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导数证明不等式

时间：2022-05-04 03:22:02 证明收藏本文下载本文

导数证明不等式(（精选8篇））由网友“神無月”投稿提供，下面是小编为大家整理后的导数证明不等式，欢迎阅读与收藏。

导数证明不等式

篇1：导数证明不等式

f(x)=x-ln(x+1)

f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)

x>1,所以f'(x)>0,增函数

所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0

f(x)>0

所以x>0时，x>ln(x+1)

二、

导数是近些年来高中课程加入的新内容，是一元微分学的'核心部分。本文就谈谈导数在一元不等式中的应用。

例1. 已知x∈(0， )，

求证:sinx

篇2：用导数证明不等式

用导数证明不等式

最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数 f(x). 对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于 0. 这样就能说明原不等式了成立了!

1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)

设函数f(x)=x-ln(x+1)

求导，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+1

2..证明：a-a^2>0 其中0

F(a)=a-a^2

F'(a)=1-2a

当00;当1/2

因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0

即有当00

3.x>0,证明：不等式x-x^3/6

先证明sinx

因为当x=0时，sinx-x=0

如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，

求导数有sinx-x的导数是cosx-1

因为cosx-1≤0

所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，

知sinx

再证x-x/6

对于函数x-x/6-sinx

当x=0时，它的值为0

对它求导数得

1-x/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。

要证x/2+cosx-1>0 x>0

再次用到函数关系，令x=0时，x/2+cosx-1值为0

再次对它求导数得x-sinx

根据刚才证明的'当x>0 sinx

x/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0

x/2-cosx-1<0 x>0

所以x-x/6-sinx是减函数，在0点有最大值0

得x-x/6

利用函数导数单调性证明不等式X-X>0，X∈(0,1)成立

令f(x)=x-x x∈[0,1]

则f'(x)=1-2x

当x∈[0,1/2]时,f'(x)>0,f(x)单调递增

当x∈[1/2,1]时,f'(x)<0,f(x)单调递减

故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值为零

故当x∈(0,1)f(x)=x-x>0。

i、m、n为正整数，且1

求证(1+m)^n > (1+n)^m

方法一：利用均值不等式

对于m+1个数，其中m个(2+m)，1个1,它们的算术平均数大于几何平均数，即

[(2+m)+(2+m)+...+(2+m)+1]/(m+1)>[(2+m)^m]^[1/(1+m)]

即1+m>(2+m)^[m/(1+m)]

即(1+m)^(1/m)>[1+(m+1)]^[1/(1+m)]

由此说明数列{(1+m)^(1/m)}是单调递减的。

方法二：导数方法

令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0

求导数

f'(x)=(1+x)^(1/x)*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2

为了考察f'(x)的正负

令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0

g'(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0

因此g(x)0,亦即f'(x)<0

因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。

令A*B*C=K的3次方

求证(1+A)的-(1/2)次方加(1+B)的-(1/2)次方加(1+C)的-(1/2)次方 >=(1+K)的-(1/2)次方

化成函数，f(x)，求导，可知其单调区间，然后求最大最小值即可。

理论上所有题目都可以用导数做，但有些技巧要求很高。

(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+C)^-1/2

=(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+K^3/AB)^-1/2=f(A,B)

对A求导，f'(A,B)A=0，可得一个方程，解出即得。

篇3：利用导数证明不等式

利用导数证明不等式

没分都没人答埃。。觉得可以就给个好评!

最基本的方法就是将不等式的的.一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数 f(x). 对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于 0. 这样就能说明原不等式了成立了!

1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)

设函数f(x)=x-ln(x+1)

求导，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+1

2..证明：a-a^2>0 其中0

F(a)=a-a^2

F'(a)=1-2a

当00;当1/2

因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0

即有当00

3.x>0,证明：不等式x-x^3/6

先证明sinx

因为当x=0时，sinx-x=0

如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，

求导数有sinx-x的导数是cosx-1

因为cosx-1≤0

所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，

知sinx

再证x-x/6

对于函数x-x/6-sinx

当x=0时，它的值为0

对它求导数得

1-x/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。

要证x/2+cosx-1>0 x>0

再次用到函数关系，令x=0时，x/2+cosx-1值为0

再次对它求导数得x-sinx

根据刚才证明的当x>0 sinx

x/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0

x/2-cosx-1<0 x>0

所以x-x/6-sinx是减函数，在0点有最大值0

得x-x/6

利用函数导数单调性证明不等式X-X>0，X∈(0,1)成立

令f(x)=x-x x∈[0,1]

则f'(x)=1-2x

当x∈[0,1/2]时,f'(x)>0,f(x)单调递增

当x∈[1/2,1]时,f'(x)<0,f(x)单调递减

故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值为零

故当x∈(0,1)f(x)=x-x>0。

i、m、n为正整数，且1

篇4：不等式证明

不等式证明

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..

(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的.。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当 a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当 a<0时，f(x)>0(或< 0).△>0(或< 0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证 A≥B，可将 B适当放大，即 B1≥B，只需证明 A≥B1。相反，将 A适当缩小，即 A≥A1，只需证明 A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

篇5：不等式证明练习题

不等式证明练习题

(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展开，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z

则原不等式等价于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有绝对值的不等式练习。1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7, -1-7x-7, x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.

