的案例教学，将理论知识与实际应用相结合，一方面可以提高学生的学习兴趣，另一方面可以使学生了解数学知识的应用，树立学好数学的信心。

在此过程中还可以逐步培养他们对数学建模的兴趣，提高他们分析问题、解决问题的能力。

参考文献：

[1]王高雄等.常微分方程(第三版).高等教育出版社.北京，.

[2]阳明盛，林建华.mathematica基础及数学软件.大连理工出版社.大连，.

篇8：求解二阶常微分方程的并行块方法

求解二阶常微分方程的并行块方法

主要研究二阶常微分方程初值问题y″(x)=f(x,y)的'数值方法及其数值稳定性.构造了一类适用于并行计算的并行块方法,分析了该类方法的收敛性,得到其最低可达收敛阶.基于线性试验方程y″(x)=-λ2y,提出了并行块方法的P-稳定性定义,获得了二维、三维和四维并行块方法为P-稳定的充分条件.数值例子说明理论结果是正确的.

作者：束学云田红炯 SHU Xue-yun TIAN Hong-jiong 作者单位：上海师范大学,数理学院,上海,34 刊名：上海师范大学学报（自然科学版） ISTIC英文刊名：JOURNAL OF SHANGHAI NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCES) 年，卷(期)： 38(6) 分类号：O241.8 关键词：二阶常微分方程并行块方法收敛阶 P-稳定性

篇9：分段常微分方程边值问题的改进COLSYS算法

分段常微分方程边值问题的改进COLSYS算法

对分段定义的常微分方程边值问题的COLSYS算法进行了改进,提高了其计算效率及数值稳定性,并且可以节省内存,这些优势随着分段数的增加而迅速加大.

作者：方亚非袁驷作者单位：方亚非(上海市政工程设计研究院,上海,92)

袁驷(清华大学,土木系,北京,100084)

刊名：计算力学学报 ISTIC EI PKU英文刊名：CHINESE JOURNAL OF COMPUTATIONAL MECHANICS CHINESE JOURNAL OF COMPUTATIONAL MECHANICS 年，卷(期)：2002 19(3) 分类号：O302 关键词：分段常微分方程边值问题 COLSYS

篇10：一类非线性二阶常微分方程的正周期解

一类非线性二阶常微分方程的正周期解

考察非线性二阶常微分方程u″(t)=,(t,u(t))关于周期边界条件u(0)=u(2π),u′(0)=u′(2π)的正解,由于该方程没有Green函数,通常的方法是无效的.利用适当的转换技巧和锥上的不动点定理证明了这个周期边值问题的.n个正解的存在性,其中n是一个任意的自然数.

作者：姚庆六 YAO Qingliu 作者单位：南京财经大学数学系,南京,210003 刊名：系统科学与数学 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SYSTEMS SCIENCE AND MATHEMATICAL SCIENCES 年，卷(期)： 28(1) 分类号：O1 关键词：二阶常微分方程周期边值问题正解存在性多解性.

篇11：《方程》教学设计

一、教学目标

1、通过与一元一次方程的比较，能说出二元一次方程的概念，并会辨别一个方程是不是二元一次方程;

2、通过探索交流，会辨别一个解是不是二元一次方程的解，能写出给定的二元一次方程的解，了解方程解的不唯一性;

3、会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。

过程与方法目标:

经历观察、比较、猜想、验证等数学学习活动，培养分析问题的能力和数学说理能力;

情感与态度目标

1、通过与一元一次方程的类比，探究二元一次方程及其解的概念，进一步培养运用类比转化的思想解决问题的能力;

2、通过对实际问题的分析，培养关注生活，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养良好的数学应用意识。

二、重点、难点

重点：二元一次方程的概念及二元一次方程的解的概念。

难点

1、了解二元一次方程的解的不唯一性和相关性。即了解二元一次方程的解有无数个，但不是任意的两个数是它的解。

2、把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。

三、教学方法与教学手段

1、通过创设问题情境，让学生在寻求问题解决的过程中认识二元一次方程，了解二元一次方程的特点，体会到二元一次方程的引入是解决实际问题的需要。

2、通过观察、思考、交流等活动，激发学习情绪，营造学习气氛，给学生一定的时间和空间，自主探讨，了解二元一次方程的解的不唯一性和相关性。

3、通过学练结合，以游戏的形式让学生及时巩固所学知识。

四、教学过程

创设情境导入新课

1、一个数的3倍比这个数大6，这个数是多少?

2、写有数字5的黄卡和写有数字2的蓝卡若干张，问黄卡和蓝卡各取几张，才能使取到的卡片上的数字之和为22?

思考：这个问题中，有几个未知数?能列一元一次方程求解吗?如果设黄卡取x张，蓝卡取y张，你能列出方程吗?

