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人教版六年级数学(下册)期末知识要点

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人教版六年级数学(下册)期末知识要点（通用10篇）由网友“屠龙公主ovo”投稿提供，下面是小编精心整理的人教版六年级数学(下册)期末知识要点，仅供参考，大家一起来看看吧。

人教版六年级数学(下册)期末知识要点

篇1：人教版六年级数学(下册)期末知识要点

六年级期中数学知识点梳理

第一模块数与代数

【点击重难点】

1.理解分数乘法和分数除法的意义，掌握分数乘除法的计算方法，

2.理解比的意义、比的基本性质及比与分数和除法间的联系，掌握比、分数、除法的转化，应用比的知识解决实际问题。

3.正确解答“求一个数的几分之几是多少”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题。

【必考题重现】

【例题1】下面哪幅图表示×的积?( )

【思路点睛】

×表示“求的是多少”，大长方形是单位“1”，将单位“1”平均分成4份，涂其中的3份就是，再将平均分成5份，涂其中的2份就是的，所以图B是正确的。

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【例题2】永和面粉厂小时可以磨面粉吨。照这样计算，小时可以磨面粉多少吨?

【思路点睛】要求小时可以磨面粉多少吨，可以先求出1小时磨面粉多少吨。用工作总量除以工作时间等于工作效率，即÷=(吨)。再求小时可以磨面粉多少吨，×=1(吨)。

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【例题3】学校九月份用电7000度，十月份比九月份节约了71，十月份比九月份节约用电多少度?

【思路点睛】十月份比九月份节约了71，就是十月份比九月份节约九月份的71。把九月份的用电数看作单位“1”。九月份的用电数×71=十月份比九月份节约的用电数。求十月份比九月份节约的用电数，也就是求九月份的71是多少。7000×71=1000(度)

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【例题4】0.25×( )=0.8×( )=23×( )=( )×37=1.5×( )=1

【思路点睛】这里实际上就是求一个数的倒数。分数的倒数只需将分子、分母调换位置。其他数将其化为分数，再把分子、分母调换位置。例如：0.25=，的倒数是4。

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【例题5】配置一种混凝土，下图表示所用材料的份数。如果这三种材料各有24吨，配制这种混凝土，当黄沙全部用完时，水泥还剩多少吨?石子增加了多少吨?

【思路点睛】由图中可知水泥、黄沙、石子的份数比是2:3:5，需要水泥的吨数是黄沙的，24×=16(吨)，水泥剩下的吨数是24-16=8(吨)。需要石子的吨数是黄沙的，24×=40(吨)，石子增加的吨数是40-24=16(吨)。

花，枝条

第二模块图形与几何

【点击重难点】

1.理解长方体和正方体的特征及其相互间的联系和区别。

2.掌握长方体和正方体的展开图，根据展开图想象相应的长方体或正方体。

3.掌握长方体和正方体表面积和体积的含义，运用长方体和正方体表面积和体积的计算方法解决生活中的实际问题。

4.理解长方体或正方体的动态变化，掌握长方体和正方体之间的转化。

【必考题重现】

【例题1】把体积是1立方分米的正方体木块切割成体积是1立方厘米的小正方体，能切成( )块。把这些小正方体排成一行，长是( )分米。

【思路点睛】因为1立方分米=1000立方厘米，所以把体积是1立方分米的正方体木块切割成体积是1立方厘米的小正方体，能切成1000块。1000个1立方厘米的正方体排成一行长1000厘米，1000厘米=100分米，所以长100分米。

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【例题2】一间教室的长是8米，宽是6米，高4米。要粉刷教室的四壁和顶面，除去门窗和黑板面积24平方米，粉刷面积是多少平方米?

【思路点睛】粉刷教室的四壁和顶面即需要粉刷5个面，需要先求出教室前后、左右和上面的面积和，(8×4+6×4)×2+8×6=160(平方米)。也可以用6个面的面积和减去地面面积，(8×4+6×4+8×6)×2-8×6=160(平方米)。门窗和黑板不需要粉刷，最后减去门窗和黑板面积，160-24=136(平方米)。

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【例题3】一段方钢长1米，横截面是边长5厘米的正方形。如果每立方厘米的方钢重7.8克，这段方钢重多少千克?

【思路点睛】由“一段方钢长1米，横截面是边长5厘米的正方形”可以求出这段方钢的体积是多少立方厘米，1米=100厘米，100×5×5=2500(立方厘米)。因为每立方厘米的方钢重7.8克，所以2500立方厘米方钢重7.8×2500=19500(克)，最后一定要注意单位的换算，19500克=19.5千克。

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【例题4】做一节长方体通风管，底面的长和宽都是15厘米，高是0.4米，至少用多少平方米的铁皮?

【思路点睛】做长方体通风管，没有上、下两个面，只有4个侧面，这里又是4个完全相同的面。其次要注意单位的统一。15厘米=0.15米。0.15×0.4×4=0.24(平方厘米)

读书分割线

【例题5】一个长40厘米，截面是正方形的长方体，如果长增加5厘米，表面积就增加80平方厘米，求原长方体的表面积。

【思路点睛】长增加5厘米，增加了5个面，但是也遮住了一个面，实际上只增加了4个面，因为侧面是一个正方形，所以增加的4个面的面积是相等的，用80÷4=20(平方厘米)，又知道增加面的长是5厘米，用20÷5-4(厘米)，求出增加面的宽，也就是原长方体的宽和高。这样就可以求出原长方体的表面积。(40×4+40×4+4×4)×2=672(平方厘米)。

人教版六年级数学(下册)期末知识要点

第一单元负数

1、负数的由来

为了表示相反意义的两个量(如盈利亏损、收入支出……)，光有学过的0、1、3.4……是远远不够的，所以出现了负数。

2、正数和负数

小于0的数叫负数(不包括0)，数轴上0左边的数叫做负数。

负数有无数个。

大于0的数叫正数(不包括0)，数轴上0右边的数叫做正数。

正数有无数个。

3、正数和负数的写法

负数：在数字前面加“-”号，负号不可以省略。

正数：在数字前面加“+”号，正号可以省略不写。

4、0 既不是正数，也不是负数，它是正、负数的分界限

5、数轴：

第二单元百分数(二)

1、折扣和成数

(1)折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折”。

几折就是十分之几，也就是百分之几十。

(2)成数：几成就是十分之几，也就是百分之几十

(3)打折问题

先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。

现价=原价×折扣

便宜的钱数=原价-原价×折扣=原价×(1-折扣)

(4)成数问题

先将成数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。

2、税率和利率

(1)税率应纳税额与各种收入的比率叫做税率。缴纳的税款叫做应纳税额。

(2)应纳税额的计算方法：

应纳税额=总收入×税率

收入额=应纳税额÷税率

(3)存入银行的钱叫做本金。取款时银行多支付的钱叫做利息。

利息与本金的比值叫做利率。

(4)利息的计算公式：

利息=本金×利率×时间

利率=利息÷时间÷本金×100%

(5)注意：如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税)，则：

税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)

税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率)

3、购物策略

(1)估计费用：根据实际的问题，选择合理的估算策略，进行估算。

(2)根据实际需要，对常见的几种优惠策略加以分析和比较，并能够最终选择最为优惠的方案

第三单元圆柱和圆锥

1、圆柱

(1)圆柱是由两个底面和一个侧面围成的。

它的底面是大小相同的两个圆，侧面是一个曲面。

圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形(或正方形)，这个长方形(或正方形)的一边长等于圆柱的底面周长，另一边长等于圆柱的高。

(2)圆柱的高是两个底面之间的距离。

(3)圆柱的特征

圆柱的底面是完全相等的两个圆。

圆柱的侧面是一个曲面。

圆柱有无数条高

(4)圆柱的相关计算公式

底面积：S底=πr²

底面周长：C底=πd=2πr

侧面积：S侧=2πrh

表面积：S表=2S底+S侧=2πr²+2πrh

体积：V柱=πr²h

2、圆锥

(1)圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面。

(2)从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

(3)圆锥的特征

圆锥的底面一个圆。

圆锥的侧面是一个曲面。

圆锥只有一条高。

(4)圆锥的相关计算公式

底面积：S底=πr²

底面周长：C底=πd=2πr

体积：V锥=πr²h

第四单元比例

1、比的意义

(1)两个数相除又叫做两个数的比

(2)“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

(3)同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

(4)比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

(5)比的后项不能是零。

(6)根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

2、比的基本性质

比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。

3、求比值和化简比

(1)求比值的方法

用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

(2)化简比

根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

4、按比例分配

在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

5、比例的意义

表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

6、比例的基本性质

在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。

7、比和比例的区别

(1)比表示两个量相除的关系，它有两项(即前、后项);比例表示两个比相等的式子，它有四项(即两个内项和两个外项)。

(2)比有基本性质，它是化简比的依据;比例也有基本性质，它是解比例的依据。

8、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示x/y=k(一定)

