不等式的证明数学教案（合集20篇）由网友“不知少佐”投稿提供，以下是小编为大家整理后的不等式的证明数学教案，欢迎阅读与收藏。
篇1：不等式的证明数学教案
教学目标
1．掌握分析法证明不等式；
2．理解分析法实质——执果索因；
3．提高证明不等式证法灵活性.
教学重点分析法
教学难点分析法实质的理解
教学方法启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评．
（学生活动）回答和思考教师提出的问题．
［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？
［问题 2］能否用比较法或综合法证明不等式：
在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法．（板书课题）
设计意图：复习已学证明不等式的方法．指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，
激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式．
（二）新课讲授
【尝试探索、建立新知】
（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评．帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系．投影分析法证明不等式的概念．
（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知．
综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式．
［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？
［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的`不等式时，说明了什么呢？
［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？
［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立．就是分析法的逻辑关系．
分析法证明不等式的概念．（见课本）
设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究．建立新的知识；分析法证明不等式．培养学习创新意识．
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题．
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．
篇2：数学教案－不等式的证明三
数学教案－不等式的证明（三）
教学目标
1．掌握分析法证明不等式；
2．理解分析法实质――执果索因；
3．提高证明不等式证法灵活性.
教学重点分析法
教学难点分析法实质的理解
教学方法启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评．
（学生活动）回答和思考教师提出的问题．
［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？
［问题 2］能否用比较法或综合法证明不等式：
[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法．（板书课题）
设计意图：复习已学证明不等式的方法．指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，
激发学生学习新的'证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式．
（二）新课讲授
【尝试探索、建立新知】
（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评．帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系．投影分析法证明不等式的概念．
（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知．
[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式．
［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？
［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？
［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？
［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立．就是分析法的逻辑关系．
[投影]分析法证明不等式的概念．（见课本）
设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究．建立新的知识；分析法证明不等式．培养学习创新意识．
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题．
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．
篇3：数学教案－不等式的证明二
数学教案－不等式的证明（二）
第二课时
教学目标
1．进一步熟练掌握比较法证明不等式；
2．了解作商比较法证明不等式；
3．提高学生解题时应变能力.
教学重点比较法的应用
教学难点常见解题技巧
教学方法启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评．
（学生活动）思考问题，回答．
［字幕］1．比较法证明不等式的步骤是怎样的？
2．比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？
3．用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？
[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形．在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解．这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用．（板书课题）
设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评．
（学生活动）尝试解决问题．
[问题]
1．化简
2．比较 与 （ ）的大小．
（学生解答问题）
［点评］
①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化．
②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小．
设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系．
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程．
（学生活动）分析，研究问题．
［字幕］例题3 已知a，b是正数，且 ，求证
［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形．
证明：（见课本）
［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法．此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范．
［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法．要理解为什么分类，怎样分类．分类时要不重不漏．
［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点．甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点．
[分析]设从出发地点至指定地点的`路程为 ，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为 ，要回答题目中的问题，只要比较 、 的大小就可以了．
解：（见课本）
［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题．要培养自己学数学，用数学的良好品质．
设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法．培养学生应用知识解决实际问题的能力．
【课堂练习】
（教师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题．
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．
［字幕］练习：1．设 ，比较 与 的大小．
2．已知 ，求证
设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用．灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号．反馈信息，调节课堂教学．
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤．
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．
1．比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法．
2．对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．
3．会用分类讨论的方法确定差式的符号．
4．利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤．②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答．
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系．
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法．
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．
本节课学习了对差式变形的一种常用方法――因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题．
通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力．
设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法．
（四）布置作业
1．课本作业：P17 7、8。
2，思考题：已知 ，求证
3．研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）
设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想．研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力．
（五）课后点评
1．教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动．
2．教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用．例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用
篇4：不等式证明
不等式证明
不等式证明不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。
一、不等式的初等证明方法
1.综合法：由因导果。
2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..
