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等差数列教案

时间：2023-08-14 08:25:31 教案收藏本文下载本文

等差数列教案（共18篇）由网友“kiki216”投稿提供，以下是小编为大家汇总后的等差数列教案，欢迎参阅，希望可以帮助到有需要的朋友。

等差数列教案

篇1：等差数列教案

设计思路

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法――通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

教学过程：

一、片头

（30秒以内）

前面学习了数列的概念与简单表示法，今天我们来学习一种特殊的数列－等差数列。本节微课重点讲解等差数列的定义，并且能初步判断一个数列是否是等差数列。

30秒以内

二、正文讲解（8分钟左右）

第一部分内容：由三个问题，通过判断分析总结出等差数列的定义 60 秒

第二部分内容：给出等差数列的定义及其数学表达式50 秒

第三部分内容：哪些数列是等差数列？并且求出首项与公差。根据这个练习总结出几个常用的结152秒

三、结尾

（30秒以内）授课完毕，谢谢聆听！30秒以内

自我教学反思

本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并在此基础上学会判断一个数列是否是等差数列，培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程。

篇2：等差数列教案

教学目标

知识与技能目标：理解等差数列的定义;会根据等差数列的通项公式求某一项的值;会根据等差数列的前几项求数列的通项公式。

过程与方法目标：通过启发、讨论、引导、边教边练边反馈的方法提高学生思考问题、解决问题的能力。

情感、态度、价值观目标：培养学生的逻辑推理能力;培养学生在探索中学习知识的精神，增强学生相互合作交流的意识。

教学重点：会求等差数列的通项公式。

教学难点：等差数列的通项公式的推导。

教学准备：课件

教学过程：

一、创设情境，引入课题

如图1所示：一个堆放铅笔的V形架的最下面

一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1

支，这个V形架的铅笔从最下面一层往上面排起的

铅笔支数组成数列：1，2，3，4，……

②某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：

38，40，42，44，46，……

③全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为：25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5.

师生互动，探索新知

教师：请同学们仔细观察，你发现这三组数列有什么变化规律?

生：数列①从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ;

数列②从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ;

数列③从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ;

[设计说明：采用边教学边反馈的方式，有利于教师及时了解学生理解新知识的程度，增强学生学好数学的信心]

教师引导学生观察上面的数列①、②、③的特点。

提出问题1：上面三个数列的共同特点是什么?

学生：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

教师：这样我们就得到了等差数列的定义。

<一>等差数列的定义：如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列;这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。等差数列的公差d的数学表达式为：。

基础训练：1、上面数列①的公差d= ; 数列②的公差d= ;

数列③的公差d=

[设计说明：有利于学生扫除语言与符号转换的障碍]

2、下面的数列中，哪些是等差数列?若是，求出它的公差;若不是，则说明理由。

6，10，14，18，22，……;(2)9，8，7，6，5，4，3，2;(3)3，3，3，3，3，3;(4)1，0，1，0，1，0，1，0.

提出问题2：任何一个数列一定是等差数列吗?如果是等差数列，公差一定是正数吗?

师生讨论得出结论：

、一个数列是等差数列必须具有这样的特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数;

(2)等差数列的公差d可能是正数、负数、零。

[设计说明：从具体数列入手，有利于较多基础差的学生理解等差数的定义，判断数列是否为等差数列转换成具体的步骤：求后面一项与前面一项的差，看这些差是否相等]

提出问题3：等差数列的公差d的数学表达式为：，

揭示了求公差d可以用哪些式子表示?

师生共同活动：等，

变式：

提出问题4：如果等差数列只知道首项，公差d，那么这个数列的其他项如何表示?

师生共同活动：

…，

[设计说明：问题3、问题4的提出训练学生的变形思想、递归思想，从而引出等差数列的通项公式及学生容易理解通项公式的变形公式]

<二>等差数列的通项公式：

篇3：等差数列教案

授课教师授课班级课题 3.2.1等差数列(一) 课型新授课教学目标知识目标等差数列的定义.

等差数列的通项公式. 能力目标明确等差数列的定义.

掌握等差数列的通项公式，并能运用其解决问题. 情感目标培养学生的观察能力.

进一步提高学生的推理、归纳能力.

培养学生的应用意识. 教学重点等差数列的定义的理解和掌握.

等差数列的通项公式的推导和应用. 教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用. 教学过程教学环节和教学内容设计意图【复习回顾】(2分钟)

数列的定义以及数列的通项公式和递推公式。

【引入】(3分钟)

某人要用彩灯装饰圣诞树，这个人做事喜欢按一定的规律去做，他在圣诞树的顶尖装上1个彩灯，在第一层装上4个，第二层装上7个，第三层装上10个，第四层装上13个。如果有第五层，你能猜得出他要装上多少个彩灯吗?他的规律是怎样的?

你能根据规律在( )内填上合适的数吗?

(1)1， 4， 7，10，13，( )

(2)21， 21.5， 22， ( )， 23， 23.5，…

(3)8，( )， 2， -1， -4， …

(4)-7， -11， -15， ( )， -23

共同特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。这样的数列叫做等差数列。

【讲授新课】(16分钟)

一、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

用符号表示：

教师活动：分析定义，强调关键的地方，帮助学生理解和掌握。

问题：1.数列(1)(2)(3)(4)的公差分别是多少?

2.(5)1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10

(6)5， 5， 5， 5， 5， 5 ……是等差数列吗?

3.求等差数列 1， 4， 7，10，13，16，…的第100项。

师生一起讨论回答。

二、等差数列的通项公式

如果等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：

即：

由此归纳等差数列的通项公式可得：

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项

思考：已知等差数列的第m项和公差d，这个等差数列的通项公式是?答：

【例题讲解】(8分钟)

篇4：等差数列教案

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析

教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。

三、设计思想

1.教法

⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2.学法

引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标

通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题;并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。

五、教学重点与难点

重点：

篇5：等差数列教案

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②理解等差数列是一种函数模型。

关键：

等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

六、教学过程

教学环节情境设计和学习任务学生活动设计意图创设情景在南北朝时期《张邱建算经》中，有一道题“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何，及未到三人复应得金几何“。

这个问题该怎样解决呢? 倾听课堂引入探索研究由学生观察分析并得出答案：

在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，___，___，___，___，…

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)：18，15.5，13，10.5，8，5.5 观察分析，发表各自的意见引向课题发现规律思考：同学们观察一下上面的这两个数列：

0，5，10，15，20，…… ①

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ②

看这些数列有什么共同特点呢? 观察分析并得出答案：

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ;

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ;

由学生归纳和概括出，以上两个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数(即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。总结提高 [等差数列的概念]

对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上两组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5。学生认真阅读课本相关概念，找出关键字。通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。提问：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件? 由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A

所以就有让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

看来，

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q

则深入探究，得到更一般化的结论引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。总结提高 [等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学习的内容。

⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这三组等差数列的通项公式。由学生经过分析写出通项公式：

