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空间向量与立体几何知识点

时间：2022-05-06 11:48:09 其他范文收藏本文下载本文

空间向量与立体几何知识点(（通用6篇））由网友“Diane的流水账”投稿提供，下面是小编整理过的空间向量与立体几何知识点，欢迎您能喜欢，也请多多分享。

空间向量与立体几何知识点

篇1：空间向量与立体几何的练习题

空间向量与立体几何的练习题

1.如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，M为PC上一点，且PA∥平面BDM.

(1)求证：M为PC中点;

(2)求平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小.

2.如图，平面平面ABC，是等腰直角三角形，AC =BC= 4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD BA， , ，求直线CD和平面ODM所成角的正弦值.

3.如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD， ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点.

(1)证明：PE

(2)若APB=ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的`正弦值.

4.如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，BAD=90，ACBD，BC=1，AD=AA1=3.

(1)证明：AC

(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.

5.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点， AA1=AC=CB=22AB.

(1)证明：BC1∥平面A1CD;

(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.

6.如图，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点.

(1)证明：平面POD平面PAC;

(2)求二面角B-PA-C的余弦值.

7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上.设二面角A1-DN-M的大小为.

(1)当=90时，求AM的长;

(2)当cos =66，求CM的长.

8.四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.

(1)求AC1的长; (2)求BD1与AC夹角的余弦值.

篇2：空间向量对立体几何教与学的影响

空间向量对立体几何教与学的影响

作者/ 杨国栋

摘要：在立体几何中引入空间向量这一内容是新课程改革的必然趋势。空间向量的出现为学生提供了解决问题的新途径，但是容易造成空间向量就是“万能”的思想，很多学生完全放弃了传统的综合法，试图通过空间向量的方法来解决一切立体几何问题。

篇3：空间向量对立体几何教与学的影响

一、空间向量的引入增加了立体几何教学的内容

空间向量的引入丰富了立体几何教学的内容，这主要体现在课程理念变化以及课程内容改变两个方面。

1.在课程理念方面

新课程注重学习方式的改革，要求学生转变单一的被动接受式学习，把学习过程中的发现、探究等认识活动凸显出来，在教师的积极引导下实现学生自我的“再创造”。在立体几何中引入空间向量正是适应新课程理念的表现，空间向量的出现为学生提供了解决问题的新途径，融合了计算机技术与数学知识，直接利用向量的方式提出问题为学生解答立体几何题目提供了新的解题方法。这就密切了数学知识与日常生活实际的联系，加强了数学知识的实用性。同时，空间向量的引入，促进了学生数学应用意识的形成和发展，提高了学生的实践能力。

2.在教学内容方面

空间向量作为一个独立的知识体系纳入教材当中，涵盖了空间向量的定义和原理、线性运算、直角坐标运算、两个向量的数量积、空间向量在立体几何的应用等方面，这丰富了立体几何的教学内容。

二、空间向量的引入降低了学生学习的难度

空间向量降低了学习的难度体现在向量的.特征上。一方面，向量是代数的，因此可以对它进行加、减、乘、除等运算，这就丰富了运算形式，也使抽象的概念有了具体的形式。以运算为载体，发挥空间想象能力，就可以对问题进行实际的运算、证明以及演绎。另一方面，向量又是几何的，因此可以直接描述、想象、替代向量中点、线、面等对象，并可观察到各研究对象之间的基本关系。这就为一些计算能力比较强但空间想象能力较弱的学生解题提供了新的出路，降低了其学习的难度。例如，证明以⊙O的直径AB为一边的圆内接△ABC是直角三角形。（图略，也就是求证∠BAC是直角）

因此AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形。

三、空间向量的引入降低了学生的空间想象力

空间向量的引入，为学生解答立体几何问题提供了新的方法。但是也有不少人认为，空间向量的引入削弱了学生的逻辑思维能力，降低了学生的空间想象能力。空间向量的引入把几何问题转化为代数问题，密切了代数与几何的关系，丰富了学生的思维方式，但是容易造成空间向量就是“万能”的思想，很多学生完全放弃了传统的综合法，试图通过空间向量的方法来解决一切立体几何问题。运用空间向量来解决数学问题这一思路的推广还需要注意从以下几方面来努力：