9、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示x×y=k(一定)

10、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：

关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例;如果积一定，就成反比例。

11、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

12、比例尺的分类

(1)数值比例尺和线段比例尺

(2)缩小比例尺和放大比例尺

13、图上距离：

图上距离/实际距离=比例尺

实际距离×比例尺=图上距离

图上距离÷比例尺=实际距离

14、应用比例尺画图的步骤：

(1)写出图的名称、

(2)确定比例尺;

(3)根据比例尺求出图上距离;

(4)画图(画出单位长度)

(5)标出实际距离，写清地点名称

(6)标出比例尺

15、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。

第五单元数学广角-鸽巢问题

1、鸽巢问题

(1)鸽巣原理

先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法,。

无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”。这个结论是在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”。

类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。

如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有2封信。

我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式。

(2)利用公式进行解题

物体个数÷鸽巣个数=商……余数

至少个数=商+1

2、摸球问题

(1)要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。即物体数=颜色数×(至少数-1)+1。

(2)利用极端思想

用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。

(3)计算公式

两种颜色：2+1=3(个)

三种颜色：3+1=4(个)

四种颜色：4+1=5(个)

篇2：人教版六年级数学下册知识要点

(一)、折扣和成数

1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折”。

几折就是十分之几，也就是百分之几十。例如：八折=8/10=80﹪，

六折五=6.5/10=65/100=65﹪

解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。

商品现在打八折：现在的售价是原价的80﹪

商品现在打六折五：现在的售价是原价的65﹪

2、成数：

几成就是十分之几，也就是百分之几十。例如：一成=1/10=10﹪

八成五=8.5/10=85/100=80﹪

解决成数的问题，关键是先将成数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。

这次衣服的进价增加一成：这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪

今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的85﹪

(二)、税率和利率

1、税率

(1)纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

(2)纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。

(3)应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。

(4)税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

(5)应纳税额的计算方法：

应纳税额=总收入×税率

收入额=应纳税额÷税率

2、利率

(1)存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。

(2)储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。

(3)本金：存入银行的钱叫做本金。

(4)利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。

(5)利率：利息与本金的比值叫做利率。

(6)利息的计算公式：

利息=本金×利率×时间

利率=利息÷时间÷本金×100%

(7)注意：如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税)，则：

税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)

税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率)

购物策略：

估计费用：根据实际的问题，选择合理的估算策略，进行估算。

购物策略：根据实际需要，对常见的几种优惠策略加以分析和比较，并能够最终选择最为优惠的方案

学后反思：做事情运用策略的好处

数学下册知识要点第三单元圆柱和圆锥

一、圆柱

1、圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得的。

圆柱也可以由长方形卷曲而得到。

两种方式：

1.以长方形的长为底面周长，宽为高;

2.以长方形的宽为底面周长，长为高。

其中，第一种方式得到的圆柱体体积较大。

2、圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是相等的

3、圆柱的特征：

(1)底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。

(2)侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。

(3)高的特征：圆柱有无数条高

4、圆柱的切割：

①横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S 增 =2πr²

②竖切(过直径)：切面是长方形(如果h=2R，切面为正方形)，该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh

5、圆柱的侧面展开图：

①沿着高展开，展开图形是长方形，如果h=2πr，则展开图形为正方形

②不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形

③无论怎么展开都得不到梯形

6、圆柱的相关计算公式：

底面积：S底=πr²

底面周长：C底=πd=2πr

侧面积：S侧=2πrh

表面积：S表=2S底+S侧=2πr²+2πrh

体积：V柱=πr²h

考试常见题型：

①已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长

②已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积

③已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积

④已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积

⑤已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积

以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算

无盖水桶的表面积=侧面积+一个底面积油桶的表面积=侧面积+两个底面积

烟囱通风管的表面积=侧面积

只求侧面积：灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装

侧面积+一个底面积：玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池

侧面积+两个底面积：油桶、米桶、罐桶类

二、圆锥

1、圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。圆锥也可以由扇形卷曲而得到。

2、圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高

3、圆锥的特征：

(1)底面的特征：圆锥的底面一个圆。

(2)侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。

(3)高的特征：圆锥有一条高。

4、圆锥的切割：

①横切：切面是圆

②竖切(过顶点和直径直径)：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，面积增加两个等腰三角形的面积，

即S增=2rh

5、圆锥的相关计算公式：

底面积：S底=πr²

底面周长：C底=πd=2πr

体积：V锥=1/3πr²h

考试常见题型：

①已知圆锥的底面积和高，求体积，底面周长

②已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积

③已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积

以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算

三、圆柱和圆锥的关系

1、圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。

2、圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的3倍。

3、圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积(注意：是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。

4、圆柱与圆锥等底等高，体积相差2/3Sh

题型总结

①直接利用公式：分析清楚求的的是表面积，侧面积、底面积、体积

分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化

分析清楚两个圆柱(或两个圆锥)半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、体积之比

②圆柱与圆锥关系的转换：包括削成最大体积的问题(正方体，长方体与圆柱圆锥之间)

③横截面的问题

④浸水体积问题：(水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升的高度)容积是圆柱或长方体，正方体

⑤等体积转换问题：一个圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的问题，注意不要乘以1/3

篇3：人教版六年级数学下册知识要点

1、比的意义

(1)两个数相除又叫做两个数的比

(2)“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

(3)同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

(4)比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

(5)比的后项不能是零。

(6)根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

2、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。

3、求比值和化简比：

求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

4、按比例分配：

在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

5、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

6、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。

7、比和比例的区别

(1)比表示两个量相除的关系，它有两项(即前、后项);比例表示两个比相等的式子，它有四项(即两个内项和两个外项)。

(2)比有基本性质，它是化简比的依据;比例也有基本性质，它是解比例的依据。

用字母表示x/y=k(一定)

用字母表示x×y=k(一定)

10、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：

关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例;如果积一定，就成反比例。

11、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

12、比例尺的分类

(1)数值比例尺和线段比例尺 (2)缩小比例尺和放大比例尺

13、图上距离：

图上距离/实际距离=比例尺

实际距离×比例尺=图上距离

图上距离÷比例尺=实际距离

14、应用比例尺画图的步骤：

(1)写出图的名称、

(2)确定比例尺;

(3)根据比例尺求出图上距离;

(4)画图(画出单位长度)

(5)标出实际距离，写清地点名称

(6)标出比例尺

15、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。

16、用比例解决问题：

根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。

17、常见的数量关系式：(成正比例或成反比例)

单价×数量=总价

单产量×数量=总产量

速度×时间=路程

工效×工作时间=工作总量

18、已知图上距离和实际距离可以求比例尺。

已知比例尺和图上距离可以求实际距离。

已知比例尺和实际距离可以求图上距离。

计算时图距和实距单位必须统一。

19、播种的总公顷数一定，每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例?

答：每天播种的公顷数×天数=播种的总公顷数

已知播种的总公顷数一定，就是每天播种的公顷数和要用的天数的积是一定的，所以每天播种的公顷数和要用的天数成反比例。

数学下册知识要点第五单元数学广角-鸽巢问题

1、鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用

①什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法, 如下表

放法

盒子1

盒子2

无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”。这个结论是在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”。

类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子

如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有2封信

我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式

②利用公式进行解题：

物体个数÷鸽巣个数=商……余数

至少个数=商+1

2、摸2个同色球计算方法。

①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。

物体数=颜色数×(至少数-1)+1

②极端思想：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。

③公式：

两种颜色：2+1=3(个)

三种颜色：3+1=4(个)

四种颜色：4+1=5(个)

篇4：人教版三年级数学(下册)期末知识要点与期中测试题

第一单元位置与方向(一)

1、认识方位

(1)东与西相对，南与北相对，

东南与西北相对，西南与东北相对。

(2)位置是相对的，不是绝对的。判断位置时现要弄清楚是以谁为标准。

2、地图通常是按上北、下南、左西、右东来绘制的。

3、看简单的路线图，描述行走路线

(1)确定出发点和要到达的地点;

(2)写清楚从哪儿向哪个方向走，走了多少米，到哪儿再向哪个方向走。

(3)同一个地点可能有不同的描述位置的方式。

第二单元除数是一位数的除法

1、一位数除整十、整百、整千数的口算

(1)利用“表内除法计算”

(2)想乘算除

2、一位数除几百几十几数或几千几百数的口算

(被除数前两位能被一位数整除时)用被除数的前两位除以一位数，在得数的末尾添上与被除数末尾同样多的0。

3、口算时的注意事项

(1)0除以任何数(0除外)都等于0;

(2)0乘以任何数都得0;

(3)0加任何数都得任何数本身;

(4)任何数减0都得任何数本身。

4、笔算除法的顺序：确定商的位数，试商，检查，验算

5、一位数除两、三位数的笔算方法

先从被除数的最高位除起，如果最高位不够商1，就看前两位，而除到被除数的哪一位，就要把商写在那一位上，假如不够商1，就在这一位商0;每次除得的余数都要比除数小，再把被除数上的数落下来和余数合起来，再继续除。