篇6：数学等差数列教案

一、等差数列

1、定义

注：“从第二项起”及

“同一常数”用红色粉笔标注

二、等差数列的通项公式

（一）例题与练习

通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。

（二）新课探究

1、由引入自然的给出等差数列的概念：

如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：

① “从第二项起”满足条件； f

②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；

在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：

an+1―an=d （n≥1） ;h4z+0“6vG

同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

1。 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=―1

2。 0。70，0。71，0。72，0。73，0。74……；√ d=0。01

3。 0，0，0，0，0，0，……。; √ d=0

4。 1，2，3，2，3，4，……；×

5。 1，0，1，0，1，……×

其中第一个数列公差<0，>0，第三个数列公差=0

由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0

2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。

若一等差数列{an }的首项是a1，公差是d，

则据其定义可得：

a2 ― a1 =d 即： a2 =a1 +d

a3 C a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 C a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d

……

猜想： a40 = a1 +39d

进而归纳出等差数列的通项公式：

an=a1+（n―1）d

此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法――――――迭加法：

a2 C a1 =d

a3 C a2 =d

a4 C a3 =d

……

an+1 C an=d

将这（n―1）个等式左右两边分别相加，就可以得到 anC a1= （n―1） d即 an= a1+（n―1） d （1）

当n=1时，（1）也成立，

所以对一切n∈N~，上面的公式都成立

因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。

在迭加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。

利用等差数列概念启发学生写出n―1个等式。

对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n―1个等式相加。证出通项公式。

在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求

接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是1，公差是2，得出这个数列的通项公式是：an=1+（n―1）×2 ，即an=2n―1 以此来巩固等差数列通项公式运用

同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。

（三）应用举例

这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。

例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；第30项；第40项

（2）―401是不是等差数列―5，―9，―13，…的项？如果是，是第几项？

在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an

例2 在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。

在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固

例3 是一个实际建模问题

建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5。8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米？

这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型――――――等差数列：（学生讨论分析，分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：项数学生认为是16项，应明确a1为第2层的楼底离地面的高度，a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17，可用展示实际楼梯图以化解难点）

设置此题的目的：

1。加强同学们对应用题的综合分析能力，

2。通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣；

3。再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法

（四）反馈练习

1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。

2、书上例3）梯子的最高一级宽33c，最低一级宽110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。

目的：对学生加强建模思想训练。

3、若数例{an} 是等差数列，若 bn = an ，（为常数）试证明：数列{bn}是等差数列

此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。

（五）归纳小结（由学生总结这节课的收获）

1。等差数列的概念及数学表达式．

强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

2。等差数列的通项公式 an= a1+（n―1） d会知三求一

3．用“数学建模”思想方法解决实际问题

（六）布置作业

必做题：课本P114习题3。2第2，6 题

选做题：已知等差数列{an}的首项a1= ―24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求）

五、板书设计

在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。

篇7：等差数列教材教案

等差数列教材（教案）

等差数列教材（教案）课题：等差数列教材：（苏教版数学第二册）§子1.2 等差数列课型：新授课教学目标： 1、知识目标：（1）明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式（2）会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题 2、能力目标：培养学生具有良好的观察能力、归纳能力、应用能力和创新解题能力 3、情感目标：培养学生具有良好的协作精神和探索精神教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质教学方法：发现法、观察法、讨论法、讲解法及其组合教具：多媒体内容分析：前面学习了数列的定义及表示数列的几种方法――列举法、通项公式、递推公式等，这些方法从不同的角度反映了数列的.特点，具备这些知识后，为本节课探索等差数列的定义、通项公式等创造了条件。教学过程：一、创设情境教师活动学生活动设计意图 1、小明昨天背记了1个英文单词，从今天开始，他背记的单词量逐日增加，依次为：6，11，16，21，……请同学们仔细观察一下，以上数列有什么特点？学生独立思考后口答问题是数学的心脏，数学来源于生活 2、提出问题：多少天后他背记的单词量达到301？表明自己观点让学生大胆猜想，引发思考，引出新课二、探索活动教师活动学生活动设计意图 1、交流与发现：（1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。注意 ①公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求 ②对于数列{an}，若an-an-1=d（与n无关的数或字母），n≥2，n∈N+，则此数列是等差数列，d为公差。（2）等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d[或an=am+(n-m)d] 学生与同桌交流后回答探索、研究等差数列的定义及通项公式 2、例题讲解 [例1]（1）求等差数列8，5，2……的第20项（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13……的项？如果是，是第几项？解：（1）由a1=8,d=5-8=2-5=-3 N=20,得a20=8+(20-1)×(-3)=-49 （2）由a1=-5，d=-9-(-5)=-4 得数列通项公式为：an=-5-4(n-1) 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立，解之得n=100,既-401是这个数列的第100项。 [例2]在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求a1，d，a20，an 解法一：∵a5=10,a12=31,则 a1+4d=10 a1=-2 a1+11d=31 d=3 ∴an=a1+(n-1)d=3n-5 a20=a1+19d=55 解法二：a12=a5+7d 31=10+7d d=3 ∴a20=a12+8d=55 小结：第二通项公式an=am+(n-m)d [例3]梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。解：设{an}表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：a1=33,a12=10,n=12 ∴a12=a1+(12-1)d，即110=33+11d 解得：d=7 因此，a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61, a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103, 答；梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm。先让学生发表观点，后喊两名中等生板书学生小组讨论后发表观点并积极上黑板板书发挥学生优势，画出图形，讨论先求什么会用通项公式，学会用方程思想解题做好“条件”转化：学会列方程组解决培养学生一题多解的能力学会应用，培养数学建模能力与应用能力三、巩固练习教师活动学生活动设计意图练习： 1、（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项。（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。 2、在等差数列{an}中，（1）已知a4=10,a7=9,求a1与d; (2)已知a3=9,a9=3,求a12。 a1+3d=10 a1+6d=19 点拨：（1）由题意得：（2）解法一：由题意可得： a1+2d=9 a1=11 a1+8d=3 d=-1 ∴该数列的通项公式为：an=11+(n-1)×(-1)=12-n, ∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d, 即：3=9+6d, ∴d=-1 又∵a12=a9+3d, ∴a12=3+3×(-1)=0 喊4名中等学生板书喊2名中等学生板书：令7n-5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项喊2名中等学生板书喊2名中等学生板书，注意对照会用通项公式会判断一数是否为某一数列的其中一项，注意解题步骤的规范性与准确性会由an,a1,d,n中的三个，求另外一个，培养发散性思维，培养一题多解能力与创新解题能力四、反思总结教师活动学生活动设计意图通过本节课的学习，你有什么体会和收获？本课涉及哪些数学知识、思想、方法？培养学生总结、归纳能力及时总结，授之以渔教学反思：本节课的教学体现了“自主探索与合作交流”的教学理念，学生在探索中获得了数学的“思想、方法、能力、素质”。一、情境创设，自然有效。实践证明，通过问题发现问题，符合职业中学学生的认知特点，自然有效。二、自主探索，惊喜不断。本课从多层面开展课堂活动，既有民主和谐的师生互动式活动，更有学生的独立思考、演练、小组讨论、观察，发现，总结交流等学习活动，学生在探索过程中学得灵活、踏实、轻松、愉快，体验学习数学的成功和快乐。三、夯实基础，提高效益。本课以课本例题、练习为原型，创造性地使用教材，层层推进，激发学生学习潜能，培养学生具有良好的思维特性，渗透基本的数学思想和方法，培养学生数学建模能力，培养学生创新解题能力和应用能力，极大的提高了数学课堂教学效益。四、新的思考。 1、要注意an=am+(n-m)d和an=pn-q(p、q是常数)的理解与应用； 2、在等差数列通项公式的应用中，应突出它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么两项可以决定一个等差数列。