(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。
(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。
3.反证法：正难则反。
4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：
(1)添加或舍去一些项，如：
2)利用基本不等式，如：
(3)将分子或分母放大(或缩小)：
5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题
化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。
6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。
7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。
8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。
9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的.。
10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当 a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当 a<0时，f(x)>0(或< 0).△>0(或< 0)。
二、部分方法的例题
1.换元法
换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。
注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。
2.放缩法
欲证 A≥B，可将 B适当放大，即 B1≥B，只需证明 A≥B1。相反，将 A适当缩小，即 A≥A1，只需证明 A1≥B即可。
注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。
3.几何法
数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。
篇5：不等式证明练习题
不等式证明练习题
不等式证明练习题(1/a+2/b+4/c)*1
=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)
展开，得
=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4
=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b
基本不等式， 得
>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2
=11+6√2≥18
楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z
则原不等式等价于：
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)
<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0
<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
含有绝对值的不等式练习。1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7, -1-7x-7, x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.
函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 ，函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y=arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y=arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的'值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
(1/a+2/b+4/c)*1
=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)
展开，得
=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4
=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b
基本不等式， 得
>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2
=11+6√2≥18
楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z
则原不等式等价于：
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)
<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0
<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
含有绝对值的不等式练习。1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7, -1-7x-7, x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.
函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 ，函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y=arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y=arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
篇6：导数证明不等式
f(x)=x-ln(x+1)
f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
x>1,所以f'(x)>0,增函数
所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0
f(x)>0
所以x>0时，x>ln(x+1)
二、
导数是近些年来高中课程加入的新内容，是一元微分学的'核心部分。本文就谈谈导数在一元不等式中的应用。
例1. 已知x∈(0， )，
求证:sinx
篇7：分析法证明不等式
分析法证明不等式
分析法证明不等式已知非零向量a,b,a⊥b，求证|a|+|b|/|a+b|<=√2
【1】
∵a⊥b
∴ab=0
又由题设条件可知，
a+b≠0(向量)
∴|a+b|≠0.
具体的，即是|a+b|>0
【2】
显然，由|a+b|>0可知
原不等式等价于不等式：
|a|+|b|≤(√2)|a+b|
该不等式等价于不等式：
(|a|+|b|)≤[(√2)|a+b|].
整理即是：
a+2|ab|+b≤2(a+2ab+b)
【∵|a|=a. |b|=b. |a+b|=(a+b)=a+2ab+b
又ab=0,故接下来就有】】
a+b≤2a+2b
0≤a+b
∵a，b是非零向量，
∴|a|≠0,且|b|≠0.
∴a+b>0.
推上去，可知原不等式成立。
作为数学题型的不等式证明问题和作为数学证明方法的分析法，两者皆为中学数学的教学难点。本文仅就用分析法证明不等式这一问题稍作探讨。
注:“本文中所涉及到的图表、公式注解等形式请以PDF格式阅读原文。”
就是在其两边同时除以根号a+根号b，就可以了。
下面我给你介绍一些解不等式的方法
首先要牢记一些我们常见的不等式。比如均值不等式，柯西不等式，还有琴深不等式(当然这些是翻译的问题)
然后要学会用一些函数的方法，这是解不等式最常见的方法。分析法，综合法，做减法，假设法等等这些事容易的。
在考试的时候方法最多的是用函数的.方法做，关键是找到函数的定义域，还有求出它的导函数。找到他的最小值，最大值。
在结合要求的等等
一句话要灵活的用我们学到的知识解决问题。
还有一种方法就是数学证明题的最会想到的。就是归纳法
这种方法最好，三部曲。你最好把它掌握好。
若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?
解：ab-3=a+b>=2根号ab
令T=根号ab,
T^2-2T-3>=0
T>=3 or T<=-1(舍)
即，根号ab>=3，
故，ab>=9 (当且仅当a=b=3是取等号)。
篇8：综合法证明不等式
综合法证明不等式
综合法证明不等式若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?