6、除法的验算方法

没有余数的除法的验算方法：商×除数=被除数

有余数的除法的验算方法：商×除数+余数=被除数

第三单元复式统计表

1、复式统计表

把两个或两个以上有联系的单式统计表合编成一个统计表，这个统计表就是复式统计表。

2、复式统计表的认识

观察、分析复式统计表要先看表头，弄清每一项的内容，再根据数据进行分析，回答问题。

第四单元两位数乘以两位数

1、口算乘法

(1)两位数乘一位数的口算

把两位数分成整十数和一位数，用整十数和一位数分别与一位数相乘，最后把两次乘得的积相加。

(2)整百整十数乘一位数的口算

先用整百数乘一位数，再用整十数乘一位数，最后把两次乘得的积相加。

先用整百整十数的前两位与一位数相乘，再在乘积的末尾添上一个0。

(3)两位数乘整十数的口算

先用这个两位数与整十数十位上的数相乘，然后在积的末尾添上一个0。

2、笔算乘法

先把第一个因数同第二个因数个位上的数相乘，再与第二个因数十位上的数相乘(积与十位对齐)，最后把两个积加起来。

第五单元面积

1、常用的面积单位有：平方厘米、平方分米、平方米

2、面积的意义和面积单位的意义。

物体表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积。

边长是1米的正方形，它的面积是1平方米。

边长是1分米的正方形，它的面积是1平方分米。

边长是1厘米的正方形，它的面积是1平方厘米。

3、面积单位之间的进率。

1平方米 = 100平方分米

1平方分米 = 100平方厘米

4、面积公式

长方形的面积=长×宽

正方形的面积=边长×边长

第六单元年、月、日

1、认识年、月、日

一年有12个月。

大月(1、3、5、7、8、10、12月)一个月有31天，小月(4、6、9、11月)一个月有30天。

平年二月28天，闰年二月29天，二月既不是大月也不是小月。

月份歌：

一、三、五、七、八、十、腊(即十二月)，三十一天永不差。

四六九冬三十天，只有二月二十八。

每逢四年闰一日，一定要在二月加。

2、判断平年、闰年

公历年份是4的倍数的一般都是闰年。

一般情况下可以用年份除以4的方法判断平年闰年。年份除以4有余数是平年，没有余数是闰年。公历年份是整百数的必须是400的倍数才是闰年。

3、经过的天数的计算

结束时间—开始时间 + 1

4、12时计时法(普通计时法)

普通计时法又叫12时计时法，就是把一天分成两个12时表示，普通计时法一定要加上“上午”、“下午”等前缀。

5、24时计时法

把一天分成24时表示，在表示的时间前可以加或可以不加表示的大概时间段得词语。

6、普通计时法转换成24时计时法

超过下午1时的时刻用24时计时法表示就是把原来的时刻加上12。

7、24时计时法表示成普通计时法

超过13时的时刻就减12，并加上下午，晚上等字在时刻前面。

8、计算经过时间，就是用结束时刻减开始时刻

结束时刻-开始时刻=时间段(经过时间)

9、时间与时刻的区别

时间是一段，时刻是一个点

第七单元小数的初步认识

1、小数的意义

像3.45,0.85,2.60,36.6,1.2和1.5这样的数叫做小数。小数是分数的另一种表现形式。

2、小数的认、读、写

限于小数部分不超过两位的小数。整数部分按整数的读法(几百几十几)。小数部分，按顺序依次读出每一位上的数字，有几个0就读几个零。

3、比较两个小数的大小

先比较小数的整数部分，整数部分大的数就大，如果整数部分相同就比较小数的小数部分，小数部分要从小数点后最高位比起。

4、计算小数加、减法

小数点对齐，也就是相同数位对齐，再按照整数加、减法的计算方法进行计算，最后在得数里点上小数点，使它与横线上的小数点对齐。

第八单元数学广角-搭配(二)

1、简单的排列

先确定第一个位置，再按顺序确定后面的位置，有几种可能就有几种排列法。有序排列才能做到不重复、不遗漏。

2、简单的组合

按照一定的顺序把搭配的事物两两相连，有几条线就有几个组合。组合问题可以用连线的方法来解决。

3、组合与排列的区别

排列与事物的顺序有关，而组合与事物的顺序无关。

篇5：人教版三年级数学(下册)期末知识要点与期中测试题

一、你知道吗?填一填。(每空1分，共19分)

1、地图通常是按上( )、下( )、左( )、右( )绘制的。

2、中华人民共和国是( )年( )月( )日成立。

3、太阳早晨从( )面升起，傍晚从( )面落下。

4、平年全年有( )天，闰年全年有( )天。

5、在一道有余数的除法中,除数是7,余数最大是( );

6、 3年=( )月 360分=( )时

4个星期=( )天 63日=( )个星期

7、用24时记时法记录下列时间：

早上6﹕00 傍晚4﹕56 深夜11﹕30

( ) ( ) ( )

二、公正小法官(对的打∨,错的打×，共6分)

1、457÷3的商是三位数。 ( )

2、今年是5月30日，明天就是六一儿童节。 ( )

3、一个数除以8，有余数，那么余数最大是7。 ( )

4、是平年。 ( )

5、小刚的生日正好是2月30日。 ( )

6、晚上8时用24时计时法表示是20：00 ( )

三、选择题(共7分)

1、国庆节是( )

A、1月1日 B、5月1日 C、6月1日 D、10月1日

2、一年中大月有( )个月，小月有( )个月;

A、6 B、4 C、7

3、三个公历年份中，( )是闰年。

A、1800 B、 C、

4、广播时：“现在是北京时间19点整”是指( )

A A、7时 B、上午7时 C、下午7时

5、下列公元年份中，( )年是平年。

A、 B、 C、1988 D、1900

6、的二月份是( )

A、28天 B、29天 C、30天 D、31天

四、计算(共36分)

1、口算(10分)

300×6= 300÷6= 137-19= 309÷3=

24×3= 280÷7= 0÷60= 55÷5=

440÷9≈ 809÷9≈

2、列书竖式计算。(前面4题3分，验算题4分，共20分)

294÷7= 624÷6= 542÷3=

2040÷6= 804÷5= 324÷3=

验算：验算：

3、用递等式计算(每题3分，共6分)

576÷3÷4 (601-246)÷5

= =

五、我一定知道填!(8分)

教学楼在操场的( )，图书室在操场的( )，大门在操场的( )，体育馆在操场的( )。

六、解决问题。(前面4题，每题4分，第5题8分，共24分)

1、奥林匹克火炬在中国某省4天传递了816千米。平均每天传递了多少千米?

2、学校有37个乒乓球，又买来83个。如果平均分给6个班，每个班分得多少个?

3、一副羽毛球拍38元，施老师要买5副球拍，带200元钱够吗?

4、服装厂一个星期生产了7008套服装，每9套装一箱，可以装几箱，还剩几套?

5、以下是李明同学的各课考试成绩

学科

语文

数学

英语

科学

成绩(分)

(1)把李明的各科成绩在统计图中表示出来。

(2)李明四门功课的平均成绩是多少?

(3)从以上图表中，你还发现了什么?你想对李明说些什么?

答案

一、1、北南西东

2、1949 10 1

3、东西

4、365 366

5、6

6、36 6 28 9

7、6:00 16:56 23:30

二、 √ × √ √ × √

三、 D (C、B) C C D A

四、 1、1800 50 118 103 72 40

0 11 50 90

2、(略)

3、48 71

五、北东南西

六、 1、204千米

2、20个

3、190 够

4、778(箱)……6(套)

5、(略)

北师大小学三年级数学下册期中测试

一、填空(20分、每空1分)

1、两位数乘两位数的积可能是( )位数，也可能是( )位数。

2、口47÷5，要使商是两位数，口里最大要填( );要使商是三位数，口里最小要填( )。

3、616÷7商是( )位数，最高位是( )位;50×40积是( )位数，它的末尾有( )个零。

4、8千克=( )克2000千克=( )吨

5、一个数除以5，商是70，余数是3，这个数是( )。

6、从574里面连续减去7，最多能减( )次。

7、汽车行驶时，车轮做( )运动，车身做( )运动。

8、在○填上“>”、“<”或“=”。

35×76○75×36 38×9○18×19 380×0○980×0

450÷3○540÷5 700÷5○800÷5 120÷4○24÷8

二、判断。(对的打“√”，错的打“×”，每空1分，共5分)

1、电梯的升降是旋转现象。( )

2、所有轴对称图形都只有一条对称轴。( )

3、两个不为0的数相乘，其中一个乘数末尾有几个0，积的末尾就至少有几个0( )

4、5千克铁比5千克棉花重。( )

5、在除法中，商的末尾没有0，那么被除数末尾也没有0。( )

