高一数学平面向量课件（合集12篇）由网友“夏aa”投稿提供，下面是小编收集整理的高一数学平面向量课件，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
篇1：高一数学平面向量课件
高一数学平面向量课件
高一数学平面向量课件
第一教时
教材：向量
目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
过程：
一、开场白：课本P93(略)
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，
问：猫能否追到老鼠?(画图)
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
二、提出课题：平面向量
1. 意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等
注意：1?数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2. 向量的表示方法：
1?几何表示法：点—射线
有向线段——具有一定方向的线段
有向线段的三要素：起点、方向、长度
记作(注意起讫)
2?字母表示法： 可表示为 (印刷时用黑体字)
P95 例 用1cm表示5n mail(海里)
3. 模的概念：向量 的`大小——长度称为向量的模。
记作：| | 模是可以比较大小的
4. 两个特殊的向量：
1?零向量——长度(模)为0的向量，记作 。 的方向是任意的。
注意 与0的区别
2?单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量?
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
例： 与 是否同一向量?
答：不是同一向量。
例：有几个单位向量?单位向量的大小是否相等?单位向量是否都相等?
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
三、向量间的关系：
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作： ∥ ∥
规定： 与任一向量平行
2. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作： =
规定： =
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3. 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，
所以平行向量也叫共线向量。
例：(P95)略
变式一：与向量长度相等的向量有多少个?(11个)
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在)
变式三：与向量共线的向量有哪些?( )
四、小结：
五、作业：P96 练习习题5.1
篇2：平面向量教学课件
平面向量教学课件
平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
【学习目标】
1、理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；
2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；
3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；
4、了解向量线性运算的性质及其几何意义。
【学习要点】
1、向量概念
________________________________________________________叫零向量，记作 ；长度为______的向量叫做单位向量；方向___________________的向量叫做平行向量。
规定： 与______向量平行；长度_______且方向_______的向量叫做相等向量；平行向量也叫______向量。
2、向量加法
求两个向量和的运算，叫做向量的加法，向量加法有___________法则与______________法则。
3、向量减法
向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，记作_________________________，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
4、实数与向量的积
实数 与向量 的积是一个_______，记作________，其模及方向与____的值密切相关。
5、两向量共线的充要条件
向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得__________。
【典型例题】
例1 在四边形ABCD中， 等于 （ ）
A、B、C、D、
例2 若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且 ， ，则 、表示向量 为 （ ）
A、+ B、— C、— + D、— —
例3 设 、是两个不共线的向量，则向量 与向量 共线的充要条件是 （ ）
A、0 B、C、1 D、2
例4 下列命题中：
（1） = ， = 则 =
（2）| |=| |是 = 的必要不充分条件
（3） = 的充要条件是
（4） = （ ）的充要条件是 =
其中真命题的有__________________。
例5 如图5-1-1，以向量 ，为边作平行四边形AOBD，又 ，，用 、表示 、和 。
【课堂练习】
1、（ ）
A、B、C、D、
2、“两向量相等”是“两向量共线”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
3、已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则 等于 （ ）
A、
B、
C、
D、
4、若| |=1，| |=2， =且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A、300 B、600 C、1200 D、1500
【课堂反思】
2.2平面向量的坐标运算
【学习目标】
1、知识与技能：了解平面向量的基本定理及其意义、掌握平面向量的'正交分解及其坐标表示；理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
2、能力目标：会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；
3、情感目标：通过对平面向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学生的转化能力。
【学习过程】
1、平面向量基本定理
如果 、是同一平面内的两个 的向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、使 ，其中不共线的向量 、叫做表示这一平面内所有向量的一组 。
2、平面向量的正交分解及坐标表示
把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量正交分解。在平面直角坐标系内，分别取与 轴、轴正方向相同的两个 向量 、作为基底，对任一向量 ，有且只有一对实数 、使得 ，则实数对（ ， ）叫做向量 的直角坐标，记作 = ，其中 、分别叫做 在 轴、轴上的坐标， 叫做向量 的 表示。相等向量其坐标 ，坐标相同的向量是 向量。
3、平面向量的坐标运算
（1）若 = ， = ，则 =
（2）若A ，B ，则
（3）若 =（ ， ），则
4、平面向量共线的坐标表示
若 = ， = ， 则 // 的充要条件是
5、若 ，其中 ，则有：
【典型例题】
例1 设 、分别为与 轴、轴正方向相同的两个单位向量，若 则向量 的坐标是（ ）
A、（2，3） B、（3，2） C、（—2，—3） D、（—3，—2）
例2 已知向量 ，且 // 则 等于( )
A、B、— C、D、—
分析 同共线向量的充要条件易得答案。
例3 若已知 、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )
A、与— B、3 与2 C、+ 与 — D、与2
例4 已知 当实数 取何值时， +2 与2 —4平行？
【课堂练习】
1、已知 =（1，2）， =（—2，3）若 且
则 ____________, _________________。
2、已知点A（ ，1）、B（0，0）、C（ ，0），设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有 其中 等于( )
A、2 B、C、—3 D、
3、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A 若点C满足 ，其中 、且 + 则点C的轨迹方程为 ( )
A、B、
C、D、
4、已知A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）且 ， 求点M、N的坐标及向量 的坐标。
【课堂反思】
2.3平面向量的数量积及其运算
【学习目标】
1．知识与技能：
（1）理解向量数量积的定义与性质；
（2）理解一个向量在另一个向量上的投影的定义；
（3）掌握向量数量积的运算律；
（4）理解两个向量的夹角定义；
2．过程与方法：
（1）能用投影的定义求一个向量在另一个向量上的投影；
（2）能区别数乘向量与向量的数量积；
（3）掌握两向量垂直、平行和反向时的数量积；
3．情感、态度与价值观：
（1）培养学生用数形结合的思想理解向量的数量积及它的几何意义；
（2）使学生体会周围事物周期变化的奥秘，从而激发学生学习数学的兴趣；
（3）培养数形结合的数学思想；
【学习过程】
1、请写出平面向量的坐标运算公式：
（1）若 = ， = ，则 =
（2）若A ，B ，则
（3）若 =（ ， ），则
2、平面向量共线的坐标表示
若 = ， = ， 则 // 的充要条件是
3、两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，作 ＝ ， ＝ ，则_________________________叫 与 的夹角.