篇8：高中数学等差数列教案

“等差数列”教学设计

一、教学内容分析

等差数列是《普通高中课程标准实验教科书?数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，?数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

二、教学目标

1、通过本节课的学习使学生理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列。

2、引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用;并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。

3、在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

三、教学重难点

重点：

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②理解等差数列是一种函数模型。

四、学习者分析

普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

五、教学策略选择与设计

结合本节课的特点，我设计了从教法、学法两种方法对等差数列的通项公式进行推导，让学生更好的理解。通过引入实例来启发学生，挺高学生的学习兴趣，是学生更加形象、愉快的去学习这堂课。下面是我教学设计：

1.教法

⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2.学法

六、教学资源与工具设计

(一)学习环境：多媒体教室

(二)用到的资源：

1 查找有关等差数列的实例

2 写出上课要提到的问题

3 制作相关PPT课件

七、教学过程

教学环境教学内容与

教师活动学生活动设计意图或依据情境导入

在南北朝时期《张邱建算经》中，有一道题“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何，及未到三人复应得金几何“。这个问题该怎样解决呢?

由学生观察分析并得出答案：在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，___，___，___，___，?

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)：18，15.5，13，10.5，8，5.5

思考：同学们观察一下上面的这两个数列： 0，5，10，15，20， ① 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ② 看这些数列有什么共同特点呢?

倾听和观察分析，发表各自的意见。

课堂引入，引向课题探索与归纳

对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上两组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5。

提问：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件?

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b

的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13?中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。看来，

从而可得到在一等差数列中，若m+n=p+q则

篇9：高中数学等差数列教案

等差数列的教学设计

教学理念：数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。

设计思想：本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。

一、教材分析：高考资源网

教学内容：

高中数学必修第五模块第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时，研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。

教学地位：

本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。高考资源网

教学重点：

理解等差数列概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的关系。

教学难点：

对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

二、学习者分析：

高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

三、教学目标：高考资源网

知识目标：

理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式。

能力目标：高考资源网

培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识;通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。

情感目标：

①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。

②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。

③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。

四、教法和学法的分析：高考资源网

通过探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源，强调学生动手操作试验和主动参与，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。

2、在学法上，引导学生多角度，多层面认识事物，学会探究。教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适，自我选择。

五、教学媒体和教学技术的选用

多媒体计算机和几何画板

通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。

六、教学程序：

(一)设置问题，引导发现形成概念w。

师：看大屏幕。高考资源网

情景1(播放奥运会女子举重场面)

北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)：

48，53，58，63

情景2 水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)

18，15.5，13，10.5，8，5.5

情景3 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：

本利和=本金 (1+利率存期)

时间年初本金(元) 年末本利和(元) 第1年 10000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216 第4年 10000 10288 第5年 10000 10360 例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表(假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税)

各年末本利和(单位：元)高考资源网

10072，10144，10216，10288，10360

师：思考上述各组数据反映了什么样的信息?

每行数有何共同特点?请同学们互相讨论。

(学生纷纷议论，有的几个人在一起商量)高考资源网

(从宏观上：情景1 让学生体验成功申办奥运会的喜悦心情，激发勇于拼搏的坚强意志;情景2让学生认识到保护水资源，保护生态平衡的意识;情景3 倡导节约意识，纳税意识。)

从微观上，数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从表格中抽象出一般数列。

48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 10072 10144 10216 10288 10360 师：(启发学生)你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗?

学生1：后一项与它的前一项的差等于常数。

师：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗?

学生1：不一样，要加上同一个常数。

学生2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数。

师：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗?

学生2：不一样，必须从第二项开始。

学生3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。

(教师把学生的回答写在黑板上，通过反例，使学生深刻理解几组数列的共同特征：

= 1 GB3 ① 同一个常数; = 2 GB3 ② 从第二项起)

师：能不能用数学语言表示?

学生4：

师：等价吗?

学生4：应加上(d是常数)， .

(让学生充分讨论，注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性)

师：对式子进行变形可得。

这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个?

学生5：某剧场前8排的座位数分别是

52，50，48，46，44，42，40，38.

学生6：全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是

21，21.5 ，22 ，22.5 ，23 ，23.5 ，24 ，24.5 ，25

学生7：马路边的路灯，相邻两盏之间的距离构成的数列。

师：如何用数列表示?

学生8：设相邻两盏之间的距离为a，该数列为

a，a，a，a，……，为常数列，即常数列都具有这种特征。

(让学生举例，加深感性认识)

师：满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字?

学生(共同)：等差数列。

师：(学生叙述，板书定义)高考资源网

一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首相。

提出课题《等差数列》

对定义进行分析，强调： = 1 GB3 ① 同一个常数; = 2 GB3 ② 从第二项起。注意对概念严谨性的分析。

师：回到表格中，分别说出它们的公差。

学生9：依次是d=7，d=1，d=8，d=-6，d=5，d=-2.5，d=72.

师：在计算年末本利和的问题中求时，能不能不按本利和=本金 (1+利率存期)

求而按数列的特征求呢?

学生：若能求得通项公式，问题就很好解决。

(再提出问题，引导发现求通项公式的必要性)

(二)启发、引导推出等差数列的通项公式

师：把问题推广到一般情况。若一个数列是等差数列，它的公差是d，那么数列的通项公式是什么?高考资源网

启发学生：(归纳、猜想)可用首相与公差表示数列中任意一项。

学生10：即：

即：

由此可得：

师：从第几项开始归纳的?

学生10：第二项，所以n≥2。

师：n=1时呢?

篇10：高中数学等差数列教案

一.设计思想

数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能在让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。这正是新课程所倡导的数学理念。

本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。

二.教材分析

高中数学必修五第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。

三.学情分析

学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时思维的严密性还有待加强。

四.教学目标

1.知识目标：理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系。

2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。

3.情感目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，提高数学猜想、归纳的能力。

五.重点、难点

教学重点：等差数列的概念及通项公式的推导。

教学难点：对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。

六.教学策略和手段

数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。

教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。而保留使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。

七.课前准备

学生预习，教师做好课件并安装好。

八.教学过程

创设情景，引入概念

设计意图：希望学生能通过日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程。

师生活动：

情景1：

师—把班上学生学号从小到大排成一列：

学生：

师—这是数列吗?你能归纳出它的通项公式吗?

学生—是，

师—把上面的数列各项依次记为，填空：

学生—填空并归纳出一般规律：，( )

师—上面这个规律还有其他形式吗?

学生—或者写成，( )

注：要对强调，原因在于有意义。

师—你能用普通语言概括上面的规律吗?