三、选一选(将正确答案的字母填在括号里)(10分、每题2分)

1、下面( )组汉字都是轴对称的。

A、美国B、中山C、油画

2、与28×60的计算结果不同的算式有( )。

A、280×6 B、 208×6 C、210×8

3、计算除法时，要从( )位算起。

A、高位 B、低位 C、怎么算都可以

4、31×58的积最接近( )

A、1500 B、 1800 C、2400

5、如果△是〇的32倍，下面算式对的是( )。

A、△ +32=〇 B、△×32=〇 C、〇×32=△

四、计算(30分)

1、直接写得数(12分、每题1分)

48÷4= 30×14= 25×4= 72÷9×5=

0÷15= 56×0= 360÷9= 10×15÷5=

10×20= 50×11= 54÷3= 88÷4×2=

2、竖式计算(9分、每题3分)

29×14= 324÷3= 57×16=

3、脱式计算(9分、每题3分)

43×(200-185) 306÷6×30 540÷9÷6

五、作图(5分)

①帆船图向( )平移了( )格

②在方格纸上画出三角形向右平移5格的图形。

六、生活中的数学(35分)

1、豪华电影院有12个小放映厅，每个小放映有30个座位，育才小学一次去了350人看电影，电影院的座位够吗?(6分)

2、我6天看了42页，照这样的速度，看完一本105页的故事书一共需要多少天?(6分)

3、一幢大楼有12层，每层住4户，3幢这样的大楼一共住多少户?(6分)

4、小强每分钟走72米,要8分钟才能走到学校，小强每天上、下学要往返2次，他每天要走多少米?(6分)

5、购物。(11分)

(1)买11盒水彩笔共花多少钱?(3分)

(2)书包的单价是笔记本的几倍?(3分)

(3)自己提出一个数学问题，并解答。(5分)

附带答案：

一、1、三四 2、4 5 3、两十四三 4、8000 2 5、353

6、82 7、旋转平移 8、< = = > < >

二、××√×√

三、B B A B C

四、1、12 420 100 40

0 0 40 30

200 550 18 44

2、406 108 912

3、645 1530 10

五、(1)下 6 (2)略

六、1、12×30=360(个) 360>350 不够

2、105÷(42÷6)=15(天)

3、12×4×3=144(户)

4、72×8×2=1248(米)

5、(1)11×13=143(元)

(2)56÷4=14

(3)略

苏教版小学三年级数学下册期中测试

一、填一填。

1.5千米=( )米 3000千克=( )吨

2.04吨=( )吨( )千克 4000米=( )千米

2.在估算72×30时，可以将72看做( )进行估算。

3.商店进了3箱文具盒，每箱24个，已经卖出了50个，还剩下( )个文具盒没有卖出。

4.在括号里填合适的单位。

(1)猎豹每小时奔跑110( )。

(2)一辆卡车的载重是6( )。

(3)一头蓝鲸大约重70( )。

(4)南京到上海的铁路长约300( )。

5.写出一个满足( )×( )≈3000的两位数乘两位数的乘法算式。

6.张叔叔买了15本《科技博览》，每本28元。根据下面的竖式，在括号里填上合适的数。

7.王阿姨买来一瓶药，每天吃3次，每次吃2片，一共可以吃20天。这瓶药一共可以吃( )次，这瓶药一共有( )片。

8.把下面两道算式合并成一道综合算式。

75+15=90 8×90=720 综合算式：________________

9.用“4、3、7、9”算24，我是这样算的：________________________________________________________。

10.用同样的时间看一本书，小红还剩下51页没看，小明还剩下43页没看，( )看书看得快。

二、辨一辨。(对的画“√”，错的画“×”)

1.560÷2÷4与560÷(2×4)的计算结果相同。 ( )

2.乘数的末尾没有0，积的末尾也一定没有0。 ( )

3.世界最高峰珠穆朗玛峰海拔约9千米。 ( )

4.鲜花店有85支玫瑰，比百合的数量多8支，百合有93支。( )

5.两个数的和一定比两个数的积小。( )

三、选一选。(把正确答案的字母填在括号里)

2.下面说法不正确的是( )。

A.1000千克铁和1吨纸一样重

B.0乘任何数或除以任何数，结果都是0

C.小莉有奶糖3盒，水果糖11颗，她一共有14颗糖

3.48×50的积的末尾有( )个0。

A.1 B.2 C.3

4.马小虎在计算(12+8)×5时先算乘再算加，计算结果与原来正确的结果相比，( )。

A.小48 B.小60 C.小42

5.在一次长跑比赛中，小强在小新前面70米，小华在小立后面60米，小新在小华前面的20米，( )跑在最前面。

A.小强 B.小新 C.小力

四、计算。

1.口算。

25×40= 60×80= 15×(2+3)= 12-2×6=

60×15= 99×0= 8+2×7= 3×4-4=

2.用竖式计算。

56×85= 45×23= 50×96=

3.混合运算。

362-(78+136) 526+38×52 316-216÷6

五、按要求完成下列各题。

1.填一填，并解答。

( )+( )=总人数

应先算：________________。

2.填表

排球

笔袋

水彩笔

文具盒

单价

42元

( )元

36元

18元

数量

( )个

19个

44盒

12个

总价

630元

380元

( )元

六、解决问题。

1.买18套衣服需要多少元?

2.有16束鲜花，每束26朵，要摆放在4间客房里，平均每间客房摆放多少朵?

3.小马虎在计算两位数乘两位数时，把一个乘数43个位上的数错看成了8，结果多了 165，正确结果是多少?

(1)一头大象和一只羊一共有多重?合多少吨?

(2)你还能提出什么数学问题?提出一个并解答。

5.小东从家到学校比到书店少用8分钟。

(1)小东平均每分钟走多少米?

(2)星期天，小东看完电影后用同样的速度走回家，走了26分钟时，他大概走到哪个位置?先算一算，再在图中用“·”表示出来。

参考答案：

一、1.5000 3 2 40 4

2.70

3.22

4.(1)千米 (2)吨 (3)吨 (4)千米

5.51 60(答案不唯一)

6.10 280 7.60 120

8.8×(75+15)=720

9.9-7=2，2×4=8，8×3=24(答案不唯一)

10.小明

二、1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.×

三、1.B 2.C 3.B 4.A 5.A

四、1.1000 4800 75 0 900 0 22 8

2.4760 1035 4800

3.148 2502 280

五、1.男生人数女生人数女生有多少人

36-12=24(人) 24+36=60(人)

2.15 20 1584 216

六、1.(45+36)×18

=81×18

=1458(元)

答：买18套衣服需要1458元。

2.16×26=416(朵)

416÷4=104(朵)

答：平均每间客房摆放104朵。

3.165÷(48-43)=33

43×33=1419

答：正确结果是1419。

4.(1)50×19+50=1000(千克)

1000千克=1吨

答：一头大象和一只羊一共有1000千克重，合1吨。

(2)略。

5.(1)1440-960=480(米)

480÷8=60(米)

答：小东平均每分钟走60米。

(2)26×60=1560(米) 1560-1080=480(米)

他应该走到学校与他家的正中间位置。在图中用“·”表示略。

篇6：六年级语文下册期末复习知识要点

六年级语文下册期末复习知识要点汇总

《文言文两则》

1、背诵课文，默写。

2、知识点：《学弈》选自《孟子. 告子》，《学弈》这个故事，说明了学习应专心致志，不可三心二意的道理;《两小儿辩日》选自《列子. 汤问》，这个故事体现了两小儿善于观察，说话有理有据以及孔子实事求是的态度。

3、注释：字、词：弈：下棋。通国：全国。诲：教导。惟弈秋之为听：只听弈秋(的教导)。

鸿鹄：天鹅。援：引，拉。俱：一起。弗：不。矣：了。为：因为。

其：他的，指后一个人。

辩斗：辩论，争论。以：认为。去：离。日中：正午。及：到。

沧沧凉凉：形容清凉的感觉。沧沧：寒冷的意思。探汤：把手伸向热水里。意思是天气很热。汤：热水。决：判断。孰：谁。汝：你。

句子：为是其智弗若与?曰：非然也。

译：难道是因为他的智力不如前一个人吗?回答说：不是这样的。

我以日始出时去人近，而日中时远也。

译：我认为太阳刚出来的时候离人近一些，中午的时候离人远一些。

孰为汝多知乎?

译：谁说你的知识渊博呢?

译文：学弈

弈秋是全国的下棋高手。他教导两个学生下棋，其中一个学生非常专心，只听弈秋的教导;另一个学生虽然也在听弈秋讲课，心里却一直想着天上有天鹅要飞过来，想要拉弓引箭把它射下来。虽然他俩在一块儿学习，但是后一个学生不如前一个学得好。难道是因为他的智力不如前一个人吗?回答说：不是这样的。

两小儿辩日

有一天，孔子到东方游学，看到两个小孩为什么事情争辩不已，便问是什么原因。

一个小孩说：“我认为太阳刚出来的时候离人近一些，中午的时候离人远一些。”

另一个小孩却认为太阳刚出来的时候离人远些，而中午时要近些。

一个小孩说：“太阳刚出来的时候像车盖一样大，到了中午却像个盘子，这不是远的时候看起来小而近的时候看起来大的道理吗?”