4、我们知道，如果一个物体在力F（与水平方向成θ角）的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=
5、数量积的概念：
（1）两个非零向量 、，过O作 = ， = ，则∠AOB叫做向量 与 的夹角，显然，夹角
（2）若 与 的夹角为90 ，则称 与 垂直，记作 ⊥
（3） 、是两个非零向量，它们的夹角为 ，则 叫做 与 的数量积（或内积），记作 。
即 =| || |cos
规定 =0，显然，数量积的公式与物理学中力所做功的运算密切相关。
特别提醒：
（1）（0≤θ≤π）.并规定 与任何向量的数量积为0
（2）两个向量的数量积的性质：
设 、为两个非零向量，
1) = 0
2)当 与 同向时， = | || |；当 与 反向时， = | || |
特别的 = | |2或.
3)cos = ；
4)| | ≤ | || |
6、“投影”的概念：如图
定义： _____ _______叫做向量b在a方向上的投影
特别提醒：
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|
3、平面向量数量积的运算律
交换律： =______
数乘结合律： =_________=__________
分配律： =_____________
【典型例题】
例1 边长为 的正三角形ABC中，设 ， ， 则=
例2 已知△ABC中， ， ， ， ABC的面积 ，且| |=3，| |=5，则 与 的夹角为
例3 已知 =（1，2）， =（6，—8）则 在 上的投影为
【课堂练习】
1、已知 、均为单位向量，它们的夹角为 那么 =
2、已知单位向量 与 的夹角为 ，且 ， ，求 及 与 的夹角 。
3、若 ， ，且向量 与 垂直，则一定有( )
A、B、C、D、且
4、设 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题
①
②
③ 不与 垂直
④
其中正确的有（ ）
A、①② B、②③ C、③④ D、②④
5、已知平面上三点A、B、C满足 ，则
的值等于____ ______
【课后反思】
2.4平面向量的应用
【学习目标】
一、知识与技能
1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学 问题与其他一些实际问题的 过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力
2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力
二、过程与方法
1.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题
2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行 之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.[来源:学科网]
三、情感、态度与价值观
1.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力.
2.通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知 识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.
【学习过程】
请认真思考后，回答下列问题：
1、判断：
（1）若 四点共线，则向量 （ ）
（2）若向量 ，则 四点共线（ ）
（3）若 ，则向量 （ ）
（4）只要向量 满足 ，就有 （ ）
2、提问：
（1）两个非零向量平行的充要条件是什么？（你能写出几种表达形式）
（2）两个非零向量垂直的充要条件是什么？（你能写出几种表达形式）
【典型例题】
例1 已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，求BC长．
变式 已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，点D在线段BC
上，且BD=2DC求AD长．
例2 如图，已知Rt⊿OAB中，∠AOB＝90o，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM=1，N在OA上，且ON=1，P为AM与BN的交点，求∠MPN．
【课堂练习】
⊿ABC中，AD，BE是中线，AD，BE相交于点G
（1）求证：AG=2GD
（2）若F为AB中点，求证G、F、C三点共线．
篇3：高一数学平面向量知识点总结
向量：既有大小，又有方向的量.
数量：只有大小，没有方向的量.
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
零向量：长度为的向量.