学生—自由发言，选择最恰当的语言。

上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。

情景2：看幻灯片上的实例

(1)20北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)：

48，53，58，63

(2)水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)

18，15.5，13，10.5，8，5.5

(3)我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：

本利和=本金 (1+利率存期)

各年末本利和(单位：元)

10072，10144，10216，10288，10360

师：上面的三个数列又分别有什么规律呢?

学生—(1) ，，

(2) ，，

(3) ，，

师—归纳上面数列的共同特征：

(d是常数)，，，

师 —满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字?

学生(共同)—等差数列。

提出课题《等差数列》

师—给出文字叙述的定义(学生叙述，板书定义)：

一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首项。

对定义进行分析，强调： = 1 GB3 ① 同一个常数; = 2 GB3 ② 从第二项起。

师—这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个?

学生—某剧场前8排的座位数分别是

52，50，48，46，44，42，40，38.

学生—全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是

21，21.5 ，22 ，22.5 ，23 ，23.5 ，24 ，24.5 ，25

抢答：观察下列数列是否为等差数列

1，2，4，6，8，10，12，……

0，1，2，3，4，5，6，……

3，3，3，3，3，3，3……

2，4，7，11，16，……

-8，-6，-4，0，2，4，……

3，0，-3，-6，-9，……

注：常数列也是等差数列，公差是0。

推进概念，发现性质

设计意图：概括等差中项的概念。总结等差中项公式，用于发现等差数列的性质。

师生活动：

师—想一想，一个等差数列最少有几项?它们之间有什么关系?

学生思考后回答，至少三项，然后老师引导学生概括等差中项的概念。

设三个数成等差数列，则A叫a与b的等差中项。同时有A-a=b-A，

说明：(1)上面式子反过来也成立。

(2)等差数列中的任意连续三项都构成等差数列，反之亦成立。

(三)探究通项公式

设计意图：通过具体数列的通项公式，总结一般等差数列的通项公式，体会特殊到一般的数学思想方法。

师生活动：

师—对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。下面一起来研究等差数列的通项公式。

先写出上面引例中等差数列的通项公式。再推导一般等差数列的通项公式。

师—若一个数列是等差数列，它的公差是d，那么数列的通项公式是什么?

启发学生：(归纳、猜想)可用首项与公差表示数列中任意一项。

学生— 即：

即：

由此可得：

师—从第几项开始归纳的?

学生—第二项，所以n≥2。

师—n=1时呢?

学生—当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式

( )

师—很好!

篇11：高中数学等差数列教案

教学准备

教学目标

掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式与前n项和公式，等差中项与等比中项的概念，并能运用这些知识解决一些基本问题.

教学重难点

掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式与前n项和公式，等差中项与等比中项的概念，并能运用这些知识解决一些基本问题.

教学过程

等比数列性质请同学们类比得出.

【方法规律】

1、通项公式与前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算题.方程观点是解决这类问题的基本数学思想和方法.

2、判断一个数列是等差数列或等比数列，常用的方法使用定义.特别地，在判断三个实数

a,b,c成等差(比)数列时，常用(注：若为等比数列，则a,b,c均不为0)

3、在求等差数列前n项和的(小)值时，常用函数的思想和方法加以解决.

篇12：高中数学等差数列教案

【示范举例】

例1：(1)设等差数列的前n项和为30，前2n项和为100，则前3n项和为.

(2)一个等比数列的前三项之和为26，前六项之和为728，则a1=,q=.

例2：四数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项之和为21，中间两项之和为18，求此四个数.

例3：项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项.

篇13：高中数学等差数列教案

整体设计

教学分析

本节课将探究一类特殊的数列——等差数列.本节课安排2课时，第1课时是在生活中具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.第2课时主要是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质.让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在问题探索过程中，先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想.其中例1是巩固定义，例2到例5是等差数列通项公式的灵活运用.

在教学过程中，应遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化.

数列在整个中学数学内容中处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫.教材采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用.因此本节内容是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材.

三维目标

1.通过实例理解等差数列的概念，通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型.同时经历由发现几个具体数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程.

2.探索并掌握等差数列的通项公式，由等差数列的概念，通过归纳或迭加或迭代的方式探索等差数列的通项公式.通过与一次函数的图象类比，探索等差数列的通项公式的图象特征与一次函数之间的联系.

3.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣.

重点难点

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差中项及性质，会用公式解决一些简单的问题.

教学难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式，并会解决一些相关的问题.

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(直接导入)教师引导学生先复习上节课学过的数列的概念以及通项公式，可有意识地在黑板上(或课件中)出示几个数列，如：数列1,2,3，…，数列0,0,0，…，数列0,2,4,6，…等，然后直接引导学生阅读教材中的实例，不知不觉中就已经进入了新课.

思路2.(类比导入)教师首先引导学生复习上节课所学的数列的概念及通项公式，使学生明了我们现在要研究的就是一列数.由此我们联想：在初中我们学习了实数，研究了它的一些运算与性质，那么我们能不能也像研究实数一样，来研究它的项与项之间的关系、运算和性质呢?由此导入新课.

推进新课

新知探究

提出问题

1回忆数列的概念，数列都有哪几种表示方法?

2阅读教科书本节内容中的①②③3个背景实例，熟悉生活中常见现象，写出由3个实例所得到的数列.

3观察数列①②③，它们有什么共同特点?

4根据数列①②③的特征，每人能再举出2个与其特征相同的数列吗?

5什么是等差数列?怎样理解等差数列?其中的关键字词是什么?

6数列①②③存在通项公式吗?如果存在，分别是什么?

7等差数列的通项公式是什么?怎样推导?

活动：教师引导学生回忆上节课所学的数列及其简单表示法——列表法、通项公式、递推公式、图象法，这些方法从不同角度反映了数列的特点.然后引导学生阅读教材中的实例模型，指导学生写出这3个模型的数列：

①22,22.5,23,23.5,24,24.5，…;

②2,9,16,23,30;

③89,83,77,71,65,59,53,47.

这是由日常生活中经常遇到的实际问题中得到的数列.观察这3个数列发现，每个数列中相邻的后项减前项都等于同一个常数.当然这里我们是拿后项减前项，其实前项减后项也是一个常数，为了后面内容的学习方便，这个顺序不能颠倒.

至此学生会认识到，具备这个特征的数列模型在生活中有很多，如上节提到的堆放钢管的数列为100,99,98,97，…，某体育场一角的看台的座位排列：第一排15个座位，向后依次为17,19,21,23，…，等等.

以上这些数列的共同特征是：从第2项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差).这就是我们这节课要研究的主要内容.教师先让学生试着用自己的语言描述其特征，然后给出等差数列的定义.

等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

教师引导学生理解这个定义：这里公差d一定是由后项减前项所得，若前项减后项则为-d，这就是为什么前面3个模型的分析中总是说后项减前项而不说前项减后项的原因.显然3个模型数列都是等差数列，公差依次为0.5,7，-6.