解：ab-3=a+b>=2根号ab
令T=根号ab,
T^2-2T-3>=0
T>=3 or T<=-1(舍)
即，根号ab>=3，
故，ab>=9 (当且仅当a=b=3是取等号)
已知a，b，c为正实数，用综合法证明
2(a^3 + b^3 +c^3)≥a^2 (b+c)+b^2 (a+c)+c^2 (a+b)
证明：a>0,b>0--->a+b>0,(a-b)^2>=0
--->(a+b)(a-b)^2>=0
--->(a^2-b^2)(a-b)>=0
--->a^3-a^2*b-ab^2+b^3>=0
--->a^3+b^3>=ba^2+ab^2
同理b^3+c^3>=cb^2+bc^2,c^3+a^3>=ac^2+ca^2
三同向的不等式的两边相加得到
2a^3+2b^3+2c^3>=a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b
就是2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2.证完
1.若a，b∈R，则lg(a^2+1)
2.设x>1，则x/(1+x)+1/2与1的大小关系为
3.不等式
1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，
对满足a>b>c恒成立，则β的取值范围是
1.若a，b∈R，则lg(a^2+1)
解：lg(a^2+1)
<==>a^2+1
<==>a^2
<==>|a|<|b|≠=>a
且a|a|<|b|,
∴lg(a^2+1)
2.设x>1，则x/(1+x)+1/2与1的'大小关系为
解：x/(1+x)+1/2-1
=(x-1)/[2(x+1)]>0,
∴x/(1+x)+1/2>1.
3.不等式
1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，
对满足a>b>c恒成立，则β的取值范围是
解：注意a-b+b-c=a-c,原不等式化为
β<=(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]恒成立,
而(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]>=4,
∴β的取值范围是(-∞，4]。
综合法是不等式证明的一种方法，这种方法是：根据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行。 综合法.从已知(已经成立)的不等式或定理出发，逐步推出(由因导果)所证的不等式成立.例如要证 ，我们从 ，得 ，移项得 .综合法的证明过程表现为一连串的“因为……所以……”，可用一连串的“ ”来代替.
综合法的证明过程是下一节课学习的不等式的证明的又一必须掌握的方法――分析法的思考过程的逆推，而分析法的证明过程恰恰是综合法的思考过程。 实际上在前面两个重要的不等式平方不等式和均值定理的证明及不等式的性质证明当中，我们已经运用了综合法，但当时只是没有提出或采用这个名字而已。本节课是不等式的证明的每第二节课，由于立方不等式已移至阅读材料当中，故例题只有一个，是运用平方不等式来作为基础工具。
篇9：第二册不等式证明
目的：以不等式的`等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一――比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程：
一、复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差――变形――判断――结论
二、作差法：（P13―14）
1． 求证：x2 + 3 > 3x
证：∵(x2 + 3) - 3x =
∴x2 + 3 > 3x
2． 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：
证：
∵a,b,m都是正数，并且a
∴ 即：
变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？
3． 已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) =( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )
=a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) =(a2 - b2 ) (a3 - b3)
=(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a b，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0
即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为S，
甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，
则： 可得：
∴
∵S, m, n都是正数，且m n，∴t1 - t2 < 0 即：t1 < t2
从而：甲先到到达指定地点。
变式：若m =n，结果会怎样？
三、作商法
5． 设a, b R+，求证：
证：作商：
当a =b时，
当a > b > 0时，
当b > a > 0时，
∴ （其余部分布置作业 ）
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
四、小结：作差、作商
五、作业 ： P15 练习
P18 习题6.3 1―4
篇10：均值不等式证明
均值不等式证明
均值不等式证明一、
已知x,y为正实数，且x+y=1 求证
xy+1/xy≥17/4
1=x+y≥2√(xy)
得xy≤1/4
而xy+1/xy≥2
当且仅当xy=1/xy时取等
也就是xy=1时
画出xy+1/xy图像得
01时，单调增
而xy≤1/4
∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4
得证
继续追问：
拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证
补充回答：
我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的
法二：
证xy+1/xy≥17/4
即证4(xy)-17xy+4≥0
即证(4xy-1)(xy-4)≥0
即证xy≥4，xy≤1/4
而x,y∈R+，x+y=1
显然xy≥4不可能成立
∵1=x+y≥2√(xy)
∴xy≤1/4，得证
法三：
∵同理0
xy+1/xy-17/4
=(4xy-4-17xy)/4xy
=(1-4xy)(4-xy)/4xy
≥0
∴xy+1/xy≥17/4
试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!