单位向量：长度等于个单位的向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量
&向量的运算
加法运算
AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ >0时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。
设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。
a.b的几何意义：数量积a.b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
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高一数学知识点
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱：
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱：
定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥：
定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台：
定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体：
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：
①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
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高一数学学习方法
认真听课做笔记
在课堂教学中培养好的听课习惯是很重要的。当然听是主要的，听能使注意力集中，要把老师讲的关键性部分听懂、听会。听的时候注意思考、分析问题，但是光听不记，或光记不听必然顾此失彼，课堂效益低下，因此应适当地有目的性的记好笔记，领会课上老师的主要精神与意图。科学的记笔记可以提高45分钟课堂效益。
把握教材去理解
要提高数学能力，当然是通过课堂来提高，要充分利用好课堂这块阵地，学习高一数学的过程是活的，老师教学的对象也是活的，都在随着教学过程的发展而变化，尤其是当老师注重能力教学的时候，教材是反映不出来的。数学能力是随着知识的发生而同时形成的，无论是形成一个概念，掌握一条法则，会做一个习题，都应该从不同的能力角度来培养和提高。课堂上通过老师的教学，理解所学内容在教材中的地位，弄清与前后知识的联系等，只有把握住教材，才能掌握学习的主动。
提高思维敏捷力
如果数学课没有一定的速度，那是一种无效学习。慢腾腾的学习是训练不出思维速度，训练不出思维的敏捷性，是培养不出数学能力的，这就要求在数学学习中一定要有节奏，这样久而久之，思维的敏捷性和数学能力会逐步提高。
避免遗留问题
在数学课堂中，老师一般少不了提问与板演，有时还伴随着问题讨论，因此可以听到许多的信息，这些问题是很有价值的。对于那些典型问题，带有普遍性的问题都必须及时解决，不能把问题的结症遗留下来，甚至沉淀下来，有价值的问题要及时抓住，遗留问题要有针对性地补，注重实效。
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篇4：职高高二平面向量课件
职高高二平面向量课件
【教学目标】
1.能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力;
2.通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
【教学重难点】
教学重点:平面向量的坐标运算.
教学难点: 对平面向量坐标运算的理解.
【教学过程】
一、创设情境
以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢?如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。
二、新知探究
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设 =(x1, y1) =(x2, y2)则 =x1i+y1j， =x2i+y2j，根据向量的线性运算性质，向量 λ (λ∈R)如何分别用基底i、j表示?
思考2：根据向量的坐标表示，向量 + ， - ，λ 的坐标分别如何?
+ =(x1+x2，y1+y2);
- =(x1-x2，y1-y2);
λ =(λx1，λy1).
两个向量和与差的坐标运算法则：
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考3：已知点A(x1, y1),B(x2, y2)，那么向量 的坐标如何?
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢?
结论：
1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。
2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标.
三、典型例题
例1 已知 =(2,1), =(-3,4),求 + ， - ，3 +4 的坐标.
解： + =(2,1)+(-3,4)=(-1，5)，
- =(2,1)-(-3,4)=(5，-3)，
3 +4 =3(2,1)+4(-3,4)= (6,3)+(-12,16)=(-6，19).
点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解。
例2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(-2，1)、(-1，3)(3，4)，求顶点D的坐标。
解：设点D的坐标为(x,y),
即 3- x=1,4-y=2
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为(2，2).
另解：由平行四边形法则可得
所以顶点D的`坐标为(2，2)
点评：考查了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
变式训练2：已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
四、课堂小结
本节课主要学习了平面向量的坐标运算法则：
(1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和;
(2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差;
(3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数;
五、反馈测评
1.下列说法正确的有( )个
(1)向量的坐标即此向量终点的坐标
(2)位置不同的向量其坐标可能相同
(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标
(4)相等的向量坐标一定相同
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知A(-1，5)和向量 =(2,3)，若 =3 ，则点B的坐标为__________。
A.(7,4) B.(5,4) C.(7,14) D.(5,14)
3.已知点 ， 及 ， ， ，求点 、、的坐标。
板书设计
略
篇5：平面向量说课课件
平面向量说课课件
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，同时又是数形结合思想运用的典范。以下平面向量说课课件，欢迎阅览!
1.高二数学平面向量的实际背景及基本概念
(1)了解向量的实际背景.
(2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.
(3)理解向量的.几何表示.
2.高二数学向量的线性运算
(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.
3.高二数学平面向量的基本定理及坐标表示
(1)了解平面向量的基本定理及其意义.
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
4.高二数学平面向量的数量积
(1) 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
(2) 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
(3) 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
(4) 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.高二数学向量的应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
篇6：数学平面向量课后题
数学平面向量课后题
数学的必修四便会学习到平面向量，这和物理必修一的内容也有一定的相关性，所以，我们更应该学好这一知识点。分享了数学平面向量的课后题及答案，一起来看看吧！
一、选择题
1．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(2m， m＋1)．若AB→∥OC→，则实数m的值为( )
A．－3 B．－17
C．－35 D.35
解析 AB→＝OB→－OA→＝(3,1)，因为AB→∥OC→，
所以3(m＋1)－2m＝0，解得m＝－3.
答案 A
2．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，则a与b的夹角为( )
A.π6 B.π3
C.π2 D.2π3
解析 由(a＋2b)(a－b)＝|a|2＋ ab－2|b|2＝－2，得ab＝2，即|a||b|cos〈a，b〉＝2，cos〈a，b〉＝12.故〈a，b〉＝π3.
答案 B
3．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析 ∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝m(1,2)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．又∵c与a的夹角等于c与b的夹角 ，∴cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉．∴ca|c||a|＝cb|c||b|.即5m＋85|c|＝8m＋2025|c|，解得m＝2.
答案 D
4．)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )
A．2 B.2
C．1 D.22
解析 ∵(a＋b)⊥a，|a|＝1，∴(a＋b)a＝0，
∴|a|2＋ab＝0，∴ab＝－1.
又∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)b＝ 0.
∴2ab＋|b|2＝0.∴|b|2＝2.