1.采用行之有效的教学方式

兴趣和好奇心是培养和激发学生积极性的内在动力。这就需要教师从学生的年龄特征和心理特点出发，筛选出与该模式相适应的教学内容。具体来说，在空间向量的学习中，可采取启发式和探究式。教师要充分发挥学生的主体作用，教师主要扮演引导者和促进者的角色，从而培养学生自主发现问题、自主解决问题、探索问题的能力。当然，对于一些较难的知识，教师要引导学生对原有知识的复习，提高知识的概括化水平，建立知识的网络化，促进学生学习的迁移。教师应该鼓励学生动手，调动学生的主动性和积极性，引导他们通过独立思考、积极探索，生动活泼的学习，自觉掌握科学知识，提高分析问题和解决问题的能力，鼓励学生将知识创造性地运用于实际。如，在学习“空间向量”这一概念时，教师可以利用学生原有知识复习近平面向量和立体几何的基础知识。如，教师可以设置以下问题：（1）空间两条直线的位置关系是：平行、相交、异面，空间两个向量的关系？（2）空间两条平行直线确定一个平面，空间中两个平行向量确定一个平面？（3）空间两条相交直线确定一个平面，空间中两个不平行向量确定一个平面？再如这一例题，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为4的等边三角形，B1B=2，求异面直线BC1和A1C所成的角（图略）。教师可以帮助学生建立空间直角坐标系，教师可以引导学生作出BC和B1C1的中点M和N，然后利用底面三角形的高MA、侧棱MN以及底面三角形的边对MC这三条互相垂直的直线来建立空间直角坐标系，通过设置

问题情境，引导学生一步步地将空间向量运用于具体的数学习题中。

2.在学习空间向量的同时不可忽视综合法

虽然空间向量确实在解决立体几何问题时具有独特的优势，但是综合法的运用也至关重要，综合法对于培养学生思考问题的习惯、提高空间想象力以及逻辑思维能力有很大的影响。因此，在使用空间向量时，首先要注重一题多解。要教授学生不能一味地以解决问题为目的，而要鼓励学生从多个角度，采用多种方式来解决问题，培养一题多解的思维方式，举一反三，灵活多变。其次，教师在教学中要注意对空间向量法与综合法教学的平衡性，要精心

编制和选择恰当的例题和习题，特别是挑选一些利用综合法解答

更为便利的立体几何习题，增强学生运用综合法思考问题的积极性，让学生主动使用综合法来解决立体几何问题，通过一题多解的方式实现训练学生空间想象能力和逻辑思维能力的目的。

在立体几何中引入空间向量这一内容是新课程改革的必然趋势。空间向量引入立体几何教学中，对于摆脱“形到形”这一传统综合法，丰富解题方式具有重要作用，在一定程度上降低了学生的学习压力，但是在运用空间向量时，也不能一味地突出其优势，要重视其缺点，与综合法并用，促进学生的全面发展。

参考文献：

［1］黄长春。利用空间向量方法解决立体几何的问题［J］。数学学习与研究，.

［2］刘福亮。向量法在立体几何解题中的妙用［J］。数学学习与研究，.

（作者单位山西省大同大学朔州师范分校）

篇4：公开课《立体几何VS空间向量》教学反思

公开课《立体几何VS空间向量》教学反思

我这节公开课的题目是《立体几何VS空间向量》选题背景是必修2学过立体几何而选修21又学到空间向量在立体几何中的应用。学生有先入为主的观念，总想用旧方法却解体忽视新方法的应用，没有掌握两种方法的特征及适用体型导致做题不顺利。针对此种情况，我特意选了这节内容来讲。

整节课，我是这样设计的。本着以学生为主，教师为辅的这一原则，把学生分成两组。利用学生的求知欲和好胜心强的这一特点，采取竞赛方式通过具体例题来归纳。分析概括两种方法的异同及适用体型。最终让学生在知识上有所掌握。在能力和意识上有所收获。

