一类几何最值问题的解法(Ⅰ)(（精选7篇））由网友“饼饼的奇幻漂流”投稿提供，下面给大家分享一类几何最值问题的解法(Ⅰ)，欢迎阅读!
篇1：一类几何最值问题的解法(Ⅰ)
一类几何最值问题的解法(Ⅰ)
介绍了一类几何问题取得最值的必要条件并通过实例说明其应用.
作 者：苏化明 潘杰 作者单位：合肥工业大学,数学系,合肥,230009 刊 名：大学数学 PKU英文刊名：COLLEGE MATHEMATICS 年，卷(期)： 25(2) 分类号：O174.1 关键词：条件极值 必要条件 点 平面 曲线 曲面篇2：例谈创意丰富的几何最值问题
例谈创意丰富的几何最值问题
几何最值问题近年来屡屡出现在各地的中考数学试卷中,此类问题虽然只涉及平面几何中最基本的'知识,但试题常以各种几何图形或平面直角坐标系为载体,与其他知识综合,形成背景新颖、创意独特的一类问题,考查学生在图形的运动变化中探究几何元素之间位置关系和数量关系的能力,体现新课程对学生几何探究、推理能力的要求.笔者试撷取近两年中考试题中的几例,以飨读者.
作 者：余立峰 作者单位：四川省仁寿县教育局教研室 刊 名：中国数学教育（初中版） 英文刊名：ZHONGGUO SHUXUE JIAOYU 年，卷(期)：2009 “”(11) 分类号：G63 关键词：篇3：再探一类矩形面积最大值问题的初等解法
再探一类矩形面积最大值问题的初等解法
<美国数学月刊>1月问题11057[1]为: 设x,y,z为实数,矩形ABCD内部有一点P,满足PA=x,PB=y,PC=z,求矩形面积的最大值. 文[2]试图给出上述问题的解答,但解答有误.郭要红老师等在文[3]中指出了文[2]错误的原因,并给出了上述问题的.一个微分解法.
作 者：李倩 作者单位：中国计量学院05工商1班,310034 刊 名：数学通报 PKU英文刊名：BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 48(11) 分类号：O1 关键词：篇4：抛物线的十个最值问题
关于抛物线的十个最值问题
本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下: 定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短. 证明:不妨设抛物线的极坐标方程为 ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π (k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕. 定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短. 证明:设抛物线极坐标方程为 ρ= ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有 │AB│=ρ1+ρ2 = + = ≥ 2p =通径长, 其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕. 定理3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则 │MA│m in = 证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕. 定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点, F是焦点,M是抛物线上的动点,则 y (│MA│+│MF│)min =a+p/2. Q M A(a,b) 证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知 O F x (│MA│+│MF│)min =│AQ│ = a-(-p/2)=a+p/2.证毕. 图1 定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点M,则三角形ABM的面积的最小值为p2. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由A、F、B三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2・(y2-y1)……………(1) 于是利用(1)式由两切线方程 y AM: y1y=p(x+x1), A BM: y2y=p(x+x2), M F x 易得M的坐标(x,y)适合 : B ∵ kMF・kAF=-1, ∴MF⊥AB,即│MF│是△MAB的AB边上的高. 图2 ∵ │MF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p, 又由定理2知│AB│≥2p(通径长), ∴ S△MAB=1/2・│AB│・│MF│≥1/2・2p・p=p2, 因其中等号当且仅当AB⊥x轴时成立,故三角形MAB的最小值为p2.证毕. 定理6.过抛物线y2=2px的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB,则三角形OAB的面积的最小值为4p2. y 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由OA⊥OB得 A x1x2+y1y2=0 ……………………………………(1) O x 将y12=2px1, y22=2px2代入(1)立得: x1x2=4p2…………(2) 于是 B (S△OAB)2 =1/4・│OA│2・│OB│2 &nb
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sp; 图3 =1/4・(x12+y12)・(x22+y22) =1/4・(x12+2px1)・(x22+2px2) =1/4・[(x1x2)2+2px1x2 (x1+x2)+4p2x1x2] ≥1/4・[(x1x2)2+2px1x2 (2√x1x2)+4p2x1x2]………………………………………(3) 将(2)式代入(3)则得 (S△OAB)2≥16p4,从而S△OAB≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形OAB的面积的最小值为4p2。证毕. 定理7.抛物线 y2=2px的内接等腰直角三角形的面积的最小值为4p2. 证明:设Rt△ABC内接于抛物线 y2=2px,点C为直角顶点,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),根据抛物线的对称性以及其开口方向,不妨设 y1＞0,y2＜y3≤0,并记直线CA的斜率为k,则由 y3-y1=k(x3-x1)=k(y32/2p －y12/2p) 及 y y3-y2=-1/k・(x3-x2)=-1/k・(y32/2p－y22/2p) A 可得 y1 =2p/k－y3 及 y2=-2pk-y3………………(1) O x 又由 │AC│=│BC│有 C B (x1-x3)2+(y1-y3)2=(x3-x2)2+(y3-y2)2 …………(2) 图4 将x1=y12/2p,x2=y22/2p,x3=y32/2p及(1)代入(2)可得 y3= …………………………(3) 从而据(1)、(3)可得 y1-y3= ………………………………………………………(4) 于是△ABC的面积 S=1/2・│AC│2 =1/2・[(x1-x3)2+(y1-y3)2]= ・ ・(y1-y3)2 = 2p2 ・ ・( )2 =2p2・ ・ ≥2p2・ ・ =4p2. 