教师进一步引导学生分析等差数列定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确、深入地理解和掌握概念的重要条件，这是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)

这里“从第二项起”和“同一个常数”是等差数列定义中的核心部分.用递推公式可以这样描述等差数列的定义：对于数列{an}，若an-an-1=d(d是与n无关的常数或字母)，n≥2，n∈N_，则此数列是等差数列.这是证明一个数列是等差数列的常用方法.点拨学生注意这里的“n≥2”，若n包括1，则数列是从第1项向前减，显然无从减起.若n从3开始，则会漏掉a2-a1的差，这也不符合定义，如数列1,3 ,4,5,6，显然不是等差数列，因此要从意义上深刻理解等差数列的定义.

教师进一步引导学生探究数列①②③的通项公式，学生根据已经学过的数列通项公式的定义，观察每一数列的项与序号之间的关系会很快写出：①an=21.5+0.5n，②an=7n-5，③an=-6n+95.

以上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性.教师点拨学生探求，对任意等差数列a1，a2，a3，…，an，…，根据等差数列的定义都有：

a2-a1=d，

a3-a2=d，

a4-a3=d，

……

所以a2=a1+d，

a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d，

a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d.

学生很容易猜想出等差数列的通项公式an= a1+(n-1)d后，教师适时点明：我们归纳出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用到后面的其他知识.

教师可就此进一步点拨学生：数学猜想在数学领域中是很重要的思考方法，后面还要专门探究它.数学中有很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想常被称为数学皇冠上的明珠，对于它的证明中国已处于世界领先地位.很多著名的数学结论都是从猜想开始的.但要注意，数学猜想仅是一种数学想象，在未得到严格的证明前不能当作正确的结论来用.这里我们归纳猜想的等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d是经过严格证明了的，只是现在我们知识受限，无法证明，所以说我们先承认它.鼓励学生只要创新探究，独立思考，也会有自己的新奇发现.

教师根据教学实际情况，也可引导学生得出等差数列通项公式的其他推导方法.例如：

方法一(叠加法)：∵{an}是等差数列，

∴an-an-1=d，

an-1-an-2=d，

an-2-an-3=d，

……

a2-a1=d.

两边分别相加得an-a1=(n-1)d，

所以an=a1+(n-1)d，

方法二(迭代法)：{an}是等差数列，则有

an=an-1+d，

=an-2+d+d

=an-2+2d

=an-3+d+2d

=an-3+3d

……

=a1+(n-1)d.

所以an=a1+(n-1)d.

讨论结果：

(1)～(4)略.

(5)如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.其中关键词为“从第2项起”、“等于同一个常数”.

(6)三个数列都有通项公式，它们分别是：an=21.5+0.5n，an=7n-5，an=-6n+95.

(7)可用叠加法和迭代法推导等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d.

应用示例

例1(教材本节例2)

活动：本例的目的是让学生熟悉公式，使学生从中体会公式与方程之间的联系.教学时要使学生认识到等差数列的通项公式其实就是一个关于an、a1、d、n(独立的量有3个)的方程，以便于学生能把方程思想和通项公式相结合，解决等差数列问题.本例中的(2)是判断一个数是否是某等差数列的项.这个问题可以看作(1)的逆问题.需要向学生说明的是，求出的项数为正整数，所给数就是已知数列中的项，否则，就不是已知数列中的项.本例可由学生自己独立解决，也可做板演之用，教师只是对有困难的学生给予恰当点拨.

点评：在数列中，要让学生明确解方程的思路.

变式训练

(1)100是不是等差数列2,9,16，…的项，如果是，是第几项?如果不是，请说明理由;

(2)-20是不是等差数列0，-312，-7，…的项，如果是，是第几项?如果不是，请说明理由.

解：(1)由题意，知a1=2，d=9-2=7.因而通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5.

令7n-5=100，解得n=15，所以100是这个数列的第15项.

(2)由题意可知a1=0，d=-312，因而此数列的通项公式为an=-72n+72.

令-72n+72=-20，解得n=477.因为-72n+72=-20没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.

例2一个等差数列首项为125，公差d>0，从第10项起每一项都比1大，求公差d的范围.

活动：教师引导学生观察题意，思考条件“从第10项起每一项都比1大”的含义，应转化为什么数学条件?是否仅是a10>1呢?d>0的条件又说明什么?教师可让学生合作探究，放手让学生讨论，不要怕学生出错.

解：∵d>0，设等差数列为{an}，则有a1

由题意，得1

即a10>1a9≤1?125+10-1d>1，125+9-1d≤1，

解得875

点评：本例学生很容易解得不完整，解完此题后让学生反思解题过程.本题主要训练学生灵活运用等差数列的通项公式以及对公差的深刻理解.

变式训练

在数列{an}中，已知a1=1，1an+1=1an+13(n∈N_)，求a50.

解：已知条件可化为1an+1-1an=13(n∈N_)，

由等差数列的定义，知{1an}是首项为1a1=1，公差为d=13的等差数列，

∴1a50=1+(50-1)×13=523.

∴a50=352.

例3已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列?若是，首项与公差分别是什么?

活动：要判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，根据an-an-1(n>1)是不是一个与n无关的常数.

这实际上给出了判断一个数列是否是等差数列的一个方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列.因而把等差数列通项公式与一次函数联系了起来.本例设置的“旁注”，目的是为了揭示等差数列通项公式的结构特征：对于通项公式形如an=pn+q的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.因此可以深化学生对等差数列的理解，同时还可以从多个角度去看待等差数列的通项公式，有利于以后更好地把握等差数列的性质.在教学时教师要根据学生解答的情况，点明这点.

解：当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕

an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p为常数，

所以{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.

点评：(1)若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….

(2)若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.

(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.

变式训练

已知数列的通项公式an=6n-1.问这个数列是等差数列吗?若是等差数列，其首项与公差分别是多少?

解：∵an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6(常数)，

∴{an}是等差数列，其首项为a1=6×1-1=5，公差为6.

点评：该训练题的目的是进一步熟悉例3的内容.需要向学生强调，若用an-an-1=d，则必须强调n≥2这一前提条件，若用an+1-an=d，则可不对n进行限制.

知能训练

1.(1)求等差数列8,5,2，…的第20项;

(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项?如果是，是第几项?

2.求等差数列3,7,11，…的第4项与第10项.

答案：

1.解：(1)由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.

(2)由a1=-5，d=-9-(-5)=-4，得这个数列的通项公式为

an=-5-4(n-1)=-4n-1.

由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-4n-1成立.解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.

2.解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.

∴该数列的通项公式为an=3+(n-1)×4，

即an=4n-1(n≥1，n∈N_).

∴a4=4×4-1=15，a10=4×10-1=39.

课堂小结

1.先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识?要注意的是什么?都用到了哪些数学思想方法?你在这节课里最大的收获是什么?

2.教师进一步集中强调，本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式，等差数列的基本性质是“等差”.这是我们研究有关等差数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本方法，要注意这里的“等差”是对任意相邻两项来说的.

作业

习题2—2 A组1、2.

设计感想

本教案设计突出了重点概念的教学，突出了等差数列的定义和对通项公式的认识与应用.等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性也是本质属性的准确反映和高度概括，准确地把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具.因为等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，因此通过函数图象研究数列性质成为可能.

本教案设计突出了教法学法与新课程理念的接轨，引导综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，这是一种非常重要的学习方法;在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想.