∴|b|＝2，选B.
答案 B
5．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若mn＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
解析 依题意得 3sinAcosB＋3cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，
3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，3sinC＋cosC＝1，
2sinC＋π6＝1，sinC＋π6＝12.又π6 因此C＋π6＝5π6，C＝2π3，选C. 答案 C 6．在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|＝|OB2→|＝1，AP→＝AB1→＋AB2→.若|OP→|<12，则|OA→|的取值范围是( ) A.0，52 B .52，72 C.52，2 D.72，2 解析 由题意得点B1，B2在以O为圆心，半径为1的圆上，点P在以O为圆心半径为12的圆内，又AB1→⊥AB2→，AP→＝AB1→＋AB2→，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，|OA→|最大为2，当P在半径为12的圆周上，|OA→|最小为72.∵P在圆内，∴|OA→|∈72，2. 答案 D 二、填空题 7．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λ a＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________. 解析 |b|＝22＋12＝5，由λa＋b＝0，得b＝－λa， 故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝|b||a|＝51＝5. 答案 5 8．在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG→＝2GO→，若CD→∥AG→，且AD→＝15AB→＋λAC→(λ∈R)，则λ的值为________． 解析 因为CD→∥AG→，所以存在实数k，使得CD→＝kAG→.CD→＝AD→－AC→＝15AB→＋(λ－1)AC→，又由BO是△ABC的边AC上的中线，BG→＝2GO→，得点G为△ABC的重心，所以AG→＝13(AB→＋AC→)，所以15AB→＋(λ－1)AC→＝k3(AB→＋AC→)，由平面向量基本定理可得15＝k3，λ－1＝k3，解得λ＝65. 答案 65 9．在△ABC所在的平面上有一点P满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是________． 解析 因为PA→＋PB→＋PC→＝AB→，所以PA→＋PB→＋PC→＋BA→＝0，即PC→＝2AP→，所以点P是CA边上靠近A点的一个三等分点，故S△PBCS△ABC＝PCAC＝23. 答案 23 三、解答题 10．已知向量AB→＝(3,1)，AC→＝(－1，a)，a∈R (1)若D为BC中点，AD→＝(m,2)，求a，m的值； (2)若△ABC是直角三角形，求a的值． 解 (1)因为AB→＝(3,1)，AC→＝(－1，a)， 所以AD→＝12(AB→＋AC→)＝1，1＋a2. 又AD→＝(m,2)，所以m＝1，1＋a＝2×2，解得a＝3，m＝1. (2)因为△ABC是直角三角形，所以A＝90°或B＝90°或C＝90°. 当A＝90°时，由AB→⊥AC→， 得3×(－1)＋1a＝0，所以a＝3； 当B＝90°时，因为BC→＝AC→－AB→＝(－4，a－1)， 所以由AB→⊥BC→， 得3×(－4)＋1(a－1)＝0，所以a＝13； 当C＝90° 时，由BC→⊥AC→， 得－1×(－4)＋a(a－1)＝0， 即a2－a＋4＝0，因为a∈R，所以无解． 综上所述，a＝3或a＝13. 11．在△ABC中，已知2AB→AC→＝3|AB→||AC→|＝3BC→2，求角A、B、C的.大小． 解 设BC＝a，AC＝b，AB＝c. 由2AB→AC→＝3|AB→||AC→|，得2bccosA＝3bc， 所以cosA＝32. 又A∈(0，π)，因此A＝π6. 由3|AB→||AC→|＝3BC→2，得cb＝3a2. 于是sinCsinB＝3sin2A＝34. 所以sinCsin5π6－C＝34. sinC12cosC＋32sinC＝34， 因此2sinCcosC＋23sin2C＝3， sin2C－3cos2C＝0， 即2sin2C－π3＝0. 由A＝π6知0 所以－π3<2C－π3<4π3， 从而2C－π3＝0，或2C－π3＝π， 即C＝π6或C＝2π3， 故A＝π6，B＝2π3，C＝π6，或A＝π6，B＝π6，C＝2π3. B级——能力提高组 1. 已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→ ，λ∈R，则BQ→CP→的最大值为( ) A.32 B．－32 C.38 D．－38 解析 ，BQ→CP→＝(BA→＋AQ→)(CA→＋AP→)＝[BA→＋(1－λ)AC→](CA→＋λAB→)＝AB→AC→－λAB→ 2－(1－λ)AC→2＋λ(1－λ)AB→AC→＝(λ－λ2＋1)×cos60°－λ＋λ－1＝－12λ－122－38，0≤λ≤1，所以当λ＝12时，BQ→CP→的最大值为－38，选D. 答案 D 2．已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成．记S＝x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＋x5y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值． 则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①S有5个不同的值； ②若a⊥b，则Smin与|a|无关； ③若a∥b，则Smin与|b|无关； ④若|b|>4|a|，则Smin>0； ⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为π4. 解析 对于①，若a，b有0组对应乘积，则S1＝2a2＋3b2，若a，b有2组对应乘积，则S2＝a2＋2b2＋2ab，若a，b有4组对应乘积，则S3＝b2＋4ab，所以S最多有3个不同的值，①错误；因为a，b是不等向量，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4ab＝2(a－b)2>0，S1－S2＝a2 ＋b2－2ab＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S30，④正确；对于⑤，|b|＝2|a|，Smin＝4|a|2＋8|a|2cosθ＝8|a|2，所以cosθ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，⑤错误．