3、在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米。如果设轿车的速度是a千米/时，卡车的速度是b千米/时，你能列出怎样的方程?

师生互动探索新知

1、发现新知

引导学生观察所列的方程：这两个方程有哪些共同特征?这些特征与一元一次方程比较，哪些是相同的，哪些是不同的?你能给它们取个名字吗?

根据它们的共同特征，你认为怎样的方程叫做二元一次方程? (二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。)

2、巩固新知

判断下列各式是不是二元一次方程(1) (2) (3) (4)

3、师生互动再探新知

(1)什么是方程的解?(使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。)

(2)你能给二元一次方程的解下一个定义吗?(使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。)

若未知数设为，记做，若未知数设为，记做

4、检验新知

(1)检验下列各组数是不是方程的解：(学生感悟二元一次方程解的不唯一性)

(2)你能写出方程x-y=1的一个解吗?(再一次让学生感悟二元一次方程的解的不唯一性)

5、自我挑战三探新知

有3张写有相同数字的蓝卡和2张写有相同数字的黄卡，这五张卡片上的数字之和为10。设蓝卡上的数字为x ，黄卡上的数字为y ，根据题意列方程。

请找出这个方程的一个解，并写出你得到这个解的过程。

学生在解二元一次方程的过程中体验和了解二元一次方程解的不唯一性。

五、总结

比较一元一次方程和二元一次方程的相同点和不同点

相同点：方程两边都是整式，含有未知数的项的次数都是一次。

如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。

篇12：《方程》教学设计

教学目标

知识目标

在理解化学方程式的基础上，使学生掌握有关反应物、生成物质量的计算;

通过有关化学反应的计算，使学生从定量角度理解化学反应，并掌握解题格式。

能力目标

通过化学方程式的计算，培养学生的审题能力、分析问题和解决问题的能力。

情感目标

通过有关化学方程式的计算，培养学生学以致用、联系实际的学风，同时培养学生认识到定性和定量研究物质及其变化规律是相辅相成、质和量是辨证统一的观点。

教学建议

教材分析

根据化学方程式进行计算，对初学者来说应严格按照课本中的五个步骤方法和书写格式来进行计算。即①设未知量;②根据题意写出配平的化学方程式;③写出有关物质的式量，已知量和未知量;④列比例，求解;⑤答题。这样做可以养成良好的学习习惯。

解这种题要求对化学计算题里有关化学知识有一个清晰的理解，那就是依题意能正确书写化学方程式，如果化学方程式中某个物质的化学式写错了，或者没有配平，尽管数学计算得很准确，也不会得到正确的结果。可见正确书写并配平化学方程式是顺利解答化学方程式计算题的关键要素。

化学计算题是以化学知识为基础，数学为工具多学科知识的综合运用。它不仅要有化学学科的思维方法，还应有扎实的数学功底。

解有关化学方程式的计算题，首先要认真审题，明确要求什么，设未知量才不至于盲目。第二是将题目中给出的化学变化用化学方程式表示出来。依题意找出已知量。然后按解题步骤进行。同时要k服心理上的不良因素，不要惧怕化学计算，要相信自己。基础不好的同学要先做些简单的有关化学方程式的计算题，逐渐体会将数学的计算方法与化学知识有机结合的过程。然后再做较难的题目。基础好的同学应具有解一定难度题目的能力。在初中阶段有关化学方程式计算题，较易的题目是运用数学的列比例式，解一元一次方程的知识，即设一个未知量，一个等式关系。中等偏难的题，往往要用到解二元一次方程，解三元一次方程的知识。计算过程难度并未增加多少，只是步骤多，稍微麻烦些。难度主要体现在如何设好多个未知数以及找出这些未知数之间“量”的关系式。总之，要根据自己的化学知识和数学知识水平，加强化学计算的训练，以求达到熟练掌握解化学计算题的思路和方法。

教法建议

本节只要求学生学习有关纯物质的计算，且不涉及到单位的换算。计算是建立在学生理解化学方程式含义的基础上的，包括用一定量的反应物最多可得到多少生成物;以及含义的基础上的，要制取一定量生成物最少需要多少反应物。所以在教学中要将化学方程式的含义与计算结合起来。

化学计算包括化学和数学两个因素，其中化学知识是化学计算的基础，数学是化学计算的工具。要求学生对涉及的有关化学方程式一定要掌握，如：化学方程式的正确书写及配平问题，在教学中教师要给学生作解题格式的示范，通过化学方程式的计算，加深理解化学方程式的含义，培养学生按照化学特点进行思维的良好习惯,进一步培养学生的审题能力、分析能力和计算能力，同时使学生认识到定量和定性研究物质及变化规律是相辅相成的，质和量是统一的辨证观点。本节课可采用讲练结合、以练为主的方法，调动学生的积极性，通过由易到难的题组和一题多解的训练，开阔思路，提高解题技巧，培养思维能力，加深对化学知识的认识和理解。

