微分中值定理与导数的应用习题（推荐4篇）由网友“郑建国”投稿提供，这里小编给大家推荐一些微分中值定理与导数的应用习题，方便大家学习。
篇1：微分中值定理与导数的应用习题
§4.1 微分中值定理
1． 填空题
（1）函数f(x)?arctanx在[0, 1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是
4??
?
．
（2）设f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?5)，则f?(x)?0有 3 个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,5)中．
2． 选择题 （1）罗尔定理中的三个条件:f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，是f(x)在(a,b)内至少存在一点?，使f?(?)?0成立的（ B ）．
A． 必要条件 B．充分条件 C． 充要条件 D． 既非充分也非必要条件
（2）下列函数在[?1, 1]上满足罗尔定理条件的是（ C ）．
1?
?xsin, x?0
A. f(x)?e B. f(x)?|x| C. f(x)?1?x D. f(x)?? x
? x?0?0,
（3）若f(x)在(a,b)内可导，且x1、x2是(a,b)内任意两点，则至少存在一点?，使下式成
x
2
立（ B ）．
A． f(x2)?f(x1)?(x1?x2)f?(?)
??(a,b)
B． f(x1)?f(x2)?(x1?x2)f?(?)?在x1,x2之间 C． f(x1)?f(x2)?(x2?x1)f?(?)x1???x2 D． f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(?)x1???x2
3．证明恒等式：arctanx?arccotx?
?
2
(???x??)．
11
??0，所以f(x)为一常数．
1?x21?x2
证明： 令f(x)?arctanx?arccotx，则f?(x)?设f(x)?c，又因为f(1)?
?
2
，
n?arccotx?故 arctax
?
2
(???x??)．
4．若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，其中a?x1?x2
?x3?b，证明:在(x1,x3)内至少有一点?，使得f??(?)?0．
证明：由于f(x)在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)可导,且f(x1)?f(x2)，根据罗尔定理知，存在?1?(x1,x2)， 使f?(?1)?0． 同理存在?2?(x2,x3)，使f?(?2)?0． 又f?(x)在[?1,?2]上 符合罗尔定理的条件，故有??(x1,x3)，使得f??(?)?0．
x2x3
??0有且仅有一个实根． 5． 证明方程1?x?26
1x2x3
?证明：设f(x)?1?x?， 则f(0)?1?0,f(?2)???0，根据零点存在定理至
326
少存在一个??(?2,0)， 使得f(?)?0．另一方面，假设有x1,x2?(??,??)，且x1?x2，使
1
f(x1)?f(x2)?0，根据罗尔定理，存在??(x1,x2)使f?(?)?0，即1????2?0，这与
2
12x2x3
1?????0矛盾．故方程1?x???0只有一个实根．
226
6． 设函数f(x)的导函数f?(x)在[a,b]上连续，且f(a)?0,f(c)?0,f(b)?0，其中c是介
于a,b之间的一个实数． 证明： 存在??(a,b), 使f?(?)?0成立.
证明： 由于f(x)在[a,b]内可导，从而f(x)在闭区间[a,b]内连续，在开区间(a,b)内可导．又因为f(a)?0,f(c)?0，根据零点存在定理，必存在点?1?(a,c)，使得f(?1)?0． 同理，存在点?2?(c,b)，使得f(?2)?0．因此f(x)在??1,?2?上满足罗尔定理的条件，故存在??(a,b)， 使
f?(?)?0成立．
7. 设函数f(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导. 试证:至少存在一点??(0,1), 使
f?(?)?2?[f(1)?f(0)].
证明： 只需令g(x)?x，利用柯西中值定理即可证明.
8．证明下列不等式
2
sinx
?cosx． x
证明： 设f(t)?sint?tcost，函数f(t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，且
（1）当0?x??时，
f?(t)?tsint, 故f(x)?f(0)?f'(?)(x?0), 0???x, 即
sinx?xcosx?x?sin??0 (0?x??)
sinx
?cosx． 因此， 当0?x??时，x
a?baa?b
?ln?（2）当 a?b?0时，． abb
证明：设f(x)?lnx，则函数在区间[b,a]上满足拉格朗日中值定理得条件，有
f(a)?f(b)?f'(?)(a?b),b???a
1a1111'
因为f(x)?，所以ln?(a?b)，又因为b???a，所以??，从而
xb?a?b
a?baa?b
?ln? ． abb
§4.2 洛毕达法则
1． 填空题 （1） lim
cos5x
5x?