因此正确命题是②④. 答案 ②④ 3．已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4. (1)若mn＝1，求cos2π3－x的值； (2)记f(x)＝mn，在△ABC中，角A ，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围． 解 (1)mn＝3sinx4cosx4＋cos2x4 ＝32sin x2＋12cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12. 又∵mn＝1，∴sinx2＋π6＝12. cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12， cos2π3－x＝－ cosx＋π3＝－12. (2)∵(2a－c)cosB＝bcosC， 由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC， ∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC. ∴2sinAcosB＝sin(B＋C)． ∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0. ∴cosB＝12.又∵0 ∴0 ∴π6 又∵f(x)＝mn＝sinx2＋π6＋12， ∴f(A)＝sinA2＋π6＋12. 平面向量教案 二、复习要求 1、向量的概念; 2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律; 3、向量运算的运用 三、学习指导 1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。 向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。 2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。 向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的.结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。 主要内容列表如下: 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 = - = 记 =(x1,y1), =(x1,y2) 则 =(x1 x2,y1 y2) - =(x2-x1,y2-y1) = 实数与向量 的乘积 =λ λ∈r 记 第一文库网=(x,y) 则λ =(λx,λy) 两个向量 的数量积 ・ =| || | cos 记 =(x1,y1), =(x2,y2) 则 ・ =x1x2 y1y2 3、运算律 加法: = ,( ) = ( ) 实数与向量的乘积:λ( )=λ λ ;(λ μ) =λ μ ,λ(μ )= (λμ) 两个向量的数量积: ・ = ・ ;(λ )・ = ・(λ )=λ( ・ ),( )・ = ・ ・ 说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如( ± )2= 4、重要定理、公式 (1)平面向量基本定理;如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量 ,有且只有一对数数λ1,λ2,满足 =λ1 λ2 ,称λ1 λ λ2 为 , 的线性组合。 根据平面向量基本定理,任一向量 与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为 在基底{ , }下的坐标,当取{ , }为单位正交基底{ , }时定义(λ1,λ2)为向量 的平面直角坐标。 向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若a(x,y),则 =(x,y);当向量起点不在原点时,向量 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1) (2)两个向量平行的充要条件 符号语言:若 ∥ , ≠ ,则 =λ 坐标语言为:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0 在这里,实数λ是唯一存在的,当 与 同向时,λ>0;当 与 异向时,λ |λ|= ,λ的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。 (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言: ⊥ ・ =0 坐标语言:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ⊥ x1x2 y1y2=0 (4)线段定比分点公式 如图,设 则定比分点向量式: 定比分点坐标式:设p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2) 则 特例:当λ=1时,就得到中点公式: , 实际上,对于起点相同,终点共线三个向量 , , (o与p1p2不共线),总有 =u v ,u v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 向量是高中阶段学习的一个新的矢量，向量概念是《平面向量》的最基本内容，它的学习直接影响到我们对向量的进一步研究和学习，如向量间关系、向量的加法、减法以及数乘等运算，还有向量的坐标运算等,因此为后面的学习奠定了基础. 结合本节课的特点及学生的实际情况我制定了如下的教学目标及教学重难点： 2、教学目标 (1) 知识与技能目标 1)识记平面向量的定义，会用有向线段和字母表示向量，能辨别数量与向量； 2)识记向量模的定义，会用字母和线段表示向量的模. 3)知道零向量、单位向量的概念. (2) 过程与方法目标 学生通过对向量的学习，能体会出向量来自于客观现实 ，提高观察、分析、抽象和概括等方面的能力，感悟数形结合的思想. （3）情感态度与价值观目标 通过构建和谐的课堂教学氛围，激发学生的学习兴趣，使学生勇于提出问题，同时培养学生团队合作的精神及积极向上的学习态度. 3、教学重难点 教学重点：向量的定义，向量的几何表示和符号表示，以及零向量和单位向量。 教学难点：向量的几何表示的理解，对零向量和单位向量的理解。 二、学情分析 （1）能力分析：对于我校的学生，基础知识较薄弱，虽然他们的智力发展已到了形成运演阶段，但并不具备较强的抽象思维能力、概括能力及数形结合的思想。 （2）认知分析：之前，学生有了物理中的矢量概念，这为学习向量作了最好的铺垫。 （3）情感分析：部分学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。 三、教法学法 教法：启发教学法，引探教学法，问题驱动法，并借助多媒体来辅助教学 学法：在学法上，采用的是探究，发现，归纳，练习。