本教案设计突出了发散思维的训练.通过一题多解，多题一解的训练，比较优劣，换个角度观察问题，这是数学发散思维的基本素质.只有在学习过程中有意识地将知识迁移、组合、融合，激发好奇心，体验多样性，学懂学透，融会贯通，创新思维才能与日俱增.

(设计者：周长峰)

第2课时

导入新课

思路1.(复习导入)上一节课我们研究了数列中的一个重要概念——等差数列的定义，让学生回忆这个定义，并举出几个等差数列的例子.接着教师引导学生探究自己所举等差数列例子中项与项之间有什么新的发现?比如，在同一个等差数列中，与某一项“距离”相等的两项的和会是什么呢?由此展开新课.

思路2.(直接导入)教师先引导学生回顾上一节所学的内容：等差数列的定义以及等差数列的通项，之后直接提出等差中项的概念让学生探究，由此而展开新课.

推进新课

新知探究

提出问题

1请学生回忆上节课学习的等差数列的定义，如何证明一个数列是等差数列?2等差数列的通项公式是怎样得出来的?它与一次函数有什么关系?3什么是等差中项?怎样求等差中项?4根据等差中项的概念，你能探究出哪些重要结论呢?

活动：借助课件，教师引导学生先回忆等差数列的定义，一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an-an-1=d(n≥2，n∈N_)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示).

再一起回顾通项公式，等差数列{an}有两种通项公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常数).

由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的方法：①d=an-an-1;②d=an-a1n-1;③d=an-amn-m.

对于通项公式的探究，我们用归纳、猜想得出了通项公式，后又用叠加法及迭代法推导了通项公式.

教师指导学生阅读课本等差中项的概念，引导学生探究：如果我们在数a与数b中间插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数列，那么数A应满足什么样的条件呢?

由定义可得A-a=b-A，即A=a+b2.

反之，若A=a+b2，则A-a=b-A，

由此可以得A=a+b2?a，A，b成等差数列.

由此我们得出等差中项的概念：如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项.如果A是x和y的等差中项，则A=x+y2.

根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.

如数列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项.

9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.

等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列?2A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列.

根据等差中项的概念我们来探究这样一个问题：如上面的数列1,3,5,7,9,11,13，…中，我们知道2a5=a3+a7=a1+a9=a2+a8，那么你能发现什么规律呢?再验证一下，结果有a2+a10=a3+a9=a4+a8=a5+a7=2a6. 由此我们猜想这个规律可推广到一般，即在等差数列{an}中，若m、n、p、q∈N_且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq，这个猜想与上节的等差数列的通项公式的猜想方法是一样的，是我们归纳出来的，没有严格证明，不能说它就一定是正确的.让学生进一步探究怎样证明它的正确性呢?只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d，

ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.

因为我们有m+ n=p+q，所以上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.

由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{an}的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q，则上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.同样地，我们还有：若m+n=2p，则am+an=2ap.这也是等差中项的内容.

我们自然会想到由am+an=ap+aq能不能推出m+n=p+q呢?举个反例，这里举个常数列就可以说明结论不成立.

这说明在等差数列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分条件.由此我们还进一步推出an+1-an=d=an+2-an+1，即2an+1=an+an+2，这也是证明等差数列的常用方法.

同时我们通过这个探究过程明白：若要说明一个猜想正确，必须经过严格的证明，若要说明一个猜想不正确，仅举一个反例即可.

讨论结果：(1)(2)略.

(3)如果三个数x，A，y成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A=x+y2.

(4)得到两个重要结论：①在数列{an}中，若2an+1=an+an+2(n∈N_)，则{an}是等差数列.

②在等差数列中，若m+n=p+q(m、n、p、q∈N_)，则am+an=ap+aq.

应用示例

例1在等差数列{an}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.

活动：本例是一道基本量运算题，运用方程思想可由已知条件求出a1，d，进而求出通项公式an，则a3，a9不难求出.应要求学生掌握这种解题方法，理解数列与方程的关系.

解：由已知，得a1+a1+5d=9，a1+3d=7，解得a1=-8，d=5.

∴通项公式为an=a1+(n-1)d=-8+5(n-1)=5n-13.

∴a3=2，a9=32.

点评：本例解法是数列问题的基本运算，应要求学生熟练掌握，当然对学有余力的同学来说，教师可引导探究一些其他解法，如a1+a6=a4+a3=9.

∴a3=9-a4=9-7=2.

由此可得d=a4-a3=7-2=5

∴a9=a4+5d=32.

点评：这种解法巧妙，技巧性大，需对等差数列的定义及重要结论有深刻的理解.

变式训练

已知数列{an}对任意的p，q∈N_满足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于( )

A.-165 B.-33 C.-30 D.-21

答案：C

解析：依题意知，a2=a1+a1=2a1，a1=12a2=-3，an+1=an+a1=an-3，

可知数列{an}是等差数列，a10= a1+9d=-3-9×3=-30.

例2(教材本节例5)

活动：本例是等差数列通项公式的灵活运用.正如边注所说，相当于已知直线过点(1,17)，斜率为-0.6，求直线在x轴下方的点的横坐标的取值范围.可放手让学生完成本例.

变式训练

等差数列{an}的公差d<0，且a2•a4=12，a2+a4=8，则数列{an}的通项公式是… ( )

A.an=2n-2(n∈N_) B.an=2n+4(n∈N_)

C.an=-2n+12(n∈N_) D.an=-2n+10( n∈N_)

答案：D

解析：由题意知a2•a4=12a2+a4=8d<0?a2=6a4=2?a1=8，d=-2，

所以由an=a1+(n-1)d，得an=8+(n-1)(-2)=-2n+10.

例3 已知a、b、c成等差数列，那么a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差数列?

活动：教师引导学生思考a、b、c成等差数列可转化为什么形式的等式?本题的关键是考察在a+c=2b的条件下，是否有以下结果：a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c).教师可让学生自己探究完成，必要时给予恰当的点拨.

解：∵a、b、c成等差数列，

∴a+c=2b.

又∵a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)

=a2b+a2c+ac2+bc2-2b2c-2ab2

=(a2b-2ab2)+(bc2-2b2c)+(a2c+ac2)

=ab(a-2b)+bc(c-2b)+ac(a+c)

=-abc-abc+2abc

=0，

∴a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c).

∴a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)成等差数列.

点评：如果a、b、c成等差数列，常转化为a+c=2b的形式，反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证a+c=2b.有时还需运用一些等价变形技巧，才能获得成功.

例4在-1与7之间顺次插入三个数a、b、c，使这五个数成等差数列，求此数列.

活动：教师引导学生从不同角度加以考虑：一是利用等差数列的定义与通项;一是利用等差中项加以处理.让学生自己去探究，教师一般不要给予提示，对个别探究有困难的学生可适时地给以点拨、提示.

解：(方法一)设这些数组成的等差数列为{an}，由已知，a1=-1，a5=7，

∴7=-1+(5-1)d，即d=2.

∴所求的数列为-1,1,3,5,7.