另一个小孩说：“太阳刚出来的时候有清凉的感觉，到了中午却像把手伸进热水里一样，这不是进的时候感觉热而远的时候感觉凉的道理吗?”孔子也不能判断是怎么回事。两个小孩笑着说：“谁说你的知识渊博呢?”

《匆匆》(散文)

1、背诵课文。

2、知识点：《匆匆》的作者是著名散文大师朱自清，他的散文名篇有《匆匆》、《背影》、《荷塘月色》等。本文紧扣“匆匆”二字，细腻地刻画了时间流逝的踪迹，表达了作者对时光流逝的无奈和惋惜。

3、理解句子：(1)燕子去了，有再来的时候;杨柳枯了，有再青的时候;桃花谢了，有再开的时候。但是，聪明的，你告诉我，我们的日子为什么一去不复返呢?

用排比的句式，表明大自然的枯荣是时间飞逝的痕迹。“我们的日子为什么一去不复返呢?”看似在问，实际上表达了作者对时光逝去而无法挽留的无奈和对已逝日子的深深留念。

(2)像针尖上一滴水滴在大海里，我的日子滴在时间的流里，没有声音，也没有影子。

比喻句。把自己过去的八千多日子比喻成针尖上的水滴，把时间的流比喻成浩瀚的大海。时间消逝得那么快，无声无息，无影无踪，表现出作者十分无奈的愁绪。

(3)洗手的时候，日子从水盆里过去;吃饭的时候，日子从饭碗里过去;默默时，便从凝然的双眼前过去。

排比句。作者从人们日常生活的细节，展示了日子在生活的不经意中来去匆匆。

(4)过去的日子如轻烟，被微风吹散了，如薄雾，被初阳蒸融了;我留着些什么痕迹呢?

比喻独特，联想新奇。日子就是如此稍纵即逝。

4、背诵《明日歌》。

5、有关珍惜时间的句子：(1)一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。(2)光阴似箭，日月如梭。(3)黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。

《桃花心木》(借物喻人)

1、背诵第4、13、14自然段。

2、句子的理解：(1)奇怪的是，他来得并没有规律，有时隔三天，有时隔五天，有时十几天才来一次;浇水的量也不一定，有时浇得多，有时浇得少。

这句话写种树人的奇怪做法。有两点奇怪：一是来的时间不确定，隔三差五，或十几天来一次;二是浇水的量不确定，时多时少。作者桔树苗的生长，来比喻人的成长，写一个种树人让“树木自己学会在土地里找水源”的育苗方法，说明了在艰苦环境中经受生活考验、克服依赖性对人成长的重要意义。

(2)不只是树，人也是一样，在不确定中生活的人能比较经得起生活的考验，会锻炼出一颗独立自主的心。

这里的“不确定”是指生活中不可预料的一些坎坷、曲折、磨难。只有经得起生活中风风雨雨的考验，才能成为坚强的人、有作为的人。

(3)种树的人不再来了，桃花心木也不会枯萎了。

因为种树人来的目的就是让树木适应环境，把很少的养分转化为巨大的能量，经得起风吹雨打的锻炼，学会自己在土地里找水源，深深扎根，茁壮成长。如种树人所愿，现在桃花心木也不会枯萎了，说明他种树成功了。

《回顾. 拓展一》

1、日积月累：人生哲理的格言

(1)人非生而知之者，孰能无惑? 《师说》

(2)一鼓作气，再而衰，三而竭。《左传》

(3)甘瓜苦蒂，天下物无全美。《墨子》

(4)种树者必培其根，种德者必养其心。《传习录》

(5)操千曲而后晓声，观千剑而后识器。《文心雕龙》

2、邯郸学步——比喻一味模仿别人，不仅学不到本事，反而把原来的本事也丢掉了。

《北京的春节》

1、背诵第7、11、12自然段。

2、作者：老舍。原名舒庆春，满族人，代表作《骆驼祥子》、《我这一辈子》、《四世同堂》、《正红旗下》等。老舍的语言风格：北京韵味，通俗明白，幽默诙谐。

3、《北京的春节》是按时间顺序写的。

腊月初旬到年底 1——6 熬腊八粥;泡腊八蒜;吃糖;大扫除;购置年货略写

除夕 7 家家灯火通宵，炮声不绝，吃团圆饭，守岁详写

初一 8——9 男人们外出拜年，女人们在家接待客人，小孩逛庙会详写

初六 10 店铺开张;伙计轮流去逛庙会、逛天桥和听戏略写

正月十五，元宵节 11——12 观花灯，放鞭炮，吃元宵详写

正月十九 13 春节结束，小孩上学，大人忙活略写

像这样有详有略地介绍老北京过春节的习俗，好处是点面结合，重点突出，主次分明，使北京的春节给人留下深刻的印象。

《回顾. 拓展二》

1、日积月累

(1)《元日》宋王安石

爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏。千门万户曈曈日，总把新桃换旧符。

(2)《天竺寺八月十五日夜桂子》唐皮日休

玉颗珊珊下月轮，殿前拾得露华新。至今不会天中事，应是嫦娥掷与人。

2、百里不同风，千里不同俗。

3、《元日》写的是除夕时的情景，《天竺寺八月十五日夜桂子》写的是中秋时的情景。我国的传统佳节还有清明、端午、乞巧节等。描写我国传统佳节的诗句有：“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”;“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂”等。

《十六年前的回忆》(回忆录)

1、背诵第5、7、17、19、22自然段。

2、《十六年前的回忆》通过对李大钊的回忆，是按被捕前、被捕时、法庭上、被害后的顺序来叙述的。被捕前写父亲烧掉文件和书籍，工友阎振三被抓，反映出形式的险恶与处境的危险;被捕时写了敌人的心虚、残暴与父亲的处变不惊;法庭上描写了李大钊的镇定、沉着;被害后写了全家的无比悲痛。

文章展示了革命先烈忠于革命事业的伟大精神和面对敌人坚贞不屈的高贵品质，表达了作者对父亲的敬仰与深切的怀念。

3、理解句子：(1)父亲是很慈祥的，从来没骂过我们，更没打过我们。我总爱问父亲许多幼稚可笑的问题。他不论多忙，对我的问题总是很感兴趣，总是耐心地讲给我听。这一次不知道为什么，父亲竟这样含糊地回答我。

从这句话看出父亲平常非常慈祥，有耐心;而这一次却是不耐烦地，含糊地回答我，这是因为当时的局势十分严重，不是和孩子谈心的时候，而且这件事并不是几句话能说清楚的。这里写出了李大钊对待亲人慈爱与对待工作认真严肃。

(2)局势越来越严重，父亲的工作也越来越紧张。他的朋友劝他离开北京，母亲也几次劝他。父亲坚决地对母亲说：“不是常对你说吗?我是不能轻易离开北京的。你要知道现在是什么时候，这里的工作多么重要。我哪能离开呢?”母亲只好不再说什么了。

李大钊把革命工作看得比什么都重要。表现了他对革命高度负责的的精神。

(3)在法庭上，我们跟父亲见了面。父亲仍旧穿着他那件灰布旧棉袍，可是没戴眼镜。我看到了他那乱蓬蓬的长头发下面的平静而慈祥的脸。

从这句话可以看出父亲虽受敌人的折磨，但依旧沉着、慈祥。“没戴眼镜”“乱蓬蓬的长头发”说明敌人对李大钊施了重刑，“平静”说明李大钊经历残酷的折磨后依旧坚强，“慈祥”体现了李大钊对亲人的爱。

4、课文最后三个自然段与开头的联系是：首尾呼应。这样写的好处：使文章显得非常紧凑，同时突出了作者一直把父亲的被害牢记在心的思想感情。

《为人民服务》(议论文)

1、背诵全文。

2、《为人民服务》是一篇议论文，议论文一般包含论点、论据、论证三个要素。本文的作者是毛泽东，是为纪念张思德所作的演讲。文章开头就鲜明地提出了中国共产党及其领导的八路军、新四军的宗旨——完全、彻底地为人民服务;然后结合当前的实际，从三个方面说明怎样才能完全、彻底地为人民服务：一是树立“为人民利益而死，就比泰山还重”的生死观;二是正确对待批评，为人民的利益坚持好的、改正错的;三是搞好团结、克服困难、提高勇气、互相爱护，使整个人民团结起来。

3、理解句子：(1)我们的共产党和共产党所领导的八路军、新四军，是革命的队伍。我们这个队伍完全是为着解放人民的，是彻底地为人民的利益工作的。

文章开篇就点明主题。整段话表明：全心全意为人民服务，是共产党和革命军队的根本宗旨。我们的队伍不管在什么时候，不管做什么工作，都百分之百地为人民服务。完全的意思：除了为人民服务，没有别的目的;彻底是贯彻到底的意思。

(2)我们的干部要关心每一个战士，一切革命队伍的人都要互相关心，互相爱护，互相帮助。

这句话的意思是，革命队伍的人是为了一个共同目标走到一起来的。因此，不论是干部对战士，还是战士对战士，都要互相关心、爱护和帮助。这样才能更好地团结起来，共同奋斗，实现我们的目标。

4、共几句?每句话说的是什么意思?句与句是怎样连起来的?