从问题出发，引导学生分析问题，让学生经历观察分析、概括、归纳、类比等发现和探索过程。 四、教学过程 课前： 为了打造高效课堂，以生为本我选择生本式的教学方式，以穿针引线的方式设计了前置性作业。其中包括一些向量的基本概念，并提出： 1、你学过的其他学科中有没有可以称为向量的？ 2、向量的特点是什么？有几种描述向量的表示方法？ 3、零向量的特点是什么？ 【设计意图】目的是通过课前的预习明确自己需要在本节课中解决的问题，带着问题听课，我会在上课前就学生的完成情况明确主要的教学侧重点，真正打造高效课堂。 课上教学过程： 1、创设情境 数学的学习应该是与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中发现数学，探究数学，认识并掌握数学，由生活的实例引入，在对比于物理学中的速度、位移等学生已有的知识给出本章研究的问题平面向量 【设计意图】形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备。 2、形成概念 结合物理学中对矢量的定义，给出向量的描述性概念。对于一个新学的量定义概念后，通常要用符号表示它。怎样把我们所举例子中的向量表示出来呢？ 采取让学生先尝试向量的表示方法，自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量。明确为什么可以用有向线段表示向量，引导学生总结出向量的表示方法，强调印刷体与手写体的区别。结合板书的有向线段给出向量的模。 单位向量、零向量的概念 【即时训练】 为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我特地设计了一组即时训练题，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知。 3、知识应用 本阶段的教学，我采用的是教材上的两个例题，旨在巩固学生对平面向量的观念，提高学生的动手实践能力，掌握求模的基本方法，提升识图能力。 4、学以致用 为了调动学生的积极性，培养学生团队合作的精神，本环节我采用小组竞争的方式开展教学，小组讨论并选派代表回答，各组之间取长补短，将课堂教学推向高潮，再次加强学生对向量概念的理解。 5、课堂小结 为了了解学生本节课的学习效果，并且将所学做个很好的总结。设置问题：通过本节课的学习你有哪些收获？（可以从各种角度入手） 【设计意图】通过总结使学生明确本节的学习内容，强化重点，为今后的学习打下坚定的基础 6、布置作业 出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考的空间。 一、教材分析： 1、教材的地位和作用： 向量是沟通代数、几何与三角函数x的一种工具，有着极其丰富的实际背景。本课时内容包含“平面向量基本定理”和“平面向量的正交分解及坐标表示”.此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标运算，更多的是向量的代数形态。平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位. 2、教学目标：根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。 （1）知识与技能 了解向量夹角的概念，了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交 分解及其坐标表示。 （2）过程与方法 通过对平面向量基本定理的探究，以及平面向量坐标建立的过程，让学生体验数学定理的产生、形成过程，体验由一般到特殊、类比以及数形结合的数学思想，从而实现向量的“量化”表示。 （3）情感、态度与价值观 引导学生从生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和应用意识，提高学习数学的兴趣，感受数学的魅力。 3、教学重点和难点：根据教材特点及教学目标的要求，我将教学重点确定为———平面向量基本定理的探究，以及平面向量的坐标表示。 教学难点：对平面向量基本定理的理解及其应用 二、教法分析： 针对本节课的教学目标和学生的实际情况，根据“先学后教，以学定教”原则，本节课采用由“自学—探究—点拨—建构—拓展”五个环节构成的诱导式学案导学方法。 三、学法指导 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。由于学生已经掌握了向量的概念和简单的线性运算，并且对向量的物理背景有初步的了解，我引导学生采用问题探究式学法。让学生借助学案，在教师创设的情境下，根据已有的知识和经验，主动探索，积极交流，从而建立新的认知结构。 四、重点说明本节课的教学过程： 本节课共设计了五个环节：发放学案，依案自学；分组探究 ，信息反馈；精讲点拨，解难释疑 ；归纳总结，建构网络 ；当堂达标，迁移拓展 。 1、发放学案，依案自学 学习并非学生对教师授予知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构。根据这一理念，我在课前下发“导学学案”，让学生以学案为依据，以学习目标、学习重点难点为主攻方向，主动查阅教材、工具书，思考问题，分析解决问题，在尝试中获取知识，发展能力。这是我编制学案的纲要。 经过学生的自学，在课堂上，我采用提问的方式，让学生对知识点进行简单概述，并阐述自己的学习方法和体会。其中，向量的夹角概念，学生基本上能独立解决，我会引导学生归纳出求两个向量夹角的要点：（1）两个向量要共起点，（2）两个向量的正方向所成的角。然后，通过学案上的练习题目1，检查学生的掌握程度。对本节课的重点和难点：平面向量基本定理的探究及坐标表示，我准备通过分组探究，精讲点拨，归纳总结三个方面来突破。 2、分组探究 ，信息反馈 这一环节，我先把学生分组，让其对定理及坐标表示，进行讨论、探究、交流，先组内互相启发，消化个体疑点，然后以组为单位提出疑问。如果某个问题，某个组已经解决，其它组仍是疑点，我让已解决问题的小组做一次“教师”，面向全体学生讲解，教师可以适当补充点拨，这也可以说是讨论的继续。 3、精讲点拨，解难释疑 本节课的目的是要帮助学生建立向量的坐标.要求先运用已有的知识去研究平面向量的基本定理,然后以这个定理为基础建立向量的坐标。对于定理的探究，有些学生只是从形式上加以记忆,缺乏对问题本质的理解,为了帮助学生改进学习方法,提升数学能力,我先提问学生如何把平面上任一向量分解成两个不共线向量的线性组合，学生会通过作图来说明这一问题。我们要强调的是,这里的向量是自由向量,其起点是可以移动的,将三个向量的起点放在一起可便于研究问题.类比物理上力的分解，利用平行四边形法则，我们把向量 分解成 ，根据向量共线定理 ，存在一对实数λ1，λ2 ，使 ， 从而 =λ1 +λ2 ，教师再引导学生自主归纳，从而得出平面向量基本定理。为了加深对定理的理解，我设计了如下的几个问题，学生思考回答后，教师再利用几何画板作进一步的演示。