二、
已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)
于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0
即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】
那么
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】
≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0
三、
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。
概念：
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时劝=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(当r不等于0时);
(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))
则有：当r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0,有兴趣的'同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
原题等价于：((a1+a2+…+an )/n)^n≥a1a2…an。
当n=2时易证;
假设当n=k时命题成立，即
((a1+a2+…+ak )/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2 ，…，a(k+1)中最大者，则
k a(k+1)≥a1+a2+…+ak。
设s=a1+a2+…+ak，
{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)
={s/k+[k a(k+1)-s]/[k(k+1)]}^(k+1)
≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)-s]/k(k+1) 用引理
=(s/k)^k* a(k+1)
≥a1a2…a(k+1)。用归纳假设
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦)。
篇11：不等式的证明
不等式的证明
不等式的证明不等式的证明，基本方法有
比较法：(1)作差比较法
(2)作商比较法
综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是一正二定三相等的方法的使用。
分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。
换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考
反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立
放缩法：
用柯西不等式证。等等……
高考不是重点，但是难点。
大学数学也会讲到柯西不等式。
不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。
一、不等式的初等证明方法
1.综合法：由因导果。
2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..
(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。
(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。
3.反证法：正难则反。
4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：
(1)添加或舍去一些项，如：
(2)利用基本不等式，如
3)将分子或分母放大(或缩小)：
5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题
化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。
6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。
7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。
8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。
9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。
10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当 a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当 a<0时，f(x)>0(或< 0).△>0(或< 0)。
二、部分方法的例题
1.换元法
换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。
注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。
2.放缩法
欲证 A≥B，可将 B适当放大，即 B1≥B，只需证明 A≥B1。相反，将 A适当缩小，即 A≥A1，只需证明 A1≥B即可。
注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的.不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。
3.几何法
数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。
注意：这类方法对几何的熟悉程度以及几何与代数的相互联系能力要求比较高。
每一种不等式的证明方法基本上都有一种固定的模式可以去对比，但数学的特点就在于它的灵活性非常强，所以不等式的证明中的题目会有很多种变化，这对学习者的要求是非常高的，这就需要我们在今后的学习中多总结、归纳，才能达到我们学习的效果。具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性，抓住这一道题与这一类题不同的地方。数学的题目几乎没有相同的，总有一个或几个条件不尽相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学对于老师讲过的题会做，其他的题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就无从下手。当然，做题先从哪儿下手是一件棘手的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中选择与其他条件有关的，或与结论有关的，或与题目中的隐含条件有关的，进行推理或演算。一般难题都有多种解法，俗话说，条条大路通罗马。要相信利用这道题的条件，加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。
数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。
解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃;有了自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。
篇12：比较法证明不等式
比较法证明不等式
比较法证明不等式1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的`大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
a>b>0,求证：a^ab^b>(ab)^a+b/2
因a^a*b^b=(ab)^ab,
又ab>a+b/2
故a^a*b^b>(ab)^a+b/2
已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca>-4.
用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-4
下面这个方法算不算“比较法”啊?
作差 M = ab+bc+ca - (-4) = ab+bc+ca+4
构造函数 M = f(c) = (a+b)c + ab+4
这是关于 c 的一次函数(或常函数)，
在 cOM 坐标系内，其图象是直线，
而 f(-2) = -2(a+b) + ab+4 = (a-2)(b-2) > 0(因为 a<2, b<2)
f(2) = 2(a+b) + ab+4 = (a+2)(b+2) > 0(因为 a>-2, b>-2)
所以 函数 f(c) 在 c∈(-2, 2) 上总有 f(c) > 0
即 M > 0
即 ab+bc+ca+4 > 0
所以 ab+bc+ca > -4
设x,y∈R,求证x^2+4y^2+2≥2x+4y
(x-1)≥0
(2y-1)≥0
x-2x+1≥0
4y-4x+1≥0
x-2x+1+4y-4x+1≥0
x+4y+2≥2x+4x
除了比较法还有：
求出中间函数的值域：
y=(x^2-1)/(x^2+1)
=1-2/(x^2+1)
x为R，
y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，没有最大值，趋于无穷校
所以有：
-1<=y=1-2/(x^2+1)<1
原题得到证明
比较法：
①作差比较，要点是：作差――变形――判断。
这种比较法是普遍适用的，是无条件的。
根据a-b>0 a>b，欲证a>b只需证a-b>0;
②作商比较，要点是：作商――变形――判断。
这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。
当b>0时，a>b >1。
比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较(如幂、方根等)
综合法是从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法。
篇13：法证明不等式
归纳法证明不等式
归纳法证明不等式由于lnx>0 则x>1
设f(x)=x-lnx f'(x)=1-1/x>0
则f(x)为增函数 f(x)>f(1)=1
则 x>lnx
则可知道等式成立。。。。。。。。。(运用的是定理，f(x),g(x)>0. 且连续 又f(x)>=g(x).则 在相同积分区间上的积分也是>=)
追问
请问这个“定理”是什么定理?