因为我们是为人民服务的，所以，我们如果有缺点，就不怕别人批评指出。不管是什么人，谁向我们指出都行。只要你说得对，我们就改正。你说的办法对人民有好处，我们就照你的办。

这段话共3句话。第一句是讲我们要欢迎批评，第二句话是讲我们欢迎任何人的批评，第三句话是讲我们接受任何人的只要是正确的批评。句与句之间联系紧密，意思层层递进。再抓住这段话中的关联词语分析，我们可以进一步明确：衡量批评正确与否的标准只有一个，就是是否符合人民的利益。接受任何人的只要是正确的批评的目的也只有一个，就是为人民服务。

回顾. 拓展三

1、《囚歌》，作者：叶挺。为人进出的门紧锁着，为狗爬出的洞敞开着，一个声音高叫着：——爬出来吧，给你自由! ||我渴望自由，但我深深地知道——人的身躯怎能从狗洞子里爬出!||我希望有一天地下的烈火，将我连这活棺材一齐烧掉，我应该在烈火与热血中得到永生!

2、《红岩》中的人物有：江姐、许云峰、华子良、小萝卜头……

革命题材的小说：

《铁道游击队》，作者刘知侠;《红日》，作者吴强;《小兵张嘎》，作者徐光耀;《小游击队员》，作者王愿坚;《赤色小子》，作者张品成。

《卖火柴的小女孩》

1、背诵1、2、3、5、6、7、9、10、11、12自然段。

2、这篇课文是丹麦作家安徒生的一篇著名童话，讲述了一个卖火柴的小女孩大年夜冻死在街头的故事。特点：写实和写虚交替进行，美丽的幻象和残酷的现实更迭出现，突出了小女孩的悲惨命运。

《拇指姑娘》、《海的女儿》、《丑小鸭》……也是安徒生的作品。

3、《卖火柴的小女孩》一文重点写了小女孩五次擦燃火柴，眼前出现了四次幻景。第一次看到了温暖的大火炉，因为小女孩非常寒冷，她渴望得到温暖。第二次看到了喷香的烤鹅，因为小女孩非常饥饿，她渴望得到食物。第三次看到了美丽的圣诞树，因为小女孩非常痛苦，她渴望得到欢乐。第四次看到了慈祥的奶奶，因为小女孩非常孤独，她渴望得到疼爱。

4、理解句子：(1)飞到那没有寒冷，没有饥饿，也没有痛苦的地方去了。

这句话的意思是小女孩离开了人世，在美妙的幻觉中死去了。再也不用忍受寒冷、饥饿和痛苦了。

(2)她曾经多么幸福，跟着她奶奶一起走向新年的幸福中去。(两个“幸福”的含义? )

前一个“幸福”是小女孩临死前是在美好的幻象中度过的，是幸福的;后一个“幸福”是小女孩死了就没有寒冷、饥饿和痛苦了，就彻底幸福了。通过这两个“幸福”，我们可以感受到作者压抑心头的满腔悲愤，感受到作者对穷苦人民寄予的深切同情和对贫富悬殊社会现实的强烈不满。

《凡卡》

1、背诵第6、8、21自然段。

2、课文通过凡卡给爷爷写信这件事，反映了沙皇统治下俄国社会中穷苦儿童的悲惨命运，揭露了当时社会制度的黑暗。

凡卡在信中向爷爷倾诉自己难以忍受的悲惨的学徒生活，再三哀求爷爷带他离开这儿，回到乡下去，并回忆了乡下生活的两个情景：一是爷爷守夜的情景;二是过圣诞节的情景。

本文在表达上有两个特点：第一，讲凡卡的悲惨遭遇时，作者的叙述、凡卡的信和他在写信过程中的回忆三部分内容穿插起来，互相映衬。第二，采用了对比、反衬、暗示的表达方法。

回顾. 拓展四

1、《日积月累》。

正直是道德之本。——(埃及)迈哈福兹《平民史诗》

眼泪无法洗去痛苦。——(冰岛)拉克司内斯《冰岛之钟》

最伟大的见解是最朴实的。——(英国)戈尔丁《蝇王》

人是为了自己的希望才活着的。——(苏联)《静静的顿河》

守信是一项财宝，不应该随意虚掷。——(哥伦比亚)马尔克斯《百年孤独》

使卵石臻于完美的，并非锤的打击，而是水的且歌且舞。——(印度)泰戈尔《飞鸟集》

只有那些勇敢镇定的人，才能熬过黑暗，迎来光明。——(危地马拉)阿斯图里亚斯(玉米人)

一个人并不是生来要给打败的。你尽可以消灭他，课就是打不败他。——(美国)海明威《老人与海》

2、知识点：丹麦作家安徒生的《卖火柴的小女孩》，俄国作家契诃夫的《凡卡》，英国作家笛福的《鲁滨孙漂流记》，美国作家马克. 吐温的《汤姆. 索亚历险记》。

《跨越百年的美丽》

1、题目中的“百年”指的是永恒，居里夫人的伟大发现对社会的贡献永恒，她的优秀品质和人格精神永恒。

2、背诵2、4、5、6自然段。

3、理解句子：(1)这种可贵的性格和高远的追求，是玛丽. 居里几乎在完成这项伟大自然发现的同时，也完成了对人生意义的发现。

“这项伟大自然发现”是指居里夫人发现了放射性金属元素镭，“人生意义的发现”是指居里夫人明白了人生的价值并不在于年轻美貌、金钱名利，而在于为科学作出贡献，为人类做出贡献。

(2)她从一个漂亮的小姑娘，一个端庄坚毅的女学者，变成科学教科书里的新名词“放射线”，变成物理学的一个新的计量单位“居里”，变成一条条科学定律，她变成了科学史上一块永远的里程碑。

这里的“变”是一种人生价值的提升，生命境界的飞跃，四个“变成”概括了居里夫人奋斗的一生以及不朽的功绩。

《真理诞生于一百个问号之后》

1、背诵1、2、6、7、8自然段。

2、“真理诞生于一百个问号之后”是课文的主要观点，用事实论述了只要善于观察，不断发问，不断解决疑问，锲而不舍地追根求源，就能在现实生活中发现真理。

课文举了科学发展史上的三个代表性事例：一是谢皮罗教授从洗澡水的漩涡中发现问题，通过反复的试验和研究，发现水的漩涡的旋转方向和地球的自转有关;二是英国的著名化学家波义耳偶然发现盐酸会使花瓣变红，继而进行了许多实验，终于发明了酸碱试纸;三是奥地利医生从儿子做梦时眼珠转动这个现象，经过反复观察和分析，推断出凡是睡者眼珠转动时都表示在做梦的普遍规律。

3、理解句子：(1)最后把“?”拉直变成“!”，找到了真理。

这里的“?”是发现的问题，是不断的追问，“!”是通过探索，解决了疑问，发现了真理。这样写的好处：这个句子把一个抽象的道理，用直观形象的方法进行表述，给人留下了深刻的印象。

(2)善于“打破沙锅问到底”的人，却从中有所发现，有所发明，有所创造，有所成就。

“打破沙锅问到底”形象表达了锲而不舍、不断探索的精神，“发现”“发明”“创造”“成就”这四个词按收获由小到大排列，也说明平常事情中蕴含着真理，蕴含着伟大的成就，而这些只有“打破沙锅问到底”的人才能做到。

(3)只要你见微知著，善于发问并不断探索，那么，当你解答了若干个问号之后，就能发现真理。

“见微知著”的意思：看到事物的苗头，就能知道它的发展趋势或问题的实质。这句话用“只要…….就……”的句式说明“科学并不神秘，真理并不遥远”，发现真理的前提条件就是“见微知著”，能从平常的现象中发现问题，看到本质，并“不断探索”。

回顾. 拓展五

1、《日积月累》

百炼成钢发愤图强坚持不懈迎难而上

集思广益群策群力革故鼎新标新立异

独出心裁举一反三实事求是各抒己见

不耻下问触类旁通精益求精古为今用

2、“舍本逐末”来比喻做事不抓住主要问题，而专顾细枝末节。

篇7：高一数学期末知识要点

两个平面的位置关系：

(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点

(2)两个平面的位置关系：

两个平面平行——没有公共点;两个平面相交——有一条公共直线。

a、平行

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交

二面角

(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°，180°]