当 ， 共线时，与它们不共线的向量 不能用 ， 当线性表示，所以共线向量不能作为基底；当不共线向量 ， ，任意 确定后，λ1，λ2是唯一确定的；我们改变向量 的大小和方向，发现 仍然可以用 ， 线性表示，说明了任意向量 能分解成两个不共线向量的线性组合；改变基底 ， 的大小和方向，保持向量 不变，刚才的结论仍然成立，说明了同一个向量 能用不同的基底线性表示，由此说明基底不唯一，具有可选择性。 对于向量的坐标表示，我先用火箭速度的分解引入正交分解，然后提问：根据平面向量基本定理，基底是可以选择的，为了研究的'方便，我们应该选取什么样的基底呢？引导学生由一般到特殊，选择平面直角坐标系中 轴和 轴上，且方向与轴的正方向同向的单位向量 做基底，那么根据刚刚得出的定理，任一向量 =x +y ，由于x,y是唯一的，于是存在数对（x,y）与向量a一一对应，从而得到平面向量的坐标表示。需要说明的两点是：第一，向量的坐标表示与其分解形式是等价的，可以互相转化。第二点说明：求向量坐标的关键是构造平行四边形，确定实数x、y。学生在理解起点不在坐标原点的向量的坐标表示时会出现障碍，其原因是在直角坐标系中点和点的坐标是一一对应的,到了向量时,向量的坐标只是和从原点出发的向量一一对应,必须使学生在这种特定的场合中明白:要求点 的坐标就是要求向量 的坐标.只要结合向量相等的条件学生应该容易克服这一难点。随后，通过学案上的练习2，让学生巩固所学知识。 4、第四个环节，归纳总结，建构网络 建构主义教学理论认为，知识是主体在与情境的交互作用中、在解决问题的过程中能动地构建起来的，学生应在教师指导下自主归纳出新旧知识点之间的内在联系，构建知识网络，从而培养学生的分析能力和综合能力。为此，我设计了如下的问题： 通过本节课的学习，你收获了什么？…… 在学生回答的过程中，我及时反馈，评价学生课堂表现，起导向作用。 5、第五个环节，当堂达标，迁移拓展 本部分检测题，紧扣目标，当堂训练，而为了尊重学生的个体差异，满足多样化学习的需要，我又分必做和选做两部分来布置题目，允许学生根据个人情况来完成。 五、我说课的最后一部分是教学设计说明： 1、贯彻了学生主体、教师主导的原则 “学案导学”要求学生主动试一试，并给予学生充分自由思考的时间。学生在尝试中遇到问题就会主动地去自学课本和接受教师的指导。这样，学习就变成了学生自身的需要，使他们产生了“我要学”的愿望，在这种动机支配下学生就会依靠自己的力量积极主动地去学习。 教师通过启发、激励，诱导学生全员、全过程参与教学过程，体现教师的主导作用。 2、培养了自主探索，合作交流的能力 新的课程理念，要求学生的学习不仅仅是在理解基础上掌握和记忆知识，还要学习探索和解决问题的方法和途径。 本节课采用诱导式教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，掌握数学知识、形成数学能力，培养探索精神和团队意识。 我相信，通过本节课的学习，学生获取的将不仅仅是知识，获取知识的手段、途径和方法，以及勇于探索、合作交流的能力，才是他们最大的收获。 高二数学平面向量知识点总结 平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中叫也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量。高二数学平面向量知识点总结，我们来看看下文。 1．有向线段的定义 线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB的方向.像这样，具有方向的线段叫做有向线段.记作：. 2.有向线段的三要素：有向线段包含三个要素：始点、方向和长度. 3.向量的定义：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有两个要素：大小和方向. (2)向量的表示方法：①用两个大写的英文字母及前头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量.书写时，则用带箭头的小写字母，，，来表示. 4.向量的长度（模）：如果向量=，那么有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度(或模)，记作||. 5．相等向量：如果两个向量和的方向相同且长度相等，则称和相等，记作：=. 6．相反向量：与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量，记作：-. 7．向量平行（共线）：如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线.向量平行于向量，记作//.规定： //. 8．零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作：.零向量的方向是不确定的，是任意的.由于零向量方向的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是零向量还是非零向量. 9．单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量. 10．向量的加法运算： (1)向量加法的三角形法则 11．向量的减法运算 12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系 对于任意两个向量，，都有|||-|||||+||. 13．数乘向量的定义： 实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作. 向量的长度与方向规定为：(1)||=| (2)当0时，与方向相同;当0时，与方向相反. (3)当=0时，当=时，=. 14．数乘向量的运算律：(1))= (结合律) (2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律) 15．平行向量基本定理 如果向量，则//的充分必要条件是，存在唯一的实数，使得=. 如果与不共线，若m=n，则m=n=0. 16．非零向量的单位向量：非零向量的单位向量是指与同向的.单位向量，通常记作. =||，即==(，) 17．线段中点的向量表达式 点M是线段AB的中点，O是平面内任意一点，则=(+). 18．平面向量的直角坐标运算：如果=(a1，a2)，=(b1，b2)，则 +=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2). 19．利用两点表示向量：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1). 20.两向量相等和平行的条件：若=(a1，a2)，=(b1，b2) ，则 =a1=b1且a2=b2. //a1b2-a2b1=0.特别地，如果b10，b20，则// =. 21．向量的长度公式：若=(a1，a2)，则||=. 22．平面上两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||=. 23．中点公式 若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x=，y= . 24．