我是学数学分析的，书上能找到么?
回答
能 你在书里认真找找，不是定理就是推论埃。。。。
叫做积分不等式性
数学归纳法不等式的做题思路 ： 1、n等于最小的满足条件的值，说明一下这时候成立，一般我们写显然成立，无须证明
2、假设n=k的时候成立，证明n=k+1的时候也是成立的，难度在这一步。(含分母的一般用放缩法，含根号的.常用分母有理化。)
3、总结，结论成立，一般只要写显然成立。 这题大于号应该为小于号。 当n=1,1<2显然 假设n=k-1的时候成立 即 1+ 1/√2 +1/√3 +... +1/√(k -1)<2√(k-1) 则当n=k时，
1+ 1/√2 +1/√3 +...... +1/√(k-1)+1/√k<2√(k-1)+1/√k如果有2√(k-1)+1/√k<2√k就可，只要1/√k<2√k-2√(k -1)=2(√k-√(k -1)=2/[(√k+√(k -1)]，即只要√(k -1<√k,而这显然。所以1+ 1/√2 +1/√3 +...... +1/√n >2√n
已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n属于正整数),求证:当n>1时,f(2^n)>n+2/2
(1)n=2时 代入成立
(2)假设n=a时候成立
则n=a+1时
f(2^(a+1))=f(2^a)+1/(2^a+1)+1/(2^a+2)+1/(2^a+3)+……1/(2^(a+1))>
f(2^a)+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+……1/(2^(a+1))
后面相同项一共有2^a个
所以上面又= f(2^a)+2^a/(2^(a+1))= f(2^a)+1/2
因为f(2^a)>(a+2)/2 故上面大于<(a+1)+2>/2
因此n=a时上式成立的话 n=a+1也成立
1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈N+)
“1/2^2”指2的平方分之1
证明：数学归纳法：
1、∵当n=2时有1/2^2=1/4<1-1/2=1/2
∴符合原命题。
2、假设当n=k时1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2<1-1/k(k≥2，k∈N+)成立，
则当n=k+1时有1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2<1-1/k+1/(k+1)^2=(k^3+k^2-1)/(k(k+1)^2)<(k^3+k^2)/(k(k+1)^2)=k/(k+1)=1-1/(k+1) ∴原命题成立
综上可得1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈N+)成立!!。
篇14：构造法证明不等式
构造法证明不等式
构造法证明不等式由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使得不等式证明成为中学数学的难点之一.下面通过数例介绍构造法在证明不等式中的.应用.
一、构造一次函数法证明不等式
有些不等式可以和一次函数建立直接联系，通过构造一次函数式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的证明.
例1 设0≤a、b、c≤2，求证：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.
证明：视a为自变量，构造一次函数
= 4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca = (bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，
由0≤a≤2，知表示一条线段.又= b+c-2bc = (b-c)≥0，
= b+c-4b-4c+8 = (b-2)+(c-2)≥0，
可见上述线段在横轴及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.
二、构造二次函数法证明不等式
对一些不等式证明的题目，若能巧妙构造一元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明.
例2 实数a、b、c满足( a+c)( a+b+c)<0，求证：( b-c )>4a( a+b+c).
证明：由已知得a = 0时，b≠c，否则与( a+c)( a+b+c)<0矛盾，
故a = 0时，( b-c )>4a( a+b+c)成立.