(3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两平面垂直

两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为⊥

两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)

棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。

棱锥的性质：

(1)侧棱交于一点。侧面都是三角形

(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

正棱锥

正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

(3)多个特殊的直角三角形

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

集合

集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急～。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—19，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。

集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。

集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。

集合与集合之间的关系

某些指定的对象集在一起就成为一个集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。(说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A属于B。中学教材课本里将符号下加了一个不等于符号，不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。)

篇8：四年级数学(下册)期末知识要点，易错题解析

人教版四年级数学(下册)期末知识要点

第一单元四则运算

1、加法的意义和各部分间的关系

(1)把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。

(2)相加的两个数叫做加数。加得的数叫做和。

(3)加法各部分间的关系：

和=加数+加数

加数=和-另一个加数

2、减法的意义和各部分间的关系

(1)已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。

(2)减法各部分间的关系：

差=被减数-减数

减数=被减数-差

被减数=减数+差

3、减法是加法的逆运算。

4、乘法的意义和各部分间的关系

(1)求几个相同加数的和和的简便运算，叫做乘法。

(2)相乘的两个数叫做因数。乘得的数叫做积。

(3)乘法各部分间的关系：

积=因数×因数

因数=积÷另一个因数

5、除法的意义和各部分间的关系

(1)已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。

(6)除法各部分间的关系：

商=被除数÷除数

除数=被除数÷商

被除数=商×除数

有余数的除法：被除数=商×除数+余数

6、除法是乘法的逆运算。

7、加法、减法、乘法、除法统称为四则运算。

8、四则混和运算的顺序

(1)在没有括号的算式里，如果只有加、减法，或者只有乘、除法，都要按(从左往右)的顺序计算;

(2)在没有括号的算式里，如果既有乘、除法，又有加、减法，要先算(乘、除法)，后算(加、减法);(先乘除,后加减)

(3)在有括号的算式里，要先算括号里面的，后算括号外面的。

9、有关0的计算

①一个数和0相加，结果还得原数：

a + 0 =a 0 + a = a

②一个数减去0，结果还得这个数：

a - 0 = a

③一个数减去它自己，结果得零：

a - a = 0

④一个数和0相乘，结果得0：

a × 0 = 0 ; 0 × a = 0

⑤0除以一个非0的数，结果得0：

0 ÷ a = 0 ;

⑥ 0不能做除数：

a÷0 = (无意义)

10、租船问题

解答租船问题的方法：先假设、再调整。

先假设租价格便宜的船，并计算结果，如果船没有坐满，再进行调整。

第二单元观察物体(二)

1、从不同位置观察物体

辨认从上面、前面、左面观察到物体的形状。

先数看到几个面，再看它的排列法，画图形时要注意，只分上下画数量。

2、从不同位置观察同一个物体，所看到的图形有可能一样，也有可能不一样。

3、从同一个位置观察不同的物体，所看到的图形有可能一样，也有可能不一样。

4、从不同的位置观察，才能更全面地认识一个物体。

第三单元运算定律

1、加法运算定律

①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

a+b=b+a

②加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数;或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。

(a+b) +c=a+(b+c)

(加法的这两个定律往往结合起来一起使用)

2、连减的性质

一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和。

a-b-c=a-(b+c)

3、乘法运算定律

①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

a×b=b×a

②乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。

(a×b) ×c=a×(b×c)

(乘法的这两个定律往往结合起来一起使用)

③乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这两个数相乘，再把积相加。

(a+b) ×c=a×c+b×c

4、连除的性质

一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。

a÷b÷c=a÷(b×c)

第四单元小数的意义和性质

1、小数的意义

在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用(小数)来表示。

分母是10、100、1000……的分数可以用小数来表示。

2、小数的组成

小数点前面的数叫小数的整数部分，小数点后面的数叫小数的小数部分。

3、小数的计数单位

小数点后面第一位是十分位，十分位的计数单位是十分之一，又可以写作0.1;

小数点后面第二位是百分位，百分位的计数单位是百分之一，又可以写作0.01;

小数点后面第三位是千分位，千分位的计数单位是千分之一，又可以写作0.001……

4、小数每相邻两个计数单位间的进率都是10。

5、小数的读法

整数部分按照整数的读法去读，小数点读作“点”，小数部分要依次读出每一个数字。

6、小数的写法

整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位的右下角，小数部分要依次写出每一个数位上的数字。

7、小数的性质

在小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

8、小数大小的比较

先比较整数部分，整数部分大，那个小数就大;整数部分相同，就比较小数部分，十分位相同，就比较百分位，百分位也相同，就比较千分位……

9、小数点的移动引起的小数大小变化规律

(1)小数点向右：移动一位，相当于把原数乘10，小数就扩大到原数的10倍;移动两位，相当于把原数乘100，小数就扩大到原数的100倍;移动三位，相当于把原数乘1000，小数就扩大到原数的1000倍……

(2)小数点向左：移动一位，相当于把原数除以10，小数就缩小到原来的十分之一;移动两位，相当于把原数除以100，小数就缩小到原来的一百分之一;移动三位，相当于把原数除以1000，小数就缩小到原来的一千分之一……

10、不同数量单位的数据之间的改写

低级单位数÷进率=高级单位数

11、求近似数

保留整数，就是精确到个位，看十分位上的数来四舍五入;

保留一位小数，就是精确到十分位，看百分位上的数来四舍五入;

保留两位小数，就是精确到百分位，看千分位上的数来四舍五入。

(表示近似数时小数末尾的0不能去掉)

12、非整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数

改写时，只要在万位或亿位的右边，点上小数点，在数的后面加上“万”字或“亿”字。

第五单元三角形

1、三角形

由三条线段围成(每相邻两条线段的端点相连)的图形叫三角形。

2、三角形的底和高

从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。

3、三角形的特性

三角形具有稳定性。

4、三角形三条边的关系

三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

5、三角形的分类

(1)三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

(2)三角形按边分类，可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形。

6、三角形的内角和

三角形的三个内角和是180°。

7、两点间的距离

两点间的所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。

8、多边形的内角和

多边形的内角和=(边数-2)×180°

9、等腰三角形的特征

两腰相等，两底角相等。相等的两条边叫做腰，相等的两个内角叫做底角。

10、等边三角形的特征

三条边的长度相等，三个内角的大小相等(都是60°)。

第六单元小数的加减法

1、笔算小数加、减法的方法

(1)小数点对齐，也就是相同数位对齐;

(2)从末位算起，算加法时，哪一位数相加满十都要向前一位进1;算减法时，哪一位不够减就要从前一位退1。

(3)得数末尾有 0，一般要把0去掉。

(4)不要忘记了小数点。

2、小数加减混合运算的顺序

(1)没有括号，按从左往右的顺序依次计算;

(2)有小括号，要先算小括号里面的。

3、小数加、减法的简便运算

整数的运算定律在小数运算中同样适用，所以在小数四则运算中，恰当地运用加法交换律、结合律及连减的运算性质会使计算更简便。

4、得数是小数时，(末尾)的0一般要去掉。

第七单元图形的运动(二)

1、轴对称图形的性质

对应点到对称轴的距离都相等。

2、轴对称图形的对称轴

对称轴是一条直线，所以在画对称轴时，要画到图形外面，且要用虚线。

3、画对称轴

先找到与相反方向距离对称轴相同的对应点，最后连线。

4、图形平移的画法

平移先找图形点，平移完点连起来。

5、利用平移，可以求出不规则图形的面积。

第八单元平均数和条形统计图

1、平均数的意义

一组数据的和除以这组数据的个数，所得的商叫做这组数据的平均数。平均数既可以描述一组数据本身的总体情况，也可以作为不同组数据比较的一个标准。

2、求平均数的方法

(1)移多补少法

(2)公式法：总数÷份数=平均数

3、复式条形统计图

将两个单式条形统计图合并以后就得到一个复式条形统计图。

(1)复式条形统计图要有图例。

(2)复式条形统计图有横向和纵向两种。

(3)复式条形统计图是用两个单位长度表示一个的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条。

4、横向复式条形统计图的画法

(1)准备尺子，铅笔，橡皮等画图工具。

(2)注意写单位，画中坐标和横坐标还有日期名字还有横坐标上的“0”。

(3)假如位置有限，例如说0到10，到20，假如你写到200，位置绝对有限，你可以在0的上面画波浪线，然后写100(当然其他数也可以，但最标准的还是画闪电线)。

(4)例如上图两者要有不同的颜色，假如没有色笔，第一个可以画斜线，第二个可以涂得严严实实。

(5)在每个图的下方都要写标题。

5、复式条形统计图

(1)用直条的长短表示数量的多少。

(2)能清楚地看出数量的多少，便于比较两组数据的多少。

第九单元数学广角-鸡兔同笼

1、鸡兔同笼属于假设问题，假设的和最后结果相反。

2、“鸡兔同笼”问题的解题方法

(1)假设法

①假如都是兔

②假如都是鸡

(2)古人“抬脚法”