?
2
cos3x
??3
ln(1?1
（2）)
xlim
???arctanx
? （3）lim11x?0(x2?
xtanx)=1
3 （4）lim(sinx)x
x?0
?
?2．选择题
（1）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A． limnnlim
lnnn??nlim
1n??
?e
?e
n??n?1
B． lim
x?sinxx?0x?sinx? lim1?cosx
x?01?cosx
??
x2sin111C． lim
x2xsin?cos
x?0sinx?limxx不存在 x?0cosx
D． lx1
x?i0ex=limx?0e
x?1
（2） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）
A． limx2x?0sinx B． xlim?0?(1x)tanx C． limx?sinxx??x
D． xlimxn
???ex
3． 求下列极限
limxm?am
（1）x?axn?an
．
解： limxm?ammxm?1mx?axn?an=lim
x?anxn?1?n
am?n
． 2x?2?x（2）lim?2x?0x
2． 解： lim2x?2?x?22xln2?2?xln22x(ln2)2?2?x(ln2)22
x?0x
2=limx?02x=limx?02=(ln2)．
（3）lim
sinx?tanx
．
x?0x3
1
x?(?x2)
解：limsinx?tanxx?0x3＝limtanx(cosx?1)x?0x3?limx?0x3＝?12． （4） limex?sinx?1
．
x?0(arcsinx)2
解：limex?sinx?1
ex?sinx?1ex?cosxex2＝x?0(arcsinx)limx?0x
2＝limx?02x?lim?sinxx?02?12．
（5）limx?xx
．
x?11?x?lnx
解： (xx)??xx(1?lnx)， xx
?xx(1?lnx)2?xx
1lim
x?x
xx?11?x?lnx＝lim1?x(1?lnx)x?1＝lim
?1?
1
x?1x
?1x2
?limx?1
[xx?2(1?lnx)2?xx?1]?2．
（6） lim(1x?0x?1ex?1
)． 12解：lim11x?0(x?ex?1)?limex
?x?12x1x?0x(ex?1)?limx?0x
2?2
（7） 1
tanx
xlim?0
?
(x
) ．
11
?limtanxlnx
?lim
lnx
limlim
sin2x
解：tanx
x?0?
x?0?cotx
xlim?0
?
(x
)?e?e
?e
?xx?0
??csc2x?e
x?0?x?1．
（8）limln(1x
3
x???
?2)ln(1?
x
)． 2xln2
解： x33xln(1?2x)xxlim???ln(1?2)ln(1?x)=xlim???xln(1?2)?3xlim???x?3xlim
???1
=3ln2xlim2
x???1?2x
=3ln2．
（9） lin??
n．
解： 因为limx?e
xlim1??x
lnx
xlim
1
??x
x??
?e
?1，所以nlim??
n=1．
§4.3函数的单调性与曲线的凹凸性
1． 填空题
（1） 函数y?4x2?ln(x2)的单调增加区间是(?
11
,0)?(,??)，单调减少区间22
11
(??,?)?(0,)．
22
（2）若函数f(x)二阶导数存在，且f??(x)?0,f(0)?0，则F(x)?是单调 增加 ．
（3）函数y?ax2?1在(0,??)内单调增加，则a?0．
（4）若点（1，3)为曲线y?ax3?bx2的拐点，则a??凸区间为(1,?)．
2． 单项选择题
（1）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A. y?2 (??,??) B. y?e (??,0) C. y?lnx (0,??) D. y?sinx (0,?)