函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ，值域是，函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y=arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y=arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的'值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展开，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z

则原不等式等价于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ，值域是，函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y=arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y=arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

篇6：分析法证明不等式

分析法证明不等式

已知非零向量a,b,a⊥b，求证|a|+|b|/|a+b|<=√2

【1】

∵a⊥b

∴ab=0

又由题设条件可知，

a+b≠0(向量)

∴|a+b|≠0.

具体的，即是|a+b|>0

【2】

显然，由|a+b|>0可知

原不等式等价于不等式：

|a|+|b|≤(√2)|a+b|

该不等式等价于不等式：

(|a|+|b|)≤[(√2)|a+b|].

整理即是：

a+2|ab|+b≤2(a+2ab+b)

【∵|a|=a. |b|=b. |a+b|=(a+b)=a+2ab+b

又ab=0,故接下来就有】】

a+b≤2a+2b

0≤a+b

∵a，b是非零向量，

∴|a|≠0,且|b|≠0.

∴a+b>0.

推上去，可知原不等式成立。

作为数学题型的不等式证明问题和作为数学证明方法的分析法，两者皆为中学数学的教学难点。本文仅就用分析法证明不等式这一问题稍作探讨。

注:“本文中所涉及到的图表、公式注解等形式请以PDF格式阅读原文。”

就是在其两边同时除以根号a+根号b，就可以了。

下面我给你介绍一些解不等式的方法

首先要牢记一些我们常见的不等式。比如均值不等式，柯西不等式，还有琴深不等式(当然这些是翻译的问题)

然后要学会用一些函数的方法，这是解不等式最常见的方法。分析法，综合法，做减法，假设法等等这些事容易的。

在考试的时候方法最多的是用函数的.方法做，关键是找到函数的定义域，还有求出它的导函数。找到他的最小值，最大值。

在结合要求的等等

一句话要灵活的用我们学到的知识解决问题。

还有一种方法就是数学证明题的最会想到的。就是归纳法

这种方法最好，三部曲。你最好把它掌握好。

若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?

解：ab-3=a+b>=2根号ab

令T=根号ab,

T^2-2T-3>=0

T>=3 or T<=-1(舍)

即，根号ab>=3，

故，ab>=9 (当且仅当a=b=3是取等号)。

篇7：综合法证明不等式

综合法证明不等式

若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?

解：ab-3=a+b>=2根号ab

令T=根号ab,

T^2-2T-3>=0

T>=3 or T<=-1(舍)

即，根号ab>=3，

故，ab>=9 (当且仅当a=b=3是取等号)

已知a，b，c为正实数，用综合法证明

2(a^3 + b^3 +c^3)≥a^2 (b+c)+b^2 (a+c)+c^2 (a+b)

证明：a>0,b>0--->a+b>0,(a-b)^2>=0

--->(a+b)(a-b)^2>=0

--->(a^2-b^2)(a-b)>=0

--->a^3-a^2*b-ab^2+b^3>=0

--->a^3+b^3>=ba^2+ab^2

同理b^3+c^3>=cb^2+bc^2,c^3+a^3>=ac^2+ca^2

三同向的不等式的两边相加得到

2a^3+2b^3+2c^3>=a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b

就是2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2.证完

1.若a，b∈R，则lg(a^2+1)

2.设x>1，则x/(1+x)+1/2与1的大小关系为

3.不等式

1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，

对满足a>b>c恒成立，则β的取值范围是

1.若a，b∈R，则lg(a^2+1)

解：lg(a^2+1)

<==>a^2+1

<==>a^2

<==>|a|<|b|≠=>a

且a|a|<|b|,

∴lg(a^2+1)

2.设x>1，则x/(1+x)+1/2与1的'大小关系为

解：x/(1+x)+1/2-1

=(x-1)/[2(x+1)]>0,

∴x/(1+x)+1/2>1.

3.不等式

1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，

对满足a>b>c恒成立，则β的取值范围是

解：注意a-b+b-c=a-c,原不等式化为

β<=(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]恒成立,

而(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]>=4,

∴β的取值范围是(-∞，4]。

综合法是不等式证明的一种方法，这种方法是：根据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行。综合法.从已知(已经成立)的不等式或定理出发，逐步推出(由因导果)所证的不等式成立.例如要证，我们从，得，移项得 .综合法的证明过程表现为一连串的“因为……所以……”，可用一连串的“ ”来代替.

综合法的证明过程是下一节课学习的不等式的证明的又一必须掌握的方法――分析法的思考过程的逆推，而分析法的证明过程恰恰是综合法的思考过程。实际上在前面两个重要的不等式平方不等式和均值定理的证明及不等式的性质证明当中，我们已经运用了综合法，但当时只是没有提出或采用这个名字而已。本节课是不等式的证明的每第二节课，由于立方不等式已移至阅读材料当中，故例题只有一个，是运用平方不等式来作为基础工具。