假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就少了一半。这种思维方法叫化归法。

3、公式：

鸡兔总脚数÷2-鸡兔总数 = 兔的只数;

鸡兔总数-兔的只数 = 鸡的只数。

四年级(第四、五单元)易错题

【易错题1】

“142857”是一个十分有趣的数。用它分别乘1、2、3、4、5、6，得到的数分别由哪几个数字组成?找规律，填一填。

142857×1=142857

142857×2=285714

142857×3=428571

142857×4=( )

142857×5=( )

142857×6=( )

【错因分析】

有学生以为乘几得数就是几开头，填出了428571、571428、714285三个错误答案。

【思路点睛】

142857是一组神奇数字又名“走马灯”数。我们可以画个图帮助发现规律。下图转盘外圈是142857这个数，内圈是把组成这个数的6个数字按照从小到大顺序编号。好了，游戏开始：

142857×1=142857

142857×2=285714

142857×3=428571

根据上面三道算式不难发现其中规律用142857乘几就从第几个数开始顺时针写出六位数，因此

142857×4=(571428)

142857×5=( 714285 )

142857×6=( 857142 )

怎么样?有没有走马灯的感觉?大家可以用计算器验证一下。

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【易错题2】

用计算器算一算，看看长方形框中的9个数的和与长方形正中间的一个数有什么关系。要使长方形框内9个数的和是153，该怎样框?

【错因分析】

做这题时，我们不能着急想着一下子就“看”出规律，更不能很随意地框数，不对了再擦了改，改了擦。应该静下心好好算一算想一想观察发现。

【思路点睛】

首先用计算器算一算图中长方形框中的9个数的和是135，是中间数15的9倍。还不能轻易下结论所有长方形框中9个数的和都是中间数的9倍。我们再框两个试试，结果也是如此，结论成立。那么要使长方形框内9个数的和是153怎样框?我们可以根据规律先算出中间数是153÷9=17，以17为中心向外延展框出9、10、11、16、17、18、23、24、25。

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【易错题3】

从一张长20厘米，宽15厘米的长方形纸上剪一个最大的正方形。剩下图形的面积是( )。

【错因分析】

这题不难，但是有人栽在懒上不愿画图。如果我们画图，答案就非常清楚了。

【思路点睛】

我们可以在题目旁边或者草稿纸上画出示意图。画图可以看得更清楚，数量之间的关系也容易找到。

从图中可以看出剩下图形是个小长方形。从问题想起,要求剩下的小长方形面积是多少,得知道剩下小长方形的长宽各是多少。

从图中我们不难发现剩下小长方形长就是原长方形的宽这个关系，是15厘米，根据条件求出剩下小长方形宽是20-15=5(厘米)，那么剩下小长方形的面积就是15×5=75(平方厘米)。括号里应填75平方厘米，不要忘了带单位哦!

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【易错题4】

从一张长20厘米，宽10厘米的长方形纸四角各挖去边长4厘米的正方形，剩下图形的周长是( )。

【错因分析】

此题错在审题不细，有同学读题总是一扫而过跟着感觉走，把问题看成是问剩下图形的面积是( )其实是问剩下图形的周长是( )。另外有的学生看到题目里有挖去剪去等字就望文生义以为列式计算时必须要减掉。

【思路点睛】

我们要仔细读题审题，圈划出问题里的关键词周长。然后画图，画图非常形象好懂，条件和问题看得清楚，数量关系明晰简单，解答起来也轻松自如。

图是文字信息的缩影，严格意义上来说画图时应该在图上标出条件和问题，有完整的框架结构。但是有些题目在图上不好标出信息，比如这题的问题“剩下图形的周长是多少”在图上就不好标，那我们可以用红笔沿着周长描摹一圈，给自己一个意念，让问题深入内心。

图中一目了然，我们很容易看出原长方形纸四角各挖去边长4厘米的正方形后没有挖“通”，因而不影响后来图形的周长，通过平移后剩下图形的周长和原长方形周长相等。

故该题正确解答是(20+10)×2=60(厘米)，括号里填60厘米。注意是问周长哦!公式不要用错了，单位也不能和面积混淆了。

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【易错题5】

在公园停车场停车，前两小时共需付款3元，以后每小时2元。停车4小时，应该付款( )。

A、7元 B、8元 C、9元 D、10元

【错因分析】

首先要明白停车4小时分两种情况付款，而不能胡乱瞎猜一个答案。错误选项D。

【思路点睛】

这类题容易错的原因是学生没有生活经验，加上再不细致口算瞎蒙必然出错。其实我们把停车4小时分成前2小时和后2小时来算。看清前2小时是共需付款3元，有学生误以为每小时付款3元。而后2小时则需要付款2×2=4(元)，所以应该付款7元，正确答案选A。

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【易错题6】

小薇家有三姐妹，今年一共34岁，姐姐比双胞胎妹妹大4岁，姐姐今年多少岁?妹妹呢?(先根据题意画线段图，再解答)

【错因分析】

答案姐姐今年15岁，妹妹11岁。错在没注意到题中“双胞胎”妹妹这个关键条件。

【思路点睛】

我们先根据题意画出下面的线段图，数量之间关系也就浮出水面，明朗可见了。

注意题中一个重要条件双胞胎妹妹。通过看图分析数量关系先算出今年妹妹的年龄(34-4)÷3=10(岁)，再求出今年姐姐10+4=14(岁)。

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【易错题7】

同学们4天一共折了460朵纸花，每一天都比前一天多折10朵，第三天折了多少朵?(先根据题意画线段图，再解答)

【错因分析】

这道题有的同学图画对了，可最终还是结果做错了。错误有两类：一类错在以为问题是求最后一天折多少朵?一类错在计算第一天折的朵数时从总数460里减去了3个10朵后除以4，其实应该减去6个10朵后除以4。

【思路点睛】

这种类型的题本身不难，如果怕麻烦只凭想象不画图，特别容易弄错，因此，我们还是要老老实实脚踏实地地画图看一看算一算。

先算出第一天折(460-10-20-30)÷4=100(朵)，再算第三天折100+20=120(朵)。还有一种简便方法求出第三天折(460+20)÷4=120(朵)，同学们想一想这是为什么呢?明白其中的道理吗?

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【易错题8】

李镇小学有一块长方形试验田。如果这块试验田的长增加6米，或者宽增加4米，面积都比原来增加48平方米。原来试验田的面积是多少平方米?

【错因分析】

这道题错在学生理解错误，对于“长增加6米，或者宽增加4米”不懂什么意思。图就画得不对，当然得数错误百出。

【思路点睛】

其实“长增加6米，或者宽增加4米”这句话应该是并列关系。我们要分两种情形假设试验田的扩增变化情况，一种是长增加6米，一种是宽增加4米，是“或者”不是“而且”，因此本题正确示意图如下：

我们先求出原来长方形试验田的长是48÷4=12(米)，再求出原来长方形试验田的宽是48÷6=8(米)，最后求出原来长方形试验田的面积12×8=96(平方米)也就水到渠成了。

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【易错题9】

张庄小学原来有一个长方形操场，长50米宽40米。扩建校园时，操场的长增加了10米，宽增加了8米。操场的面积增加了多少平方米?

【错因分析】

本题也是部分学生在读题理解题目的意思时就有了偏差，导致画图出错，结果随之也错了。因为有了前面那道题里“或者”一词的干扰，学生很容易把这道题的示意图画得跟上题一样。其实这道题里是长宽同时变化，长宽同时增加。

【思路点睛】

该题长方形操场扩建时长和宽同时增加同时变化，如果仔细体会文字不难发现变化的两者之间是递进关系，可以用“而且”一词连接，那么正确的图应该像下面这样画。

这题求操场的面积增加了多少平方米有多种方法，可以将增加的“L”形部分横切或纵切一刀分成两个长方形面积来求，也可以切两刀分成三部分来求，还可以用扩建后的面积减去原来操场的面积。正确答案是880平方米。

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【易错题10】

一个正方形边长增加3厘米，面积就增加39平方厘米，原来正方形的面积是多少平方厘米?(先画图，再计算)

【错因分析】

答案169平方厘米是错误的。本单元学习的内容是解决问题的策略“画图”，画图既是一种策略，也是一种能力，占一定的分值。该题错在画图和计算上，因为对题中“正方形边长增加3厘米”这句话的理解不对，以为只要一组对边边长增加3厘米就行了，所以用图来描述条件和问题也就不对，当然解读数量关系列式计算也就出现相应错误。

【思路点睛】

其实关于“正方形边长增加3厘米”这句话意思是正方形每条边长都增加3厘米，根据题意我们画出的下面示意图帮助理解题意。

要求出原来正方形的面积是多少平方厘米，需先求出原来正方形的边长是(39-3×3)÷(3+3)=5(厘米)，所以原来正方形的面积是5×5=25(平方厘米)。