当a≠0时，构造二次函数= ax+( b-c )x+( a+b+c)，则有
= a+b+c，= 2(a+c)，而・= 2( a+c)( a+b+c)<0，
∴存在m，当-1
篇15：不等式证明(第六课时)
| 教材：不等式证明一（比较法） 目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 过程： 一、复习： 1．不等式的一个等价命题 2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论 二、作差法：（P13—14） 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路 |
篇16：不等式的证明二
不等式的证明（二）
第二课时
教学目标
1．进一步熟练掌握比较法证明不等式；
2．了解作商比较法证明不等式；
3．提高学生解题时应变能力.
教学重点比较法的应用
教学难点常见解题技巧
教学方法启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评．
（学生活动）思考问题，回答．
［字幕］1．比较法证明不等式的步骤是怎样的？
2．比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？
3．用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？
[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形．在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解．这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用．（板书课题）
设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评．
（学生活动）尝试解决问题．
[问题]
1．化简
2．比较 与 （ ）的大小．
（学生解答问题）
［点评］
①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化．
②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小．
设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系．
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程．
（学生活动）分析，研究问题．
［字幕］例题3 已知a，b是正数，且 ，求证
［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形．
证明：（见课本）
［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法．此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范．
[字幕]例4试问： 与 （ ）的大小关系．并说明理由．
［分析］作差通分，对分子、分母因式分解，然后分类讨论确定符号．
解：
因为 ，所以 ，
若 ，则 所以 ．
即
若 ，则 所以 ．
即
若 ，则 所以 ．
即
综上所述： 时，
时，
时，
［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法．要理解为什么分类，怎样分类．分类时要不重不漏．
［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点．甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点．
[分析]设从出发地点至指定地点的路程为 ，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为 ， ，要回答题目中的问题，只要比较 、 的大小就可以了．
解：（见课本）
［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题．要培养自己学数学，用数学的良好品质．
设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法．培养学生应用知识解决实际问题的能力．
【课堂练习】
（教师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题．
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．
［字幕］练习：1．设 ，比较 与 的大小．
2．已知 ， ，求证
设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用．灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号．反馈信息，调节课堂教学．
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤．
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．
1．比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法．
2．对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．
3．会用分类讨论的方法确定差式的符号．
4．利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤．②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答．
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系．
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法．
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．
本节课学习了对差式变形的一种常用方法――因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题．
通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力．
设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法．
（四）布置作业
1．课本作业：P17 7、8。
2，思考题：已知 ，求证
3．研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的.速度和部在静水中的速度保持不变）
设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想．研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力．
（五）课后点评
1．教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动．
2．教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用．例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用．
作业答案
思考题：证明：
因为 ，所以当 时， ，故
又因为 ，所以
当 时， ，故 ，即 ，所以
当 时， .故 ，即 ，所以
综上所述，
研究性题：设两地距离为 ，船在静水中的速度为 ，水流速度为 （ ），则
所以船在流水中来回行驶一次的时间比在静水中来回行驶一次的时间长．
第三课时
教学目标
1.掌握综合法证明不等式；
2.熟练掌握已学的重要不等式；
3.增强学生的逻辑推理能力.