因当k=1且y3=0时上式等号成立,故等腰Rt△ABC面积的最小值为4p2.证毕. 定理8.设AB是抛物线的焦点弦, 准线与抛物线对称轴的交点为M, 则∠AMB的最大值 为π/2. 证明:如图5所示, 设A1、B1分别是A、B在准线L上的 y 射影, F是焦点, 连A1F和B1F, 则知 A A (1)当AB⊥MF时, 显然有∠AMB＝π/2; M F X (2)当AB与MF不垂直时, 由│AA1│＞│A1M│知 B1 B ∠AMA1＞∠A1AM＝π/2－∠AMA1, 图5 ∴ ∠AMA1＞π/4; 同理 ∠BMB1＞π/4, 故有∠AMB＜π/2. 综合(1)、(2), 定理8获证. 定理9.设AB是抛物线 y＝a x2 (a＞0) 的`长为定长m的动弦, 则 Ⅰ.当m≥1/a (通径长)时, AB的中点M到x轴的距离的最小值为（2ma-1)/4a ; Ⅱ.当m＜1/a (通径长)时, AB的中点M到x轴的距离的最小值为 am2/4. 证明:设M(x0,y0), 将直线AB的参数方程 y (其中t为参数,倾斜角α≠π/2) A 代入y＝ax2 并整理得 M a(cosα)2・t2+(2ax0cosα-sinα)・t+(ax02-y0)＝0, B 故由韦达定理和参数 t的几何意义以及│AB│＝m 立得 0 X t1+t2＝－(2ax0cosα-sinα)/a(cosα)2 ＝0………① 图6 t1t2＝(ax02-y0)/a(cosα)2 ＝－(m/2)2 ……………② 由①解出x0并代入②整理上一页 [1] [2] [3] 下一页
得 y0＝ (secα)2＋ (cosα)2－ ……③ 对③右边前两项利用基本不等式则得 y0≥2・ － ＝（2ma-1)/4a. 于是,令 (secα)2 ＝ (cosα)2, 得(cosα)2＝ . 因此, 当am≥1时,(y0)min＝（2ma-1)/4a ; 当0＜am＜1时, 记(cosα)2＝x , 则③式化为关于x 的函数式 y0＝f(x)＝ ・ ＋ ・x－ (0＜x≤1). 易证此函数是减函数, 故此时 (y0)min＝f(1)＝ .证毕. 定理10. 设AB是抛物线 y2＝2px的焦点弦, O为坐标原点, 则三角形OAB的面积的最小值为 p2/2 . y 证明:(1)当AB⊥x轴时, 显然有 SΔAOB＝p2/2 ; A (2)当AB不垂直x轴时, 设AB: y＝k(x-p/2), 代 O F x 入 y2＝2px并整理得 k2x2-(pk2+2p)x+k2p2/4=0. 于是 B 设A(x1,y1),B(x2,y2),则由弦长公式和韦达定理得: 图7 │AB│＝ (1+k2 )[(x1+x2)2- 4x1x2] ＝ ＝ . 又顶点O到弦AB的距离 d＝ . 故此时 SΔAOB＝ │AB│・d＝ ・ ・ ＝ ・ ＞ . 综合(1)、(2), 定理10获证 .上一页 [1] [2] [3]
篇5：数学最值问题训练题
数学最值问题训练题
1.在1、4、7、10、13、16、19、22、25、28分成两组，每组五个数，对两组的数分别求和，再将这两个和求差(以大减小)，问所求的差最小是多少?
2.9个各不相同的正整数的和是220，其中最小的五个正整数的和的最大值是多少?
1.解答，这10个数的和是145，而且每个数除以3都余1，所以无论怎样分组，这两组数的和都是除以3余2。由于145是奇数，所以这两组和不可能相等，至少要相差3，即145=74+71。
由于4+7+13+22+28=74，1+10+16+19+25=71，所以相差3的情况是可能的，即所求的差最小是3。
2.解答：为了使最小的5个正整数尽量大，应该使这9个不同的.数尽量接近。因为220=20+21+……+28+4，所以使这9个数最接近的情况是220=20+21+22+23+24+26+27+28+29。
20+21+22+23+24=110，所以其中最小的五个正整数的和的最大值是110。
篇6：抛物线的十个最值问题
关于抛物线的十个最值问题
本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下:
定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.
证明:不妨设抛物线的'极坐标方程为 ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π (k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.
定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.
证明:设抛物线极坐标方程为 ρ= ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有
│AB│=ρ1+ρ2 = + = ≥ 2p =通径长,
其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕.
定理3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则
│MA│m in =
证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.
定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点,
F是焦点,M是抛物线上的动点,则
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篇7：一类广义凸集值映射优化问题弱有效解的最优性条件
一类广义凸集值映射优化问题弱有效解的最优性条件
在拓扑向量空间中定义了(u,0V)-广义次似凸集值映射.在相对内部的条件下,利用凸集分离定理,建立了此映射的'择一定理.利用此择一定理,获得了带广义等式和不等式约束的优化问题的弱有效解的最优性条件.
作 者：王其林 WANG Qi-lin 作者单位：重庆交通大学,理学院,重庆,400074;重庆大学,数理学院,重庆,400030 刊 名：四川师范大学学报（自然科学版） ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SICHUAN NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)：2007 30(5) 分类号：O224 关键词：优化问题 (u,0V)-广义次似凸集值映射 相对内部 择一定理 弱有效解 最优性条件
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