（2）设f?(x)?(x?1)(2x?1)，则在区间(,1)内（ B ）． A. y?f(x)单调增加，曲线y?f(x)为凹的 B. y?f(x) 单调减少，曲线y?f(x)为凹的 C. y?f(x)单调减少，曲线y?f(x)为凸的 D．y?f(x)单调增加，曲线y?f(x)为凸的
（3）f(x)在(??,??)内可导, 且?x1,x2,当 x1?x2时, f(x1)?f(x2),则( D ) A. 任意x,f?(x)?0 B. 任意x,f?(?x)?0 C. f(?x)单调增 D. ?f(?x)单调增
（4）设函数f(x)在[0,1]上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) B. f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) C. f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) D. f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0) 2． 求下列函数的单调区间 （1）y?e?x?1．
解：y??e?1，当x?0时，y??0,所以函数在区间[0,??)为单调增加； 当x?0时，y??0，所以函数在区间(??,0]为单调减少．
（2）y?(2x?
xx?x
x
f(x)
在0?x???上x
39，b?，曲线的凹区间为(??,1)，
22
1
2
10?3
解：y??x(x?1)，
3
当x?1，或x?0时，y??0,所以函数在区间(??,0]?[1,??)为单调增加； 当0?x?1时，y??0，所以函数在区间[0,1]为单调减少．
（3）y?ln(x??x2)
1
1?
解： y??
x?x2
2
x??x
?
1?x
2
?0，故函数在(??,??)单调增加．
3． 证明下列不等式
（1）证明： 对任意实数a和b, 成立不等式证明：令f(x)?
|a?b||a||b|
??．
1?|a?b|1?|a|1?|b|
x1，则f?(x)??0， f(x)在[ 0 , ?? )内单调增加. 2
1?x(1?x)
于是, 由 |a?b| ? |a|?|b|, 就有 f( |a?b| )?f( |a|?|b| ), 即
|a?b||a|?|b||a||b||a||b|
?????
1?|a?b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|1?|b|
（2）当x?1时, lnx?
2(x?1)
． x?1
'
证明：设f(x)?(x?1)lnx?2(x?1)， f(x)?lnx?
1
?1，由于当x?1时，x
11
?2?0, 因此f?(x)在[1,??)单调递增, 当 x?1时, f?(x)?f?(1)?0, 故f(x)在xx
[1,??)单调递增, 当 x?1时, 有f(x)?f(1)?0.故当x?1时,f(x)?(x?1)lnx?2(x?1)?0,
2(x?1)
因此lnx?．
x?1f??(x)?
x3
（3）当 x?0时，sinx?x?．
6x3x2
?0，证明：设f(x)?sinx?x?, f?(x)?cosx?1?当x?0，f??(x)?x?sinx?0， 26
所以f?(x)在[0,??)单调递增, 当 x?0时, f?(x)?f?(0)?0, 故f(x)在[0,??)单调递增, 从x3
而当 x?0时, 有f(x)?f(0)?0. 因此当 x?0时，sinx?x?．
6
??
4． 讨论方程x?sinx?k(其中k为常数)在(0,)内有几个实根．
22???
解：设?(x)?x?sinx?k, 则?(x)在[0,]连续, 且?(0)??k,???k，
222
由??(x)?1?
?
2
cosx?0，得x?arccos
2
?
为(0,
?
2
)内的唯一驻点．第一文库网
22?
?(x)在[0,arccos]上单调减少，在[arccos,]上单调增加．
??2
?222?4
故?)???k为极小值，因此?(x)在[0,]的最大值是?k,最
2??2
22?4
小值是??k．
?2
?2?2?4
（1） 当k?0,或k??时,方程在(0,)内无实根；
2?2
2?2?4
（2） 当??k?0时,有两个实根；
?2
22?4
（3） 当k??时，有唯一实根．
?2
(1,?10)5． 试确定曲线y?ax3?bx2?cx?d中的a、b、c、d，使得x??2处曲线有水平切线，
为拐点，且点(?2,44)在曲线上．
解： y??3ax2?2bx?c,y???6ax?2b，所以
?3a(?2)2?2b(?2)?c?0?
6a?2b?0?
?
a?b?c?d??10?
32??a(?2)?b(?2)?c(?2)?d?44
解得： a?1,b??3,c??24,d?16．
6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间
x
2
x?1x2?12x3?6x
解： y??1?2, y???2, 23
(x?1)(x?1)
令y???0,得x?0，当x??1时y??不存在．
当?1?x?0或x?1时, y???0,当x??1或0?x?1时, y???0．
x
故曲线y?x?2在(??,?1)?(0,1)上是凸的, 在区间和(?1,0)?(1,??)上是凹的，
x?1
曲线的拐点为(0,0)．
（1）y?x?