那么这节课我最满意的有以下几个地方

(1) 学生的参与

这节课的主讲不是我，是学生我要做的是设置问题和激发兴趣。至于整个分析过程和解决过程都是由学生来完成的。这节课二班学生积极参与，注意力集中。课堂气氛活跃学生兴趣浓厚，求知欲强，参与面大，在课堂中能够进行有效的合作与平等的交流。

(2) 学生的创新

这一点是我这节课的意外收获。在求一点坐标时，我用的是投影而该班周英杰同学却利用的是共线，方法简洁，给人以耳目一新的感觉。另外该班的徐汉宇同学在两道中都提出了不同的做法。有其独特的见解。可见学生真的是思考了，我也从中获益不少。真的是给学生以展示的舞台。他回报你以惊喜。

(3) 学生的置疑

林森同学能直截了当的指出黑板上的`错误而且是一个我没发现的错误这一点是我没想到的.这说明了学生的注意力高度集中.善于观察也说明了我们的课堂比较民主,学生敢于置疑.这种大胆质疑的精神值得表扬.

我不满意的地方有以下几点

(1) 题量的安排

5道题虽然代表不同的类型. 但从效果上看显得很匆忙.每道题思考和总结的时间不是很长,我觉得要是改成4道题.时间就会充裕效果就会更好些.

(2) 课件的制作

立体几何着重强调的是空间想象力,如果能从多个角度观察图形学生会有不同发现.比如徐汉宇同学的不同做法.需要对图形旋转.如果让他上黑板做图时间又不够.我想不妨让他画好图后用投影仪投到大屏幕上,效果会更好.

(3) 总结时间短

这节课的主题是两种方法的比较和不同方法的适用题型,后来的小结时间不够.这和我设置的容量大.有直接关系.没有突出主题.我想不如直接删掉一道题.空出时间让学生自己谈谈心得体会.自己找找解题规律应该会更好.

以上就是我对这节课的反思.其实我最想说的是我的心路历程.每次上公开课都能发现新问题.正是这些问题使我变得成熟,完善,我很珍惜每一次上公开课的机会.它使我理智的看待自己的教学活动中熟悉的习惯性的行为.使自己的教育教学理念和教学能力与时俱进.

篇5：空间向量法解立体几何的补充和传授

空间向量法解立体几何的补充和传授

空间向量法和传统的几何法比较起来,在立体几何问题上,如证垂直,求异面直线形成的.角、线面角、二面角等都可以避开传统几何法的一作、二证这两个步骤,直接求解,具有较为明显的优势.因此,在传授了传统几何法解决立体几何问题的基础上,教师有必要向学生补充传授立体几何问题的空间向量解法,让学生掌握空间向量法解立体几何,拓宽学生的知识面提高学生高考的得分能力.

作者：翁贻声作者单位：武宣县中学,广西,武宣,545900 刊名：考试周刊英文刊名：KAOSHI ZHOUKAN 年，卷(期)： “”(6) 分类号：G63 关键词：空间向量解法立体几何补充和传授

篇6：数学立体几何知识点

1平行、垂直位置关系的论证的策略

(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

2空间角的计算方法与技巧

主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。

(1)两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：

(2)直线和平面所成的角

①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式计算。

(3)二面角

①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。

②平面角的计算法：

(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式。

3空间距离的计算方法与技巧

(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。

(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

4熟记一些常用的小结论

诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。

5平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题

要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。

6与球有关的题型

只能应用“老方法”，求出球的半径即可。

7立体几何读题

(1)弄清楚图形是什么几何体，规则的、不规则的、组合体等。

(2)弄清楚几何体结构特征。面面、线面、线线之间有哪些关系(平行、垂直、相等)。

(3)重点留意有哪些面面垂直、线面垂直，线线平行、线面平行等。

8解题程序划分为四个过程

①弄清问题。也就是明白“求证题”的已知是什么?条件是什么?未知是什么?结论是什么?也就是我们常说的审题。