(方法二)∵-1，a，b，c,7成等差数列，

∴b是-1,7的等差中项，a是-1，b的等差中项，c是b,7的等差中项，即b=-1+72=3，a=-1+b2=1，c=b+72=5.

∴所求数列为-1,1,3,5,7.

点评：通过此题可以看出，应多角度思考，多角度观察，正像前面所提出的那样，尽量换个角度看问题，以开阔视野，培养自己求异发散的思维能力.

变式训练

数列{an}中，a3=2，a7=1，且数列{1an+1}是等差数列，则a11等于( )

A.-25 B.12 C.23 D.5

答案：B

解析：设bn=1an+1，则b3=13，b7=12，

因为{1an+1}是等差数列，可求得公差d=124，

所以b11=b7+(11-7)d=23，即a11=1b11-1=12.

例5某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车前往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费?

活动：教师引导学生从实际问题中建立数学模型.在这里也就是建立等差数列的数学模型.引导学生找出首项和公差，利用等差数列通项公式的知识解决实际问题.

解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费.

令a1=11.2表示4 km处的车费，公差d=1.2，那么，当出租车行至14 km处时，n=11，此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).

答：需要支付车费23.2元.

点评：本例中令a1=11.2，这点要引起学生注意，这样一来，前往14 km处的目的地就相当于n=11，这点极容易弄错.

知能训练

1.已知等差数列{an}中，a1+a3+a5+a7=4，则a2+a4+a6等于( )

A.3 B.4 C.5 D.6

2.在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于( )

A.40 B.42 C.43 D.45

答案：

1.解析：由a1+a3+a5+a7=4，知4a4=4，即a4=1.

∴a2+a4+a6=3a4=3.

答案：A

2.解析：∵a2+a3=13，

∴2a1+3d=13.

∵a1=2，∴d=3.

而a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.

答案：B

课堂小结

1.先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识?要注意的是什么?都用到了哪些数学思想方法?你是如何通过旧知识来获取新知识的?你在这节课里最大的收获是什么?

2.教师进一步画龙点睛，本节课我们在上节课的基础上又推出了两个很重要的结论，一个是等差数列的证明方法，一个是等差数列的性质，要注意这些重要结论的灵活运用.

作业

课本习题2—2 A组5、6、7.

设计感想

本教案是根据课程标准、学生的认知特点而设计的，设计的活动主要都是学生自己完成的.特别是上节课通项公式的归纳、猜想给学生留下了很深的记忆;本节课只是继续对等差数列进行这方面的探究.

本教案除了安排教材上的两个例题外，还针对性地选择了既具有典型性又具有启发性的几道例题及变式训练.为了学生的课外进一步探究，在备课资料中摘选了部分备用例题及备用习题，目的是让学生对等差数列的有关知识作进一步拓展探究，以开阔学生的视野.

本教案的设计意图还在于，加强数列与函数的联系.这不仅有利于知识的融会贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步，让学生体会到数学是有趣的，探究是愉悦的，归纳猜想是令人振奋的，借此激发学生的数学学习兴趣.

备课资料

一、备用例题

【例1】梯子最高一级宽33 cm，最低一级宽为110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.

解：设{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知a1=33，a12=110，n=12，所以a12=a1+(12-1)d，即得110=33+11d，解之，得d=7.

因此a2=33+7=40，a3=40+7=47，a4=54，a5=61，a6=68，a7=75，a8=82，a9=89，a10=96，a11=10 3.

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.

【例2】已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b+ca，c+ab，a+bc也成等差数列.

证明：因为1a，1b，1c成等差数列，所以2b=1a+1c，化简得2ac=b(a+c)，所以有

b+ca+a+bc=bc+c2+a2+abac=ba+c+a2+c2ac=2ac+a2+c2ac=a+c2ac=a+c2ba+c2=2•a+cb.

因而b+ca，c+ab，a+bc也成等差数列.

【例3】设数列{an}{bn}都是等差数列，且a1=35，b1=75，a2+b2=100，求数列{an+bn}的第37项的值.

分析：由数列{an}{bn}都是等差数列，可得{an+bn}是等差数列，故可求出数列{an+bn}的公差和通项.

解：设数列{an}{bn}的公差分别为d1，d2，则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2为常数，所以可得{an+bn}是等差数列.设其公差为d，则公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(35+75)=-10.因而a37+b37=110-10×(37-1)=-250.

所以数列{an+bn}的第37项的值为-250.

点评：若一个数列未告诉我们是等差数列时，应先由定义法判定它是等差数列后，方可使用通项公式an=a1+(n-1)d.但对客观试题则可以直接运用某些重要结论，直接判定数列是否为等差数列.

二、备用习题

1.已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是( )

A.15 B.30 C.31 D.64

2.在数列{an}中3an+1=3an+2(n∈N_)，且a2+a4+a7+a9=20，则a10为( )

A.5 B.7 C.8 D.10

3.在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，则3a9-a11的值为( )

A.6 B.12 C.24 D.48

4.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m-n|等于( )

A.1 B.34 C.12 D.38

5.在等差数列{an}中，a5=3，a6=-2，则a4+a5+…+a10=__________.

6.已知a、b、c成等差数列，且a、b、c三数之和为15，若a2，b2+9，c2也成等差数列，求a、b、c.

7.设1a+b，1a+c，1b+c成等差数列，求证：a2，b2，c2也成等差数列.

8.成等差数列的四个数之和为2 6，第二数与第三数之积为40，求这四个数.

9.有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所买各台单价均减少20元，但每台最少不低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商场购买花费较少?

参考答案：

1.A 方法一：∵a7+a9=a4+a12，

∴a12=15.

方法二：∵数列{an}成等差数列，

∴a7+a9=2a8.

∴a8=8.

又∵a4，a8，a12成等差数列，

∴公差d=a8-a4=7.

∴a12=a8+d=8+7=15.

2.C 由已知得an+1-an=23，

∴{an}是首项为a1，公差d=23的等差数列.

a2+a4+a7+a9=4a1+18d=20，解得a1=2，

∴a10=2+23(10-1)=8.

3.D ∵a1+a15=2a8，

∴a1+3a8+a15=5a8=120.

∴a8=24.

而3a9-a11=3(a1+8d)-(a1+10d)=2a1+14d=2(a1+7d)=2a8=48.

4.C 设a1=14，a2=14+d，a3=14+2d，a4=14+3d，

而方程x2-2x+m=0中的两根之和为2，方程x2-2x+n=0中的两根之和也是2，

∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4.

∴d=12.

∴a1=14，a4=74是一个方程的两个根，a2=34，a3=54是另一个方程的两个根.

∴716，1516为m或n.

∴|m-n|=12.

5.-49

6.解：由已知得2b=a+c，a+b+c=15，2b2+9=a2+c2，

解之，得a=8，b=5，c=2，或a=2，b=5，c=8.

7.证明：由已知得1a+b+1b+c=2•1a+c，化简得a2+c2=2b2，

∴a2，b2，c2成等差数列.

8.解：设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，

则由题设得a-3d+a-d+a+d+a+3d=26，a-da+d=40，

解得a=132，d=32，或a=132，d=-32.

∴所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.