教学重点综合法
教学难点不等式性质的综合运用
教学方法 启发引导式
教学活动
（－）导入新课
（教师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的知识，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评．
（学生活动）完成练习．
［字幕］
1．证明 （ ）．
2．比较 与 的大小，并证明你的结论．
1．证法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2．答：
证法一：由 ，所以
证法二：由 知 ，所以
［点评］两道题的证法一都是用的比较法，证法二我们在6．1节和6．2节已学过，这种方法是综合法，是本节课学习的内容．（板书课题）
设计意图：通过练习，复习比较法证明不等式，导入新课：综合法证明不等式．提出学习任务．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师提出问题：用上述方法二证明 ，并点评证法的数学原理，
（学生活动）学生研究证明不等式．
[问题]证明
（证明：因为 ，所以 ，即 ．）
[点评]
①利用某些已知证明过的不等式（例如平均值定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．
②综合法证题方法：由已知推出结论．这里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质．
设计意图：探索解决问题的新方法，建立新知识，构建用综合法证明不等式的方法原理．
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用综合法证明不等式，并点评用综合法证明不等式必须注意的问题．
（学生活动）学生在教师诱导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．
例1 已知 ，求证
［分析］由于不等式左边是和的形式，右边为常数，可用平均值定理作为已知不等式推证．
证明：因为 ，则 ，所以 ．故
［点评］此题的证明方法是综合法，在证明过程中，把平均值定理作为已知不等式，而平均值定理是有条件限制的，所以要用重要不等式作为已知不等式，注意要证的不等式必须符合重要不等式的条件和结构特征．
例2 已知a，b，c是不全相等的正数，求证
[分析]由不等式右边为6abc是积的形式，左边是和的形式，可知由 出发可证．
证明一（见课本）
证明二：
因为a，b，c是不全相等的正数．所以 ， ， ，且三式不能全取“=”号．
所以
即
[点评]
①综合法的思维特点是：由已知推出结论．用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同号）， （ ）。
②此例中条件a，b，c是不全相等的正数，所以最后所证不等式取不到等号．
③由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出
的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明．
我们在证明不等式时，选择方法要适当，不要对某种方法抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法．
设计意图：巩固用综合法证明不等式的知识，掌握用综合法证明不等式中，常用的重要不等式，理解综合法证明不等式与比较法证明不等式的内在联系．
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正，点评练习中存在的问题．
（学生活动）在笔记本上完成练习．甲、乙两位同学板演．
［字幕］练习1 已知，求证
2．已知 ，求证
设计意图：掌握用综合法证明不等式，并会灵活运用重要不等式作为证明中的已知不等式．反馈课堂效果，调节课堂教学．
【分析归纳，小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程．小结用综合法证明不等式的解题方法．
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上．
1．综合法是证明不等式的基本方法．用综合法证明不等式的逻辑关系是： … （A为已经证明过的不等式，B为要证的不等式）．即综合法是“由因导果”．
2．运用不等式的性质和已证明过的木等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误．
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握综合法证明不等式的方法．
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识．
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．
本节课学习了用综合法证明不等式，用综合法证明不等式的依据是：l。已知条件和不等式性质；2．基本不等式．能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件．
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．
（四）布置作业
1．课本作业：P17 5．6．
2．思考题：若 ，求证
3．研究性题：某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 千米／小时的速度直达灾区．已知某市到灾区的公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得小于 千米．
那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多少？
设计意图：课本作业巩固基础知识，思考题供学有余力的同学完成．研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．
（五）课后点评
1．在导入新课时设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用已学过的很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使学生没有想到，教师引导起来也并不困难．因而顺着学生的思路，帮助学生形成用综合法证明不等式的知识结构．
2．例1与例2的学习使学生理解掌握综合法证明不等式的原理，发现综合法与比较法的内在联系．在教学设计上，力图从学生的需要出发设计问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的方法能用、会用．
作业答案
思考题：证明：因为 ，又因为 ，所以 ．同理 ； 将上述三个不等式相加得
所以
研究性题：设最后一辆车到达时用的时间为 小时，则
所以最短时间为12小时．
篇17：不等式证明(第六课时)
不等式证明(第六课时)
目的`：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程：
一、复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论
二、作差法：（P13—14）
甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路
篇18：用导数证明不等式
用导数证明不等式
用导数证明不等式最基本的方法就是 将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数 f(x). 对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于 0. 这样就能说明原不等式了成立了!