教学设计方案

重、难点：由一种反应物(或生成物)的质量求生成物(或反应物)的质量

教学过程：

引入：化学方程式可以表示为化学反应前后物质的变化和质量关系。那么，化工,农业生产和实际生活中，如何通过质量关系来计算产品和原料的质量,充分利用，节约能源呢?本节课将要学习根据化学方程式的计算，就是从量的方面来研究物质变化的一种方法。

投影：例一写出硫在氧气中完全燃烧的化学方程式______________________。写出各物质之间的质量比________________________，叙述出各物质之间质量比的意义______________________。32g硫足量氧气中完全燃烧可生成__________k二氧化硫。1.6k硫在足量的氧气中完全燃烧可生成__________________k二氧化硫，同时消耗氧气的质量是__________k。

讨论完成：

S+O2点燃SO2

323264

每32份硫与32份氧气完全反应,必生成64份二氧化硫。

32k64k

1.6k3.2k

学生练习1：写出磷完全燃烧的化学方程式__________________________。计算出各物质之间的质量关系_____________。现有31k白磷完全燃烧,需要氧气__________k，生成五氧化二磷_________k。

小结：根据化学方程式，可以求出各物质间的质量比;根据各物质之间的质量比，又可由已知物质的质量，计算求出未知物质的质量,此过程就为化学方程式的计算。

板书：第三节根据化学方程式的计算

投影：例2加热分解11.6k氯酸钾,可以得到多少k氧气?

板书：解：(1)根据题意设未知量;设可得到氧气质量为x

(2)写出化学方程式;2KClO3Δ2KCl+3O2↑

(3)列出有关物质的式量和已知量;未知量24596

11.6kx

(4)列比例式,求未知量245/11.6k=96/x

x=96×11.6k/245=4.6k

(5)答：答:可以得到4.6k氧气.

学生练习，一名同学到黑板上板演

投影：

学生练习2：实验室要得到3.2k氧气需高锰酸钾多少k?同时生成二氧化锰多少k?

练习3用氢气还原氧化铜，要得到铜1.6k，需氧化铜多少k?

分析讨论、归纳总结：

讨论：1.化学方程式不配平,对计算结果是否会产生影响?

2.化学方程式计算中,不纯的已知量能带进化学方程式中计算吗?

投影：例三12.25k氯酸钾和3k二氧化锰混合加热完全反应后生成多少k氧气?反应后剩余固体是多少k?

学生练习：同桌互相出题,交换解答，讨论，教师检查。

出题类型(1)已知反应物的质量求生成物的质量

(2)已知生成物的质量求反应物的质量

小结：根据化学方程式计算要求

化学方程式要配平

需将纯量代方程

关系式对关系量

计算单位不能忘

关系量间成比例

解设比答要牢记

板书设计：

第三节根据化学方程式的计算

例2.加热分解11.6k氯酸钾,可以得到多少k氧气?

解:(1)根据题意设未知量;设可得到氧气质量为x

(2)写出化学方程式;2KClO3Δ2KCl+3O2↑

(3)列出有关物质的式量和已知量;未知量24596

11.6kx

(4)列比例式，求未知量245/11.6k=96/x

x=96×11.6k/245=4.6k

(5)答：可以得到4.6k氧气.

小结：根据化学方程式计算要求

化学方程式要配平

需将纯量代方程

关系式对关系量

计算单位不能忘

关系量间成比例

解设比答要牢记

篇13：《方程》教学设计

一、教学内容分析：本节“分式方程”是人教版八年级下册第16章第3节的内容，是继一元一次方程，二元一次方程组之后，初中阶段所讲授的又能一种方程的解法。本节课是在继分式的内容及分式的四则混合运算之后所讲述的一个内容，其实际上就是分式与方程的综合。因此本节课可以看作是一个综合课，同时分式方程的解法也是初中阶段的一个重点内容，要求学生必须掌握。

二、学情分析：在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组)，他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路(使方程逐步化为x=a 的形式)已经比较熟悉，而分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，需通过转化思想，化分式方程为整式方程。

三、教学目标：1、明确什么是分式方程?会区分整式方程与分式方程。

2、会解可化为一元一次方程的分式方程。

3、知道分式方程产生增根的原因，并学会如何验根。

四、教学重点：分式方程的解法。

教学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。

五、教学流程

1、忆一忆

(1)什么叫方程?什么叫方程的解?

(2)什么叫分式?

(3)结合具体例子说出解一元一次方程的步骤。

设计意图：让学生由旧知识的回忆自然引出新知识便于学生理解接受。