9.解：设某单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时，售价依台数n成等差数列{an}.

an=780+(n-1)(-20)=800-20n，解不等式an≥440,800-20n≥440，得n≤18.

当购买台数小于18时，每台售价为800-2n元，在台数大于或等于18时，每台售价440元.

到乙商场购买，每台售价为800×75%=600(元)，作差(800-20n)n-600n=20n(10-n)，

∴当n<10时，600n<(800-20n)n;

当n=10时，600n=(800-20n)n;

当10

当n>18时，440n<600n.

篇14：等差数列

教材：（一）目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。过程：

一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，…… 3，0，-3，-6，…… ，，，，…… 12，9，6，3，…… 特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”

二、得出等差数列的定义：注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。1．名称：首项公差 2．若则该数列为常数列3．寻求等差数列的通项公式：由此归纳为当时（成立）注意: 1° 等差数列的通项公式是关于的一次函数 2° 如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成ap 证明：若它是以为首项，为公差的ap。 3° 公式中若则数列递增，则数列递减 4° 图象：一条直线上的一群孤立点三、例题：注意在中，，，四数中已知三个可以求出另一个。例一（见教材）例二（见教材）

四、关于等差中项：如果成等差数列则证明：设公差为，则 ∴ 例四《教学与测试》p77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数使这五个数成ap，求此数列。五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项六、作业：

篇15：等差数列

教学目标

1.理解的概念，掌握的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.

（1）了解公差的概念，明确一个数列是的限定条件，能根据定义判断一个数列是，了解等差中项的概念；

（2）正确认识使用的各种表示法，能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项；

（3）能通过通项公式与图像认识的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

2.通过的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过通项公式的运用，渗透方程思想.

3.通过概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对的研究，使学生明确与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.

关于的教学建议

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用，是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.

②通过不完全归纳法得出的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外，出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.

（3）教法建议

①本节内容分为两课时，一节为的定义与表示法，一节为通项公式的应用．

②定义的引出可先给出几组，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．

③的定义归纳出来后，由学生举一些的例子，以此让学生思考确定一个的条件．

④由学生根据一般数列的表示法尝试表示，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项可看作项数的一次型（）函数，这与其图像的形状相对应．

⑤有穷的末项与通项是有区别的，数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式，有穷的项数未必是，即其末项未必是该数列的第项，在教学中一定要强调这一点．

⑥前项和的公式推导离不开的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣．

⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境．

通项公式的教学设计示例

教学目标

1.通过教与学的互动，使学生加深对通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；

2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；

3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.

教学重点，难点

教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用．

教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.

教学方法

研探式.

教学过程

一.复习提问

前一节课我们学习了的概念、表示法，请同学们回忆的定义，其表示法都有哪些？

的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.

二.主体设计

通项公式反映了项与项数之间的函数关系，当的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知求）.找学生试举一例如：“已知中，首项，公差，求 .”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.

1.方程思想的运用

（1）已知中，首项，公差，则－397是该数列的第______项.

（2）已知中，首项，则公差

（3）已知中，公差，则首项

这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量，在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.

2.基本量方法的使用

（1）已知中，，求的值.

（2）已知中，，求 .

若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于和的二元方程组，所以这些是确定的，由和写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于和的二元方程组，以求得和，和称作基本量.

教师提出新的问题，已知的一个条件（等式），能否确定一个？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于和的二元方程，这是一个和的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.

如：已知中， …

由条件可得即，可知，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题

（3）已知中，求；；；；….

类似的还有

（4）已知中，求的值.

以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出

3.研究的单调性

，考察随项数的变化规律.着重考虑的情况. 此时是的一次函数，其单调性取决于的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.

4.研究项的符号

这是为研究前项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如

（1）已知数列的通项公式为，问数列从第几项开始小于0？

（2）从第________项起以后每项均为负数.

三.小结

1. 用方程思想认识通项公式；

2. 用函数思想解决问题.

四.板书设计

通项公式 1. 方程思想的运用

2. 基本量方法的使用

3. 研究的单调性

4. 研究项的符号

篇16：等差数列

教学目标 1．明确等差中的概念． 2．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式 3．培养学生的应用意识．教学重点等差数列的性质的理解及应用教学难点灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题教学方法讲练相结合教具准备投影片2张(内容见下面) 教学过程 (i)复习回顾师：首先回忆一下上节课所学主要内容： 1．等差数列定义：（n≥2） 2．等差数列通项公式：（n≥2）推导公式：（ⅱ）讲授新课师：先来看这样两个例题（放投影片1）例1：在等差数列中，已知，，求首项与公差例2：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。1．解：由题意可知解之得即这个数列的首项是-2，公差是3。或由题意可得：即：31=10+7d 可求得d=3，再由求得1=-2 2．解设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知： a1=33, a12=110，n=12 ∴ ,即时10=33+11 解之得：因此，答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm. 师：[提问]如果在与中间插入一个数a，使，a，成等差数列数列，那么a应满足什么条件？生：由定义得a- = -a 即：反之，若，则a- = -a 师：由此可可得：成等差数列，若，a，成等差数列，那么a叫做与的等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是否和风细雨的等差中项，1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。看来，从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则，生：结合例子，熟练掌握此性质师：再来看例3。（放投影片2）生：思考例题例3：已知数列的通项公式为：分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。解：取数列中的任意相邻两项与（n≥2），则：它是一个与n无关的常数，所以是等差数列。在中令n=1，得：，所以这个等差数列的首项是p=q，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：，其中、是常数。（ⅲ）课堂练习生：（口答）（书面练习）师：给出答案生：自评练习（ⅳ）课时小结师：本节主要概念：等差中项另外，注意灵活应用等差数列定义及通项公式解决相关问题。（ⅴ）课后作业一、课本二、1．预习内容 2．预习提纲：①等差数列的前n项和公式； ②等差数列前n项和的简单应用。教学后记

篇17：等差数列

教学目标

1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.

（1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；

（2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；

（3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想.

3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.

篇18：等差数列

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.

②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外，出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.

（3）教法建议

①本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．

②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．

③等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．

④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项可看作项数的一次型（）函数，这与其图像的形状相对应．

⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是，即其末项未必是该数列的第项，在教学中一定要强调这一点．

⑥等差数列前项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣．

⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境．

等差数列通项公式的教学设计示例

教学目标

1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；

2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；

3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.

教学重点，难点

教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用．

教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.

教学方法

研探式.

教学过程

一.复习提问

前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？

等差数列的'概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.

二.主体设计

通项公式反映了项与项数之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知求）.找学生试举一例如：“已知等差数列中，首项，公差，求 .”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.

1.方程思想的运用

（1）已知等差数列中，首项，公差，则－397是该数列的第______项.

（2）已知等差数列中，首项，则公差

（3）已知等差数列中，公差，则首项

这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量，在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.

2.基本量方法的使用

（1）已知等差数列中，，求的值.

（2）已知等差数列中，，求 .

若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于和的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由和写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于和的二元方程组，以求得和，和称作基本量.

教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于和的二元方程，这是一个和的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.

如：已知等差数列中， …

（3）已知等差数列中，求；；；；….