1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
设函数f(x)=x-ln(x+1)
求导，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+1
2..证明：a-a^2>0 其中0
F(a)=a-a^2
F'(a)=1-2a
当00;当1/2
因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0
即有当00
3.x>0,证明：不等式x-x^3/6
先证明sinx
因为当x=0时，sinx-x=0
如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，
求导数有sinx-x的导数是cosx-1
因为cosx-1≤0
所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，
知sinx
再证x-x/6
对于函数x-x/6-sinx
当x=0时，它的值为0
对它求导数得
1-x/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。
要证x/2+cosx-1>0 x>0
再次用到函数关系，令x=0时，x/2+cosx-1值为0
再次对它求导数得x-sinx
根据刚才证明的'当x>0 sinx
x/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0
x/2-cosx-1<0 x>0
所以x-x/6-sinx是减函数，在0点有最大值0
得x-x/6
利用函数导数单调性证明不等式X-X>0，X∈(0,1)成立
令f(x)=x-x x∈[0,1]
则f'(x)=1-2x
当x∈[0,1/2]时,f'(x)>0,f(x)单调递增
当x∈[1/2,1]时,f'(x)<0,f(x)单调递减
故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得
f(0)=0,f(1)=0
故f(x)的最小值为零
故当x∈(0,1)f(x)=x-x>0。
i、m、n为正整数，且1
求证(1+m)^n > (1+n)^m
方法一：利用均值不等式
对于m+1个数，其中m个(2+m)，1个1,它们的算术平均数大于几何平均数，即
[(2+m)+(2+m)+...+(2+m)+1]/(m+1)>[(2+m)^m]^[1/(1+m)]
即1+m>(2+m)^[m/(1+m)]
即(1+m)^(1/m)>[1+(m+1)]^[1/(1+m)]
由此说明数列{(1+m)^(1/m)}是单调递减的。
方法二：导数方法
令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0
求导数
f'(x)=(1+x)^(1/x)*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
为了考察f'(x)的正负
令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0
g'(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0
因此g(x)0,亦即f'(x)<0
因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。
令A*B*C=K的3次方
求证(1+A)的-(1/2)次方 加(1+B)的-(1/2)次方 加(1+C)的-(1/2)次方 >=(1+K)的-(1/2)次方
化成函数，f(x)，求导，可知其单调区间，然后求最大最小值即可。
理论上所有题目都可以用导数做，但有些技巧要求很高。
(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+C)^-1/2
=(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+K^3/AB)^-1/2=f(A,B)
对A求导，f'(A,B)A=0，可得一个方程，解出即得。
篇19：函数法证明不等式
函数法证明不等式
已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足0
<1> 证明 0
<2>证明an+1<(1/6)×(an)^3
它提示是构造一个函数然后做差求导，确定单调性。可是还是一点思路都没有，各位能不能给出具体一点的解答过程啊?
(1)f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx
00,f(x)是增函数,f(0)
因为0
且an+1=an-sinan
(2)求证不等式即(1/6)an^3-an+1=(1/6)an^3-an+sinan>0①
构造函数g(x)=(1/6)x^3-x+sinx(0
g''(x)=x-sinx,由(1)知g''(x)>0,所以g'(x)单增,g'(x)>g'(0)=0
所以g(x)单增且g(x)>g(0)=0,故不等式①成立
因此an+1<(1/6)×(an)^3 成立。
证毕!
构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式
【例1】证明不等式：≥ (人教版教材P23T4)
证明：构造函数f(x)= (x≥0)
则f(x)==1-在上单调递增
∵f(|a| + |b|)= f(|a + b|)=且|a| + |b|≥|a + b|
∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|) 即所证不等式正确。
点评：本题还可以继续推广。如：求证：≥。利用分式函数的'单调性可以证明的教材中的习题还有很多，如：
P14第14题：已知c>a>b>0,求证:
P19第9题: 已知三角形三边的长是a，b，c，且m是正数，求证：
P12例题2:已知a，b，m，都是正数，且a 二、利用分式函数的奇偶性证明不等式
篇20：函数法证明不等式
证明：构造函数f(x)=
∵f(-x)=
=f(x)
∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称。
当x>0时，<0，f(x)<0;
当x<0时，-x>0,故f(x)=f(-x)<0
∴<0，即
三、构造一次函数，利用一次函数的单调性证明不等式
【例3】已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：a + b + c 证明：构造函数f(c)=(1-ab)c + a + b-2
∵|a|<1，|b|<1
∴-10
∴f(c)的(-1，1)上是增函数
∵f(1)=1-ab + a + b -2=a + bCab -1=a(1 - b)-(1 - b)=(1 - b)(a -1)<0
∴f(1)<0，即(1-ab)c + a + b-2<0
∴a + b + c 。
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