重心公式 在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，，△ABC的重心为G(x，y)，则 x=，y= 25．（1)两个向量夹角的取值范围是[0，p]，即0，p. 当=0时，与同向;当=p时，与反向 当= 时，与垂直，记作. (3)向量的内积定义：=||||cos. 其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的数量.规定=0. (4)内积的几何意义 与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量，或的模与在 方向上的正射影数量的乘积 当0，90时，0;=90时， 90时，0. 26．向量内积的运算律： (1)交换率 (2)数乘结合律 (3)分配律 (4)不满足组合律 27．向量内积满足乘法公式 29．向量内积的应用： 平面向量教学设计 【学习目标】 1、理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示; 2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义; 3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义; 4、了解向量线性运算的性质及其几何意义。 【学习要点】 1、向量概念 ________________________________________________________叫零向量，记作 ;长度为______的向量叫做单位向量;方向___________________的向量叫做平行向量。 规定： 与______向量平行;长度_______且方向_______的向量叫做相等向量;平行向量也叫______向量。 2、向量加法 求两个向量和的运算，叫做向量的加法，向量加法有___________法则与______________法则。 3、向量减法 向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，记作_________________________，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 4、实数与向量的积 实数 与向量 的积是一个_______，记作________，其模及方向与____的值密切相关。 5、两向量共线的充要条件 向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得__________。 【典型例题】 例1 在四边形ABCD中， 等于 ( ) A、B、C、D、 例2 若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且 ， ，则 、表示向量 为 ( ) A、+ B、― C、― + D、― ― 例3 设 、是两个不共线的向量，则向量 与向量 共线的充要条件是 ( ) A、0 B、C、1 D、2 例4 下列命题中： (1) = ， = 则 = (2)| |=| |是 = 的必要不充分条件 (3) = 的充要条件是 (4) = ( )的充要条件是 = 其中真命题的有__________________。 例5 如图5-1-1，以向量 ， 为边作平行四边形AOBD，又 ， ，用 、表示 、和 。 图5-1-1 【课堂练习】 1、( ) A、B、C、D、 2、“两向量相等”是“两向量共线”的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3、已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则 等于 ( ) A、 B、 C、 D、 4、若| |=1，| |=2， =且 ，则向量 与 的夹角为( ) A、300 B、600 C、1200 D、1500 【课堂反思】 1.《长城》教学设计 2.《青花》教学设计 3.《春望》教学设计 4.《阳光》教学设计 5.社戏教学设计 6.《人生》教学设计 7.《秋思》教学设计 8.《燕子》教学设计 9.《春雨》教学设计 10.将心比心教学设计 教学目的： 1 掌握平面向量数量积运算规律; 2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 教学重点：平面向量数量积及运算规律 教学难点：平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 教学过程： 一、复习引入： 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 与 ，作 = ， = ，则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 与 的夹角 2.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作 ，即有 = | || |cos， (0≤θ≤π) 并规定 与任何向量的数量积为0 3.“投影”的概念：作图 定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影 投影也是一个数量，不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 | |;当 = 180时投影为 | | 4.向量的数量积的几何意义： 数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积 5.两个向量的数量积的性质： 设 、为两个非零向量， 是与 同向的单位向量 1 = =| |cos;2 = 0 3当 与 同向时， = | || |;当 与 反向时， = | || | 特别的 = | |2或 4cos = ;5| | ≤ | || | 6.判断下列各题正确与否： 1若 = ，则对任一向量 ，有 = 0 ( √ ) 2若 ，则对任一非零向量 ，有 0 ( × ) 3若 ， = 0，则 = ( × ) 4若 = 0，则 、至少有一个为零 ( × ) 5若 ， = ，则 = ( × ) 6若 = ，则 = 当且仅当 时成立 ( × ) 7对任意向量 、、，有( ) ( ) ( × ) 8对任意向量 ，有 2 = | |2 ( √ ) ★ 高一数学映射课件 ★ 高一数学课件 【高一数学平面向量课件（合集12篇）】相关文章： 高一数学学期教学计划2022-12-02 高一第一学期数学教学工作总结2023-07-18 高二下学期作文2023-05-22 高三数学教学计划2022-08-01 高一数学必修二优秀教案2023-05-15 高中数学说课稿2024-05-15 优秀高中数学说课稿2022-05-20 高中数学说课稿格式2022022-05-02 人教版初中数学矩形说课稿2024-02-07 高三数学教学计划参考精选2024-04-14篇7：平面向量教案
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