（2）y?(2x?5)x2拐点及凹或凸的区间
，y??? 1
当x?0时，y?,y??不存在；当x??时，y???0．
2
解：y??
故曲线在(??,?)上是凸的, 在(?
1211
,??)上是凹的，(?,?32)是曲线的拐点, 22
xx
? 2?
xx1x11x
证明：令f(x)?sin?, 则f?(x)?cos?, f??(x)??sin．
2?22?42
xx
当0?x??时, f??(x)?0, 故函数f(x)?sin?的图形在(0,?)上是凸的, 从而曲线
2?
y?f(x)在线段AB（其中A(0,f(0)),B(?,f(?)）的上方，又f(0)?f(?)?0, 因此f(x)?0,
xx即sin?．
2?
7．利用凹凸性证明: 当0?x??时, sin
§4.4 函数的极值与最大值最小值
1． 填空题
（1）函数y?x2x取极小值的点是x??
23
2
13
1． ln2
（2） 函数f(x)?x?(x?1)在区间[0,2]上的最大值为f(
12
)?
2
2
，最小值为
f(0)??1 ．
2．选择题
（1） 设f(x)在(??,??)内有二阶导数，f?(x0)?0，问f(x)还要满足以下哪个条件，则
f(x0)必是f(x)的最大值？（ C ）
A． x?x0是f(x)的唯一驻点 B． x?x0是f(x)的极大值点 C． f??(x)在(??,??)内恒为负 D． f??(x)不为零
（2） 已知f(x)对任意y?f(x)满足xf??(x)?3x[f?(x)]2?1?e?x，若
f?(x0)?0 (x0?0)，则（ B ）
A. f(x0)为f(x)的极大值 B. f(x0)为f(x)的极小值 C. （x0,f(x0))为拐点 D. f(x0)不是极值点, （x0,f(x0))不是拐点
（3）若f(x)在x0至少二阶可导, 且lim
x?x0
f(x)?f(x0)
??1,则函数f(x)在x0处( A ) 2
(x?x0)
A． 取得极大值 B． 取得极小值 C． 无极值 D． 不一定有极值
3． 求下列函数的极值 （1） f?x??x?
32/3
x． 2
解：由f?(x)?1?x
?
13
?0，得x?1．
1?4
f??(x)?x3,f''(1)?0，所以函数在x?1点取得极小值．
3
（2）f(x)?x．
1x
1
(1?lnx)， x2
令y??0得驻点x?e，当x?(0,e)时，y??0，当x?(e,??)时，y??0．
解：定义域为(0,??)，y?e
1lnxx
, y??x
1x
因此y(e)?e为极大值．
32
4． 求y?2x?3x?12x?14的在[?3,4]上的最大值与最小值．
解：y(?3)?23, y(4)?132．
由y??6x2?6x?12?0，得x?1, x??2．
而y(1)?7,y(?2)?34, 所以最大值为132，最小值为7．
5． 在半径为R的.球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V最大． 解：设圆锥体的高为h, 底半径为r,故圆锥体的体积为V?由于(h?R)2?r2?R2，因此V(h)?
1
e
1
? r2h， 3
1
? h(2Rh?h2) (0?h?2R)， 3
14R222
由V?(h)?? (4Rh?3h)?0，得h?，此时r?R．
333
由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在(0,2R)的内部取得. 现在V?(h)?0在(0,2R)内只有一
个根,故当h?
6. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km, A点到火车站B的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD, 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B与工厂C间的运费最省, 问D点应选在何处？
解: 设AD?x? B与C间的运费为y, 则 y?5k400?x2?3k(100?x) （0?x?100）， 其中k是某一正数． 由 y??k(
4R22, r?R时, 内接锥体体积的最大． 33
5x400?x
2
?3)?0? 得x?15?
1
? 其中以y|x?15?380k为最小? 因25
由于y|x?0?400k? y|x?15?38k0???y|x?100??此当AD?x?15km时? 总运费为最省．
7． 宽为b的运河垂直地流向宽为a的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?
解： 问题转化为求过点C的线段AB的最大值. 设木料的长度为l, AC?x,CB?y，木料与河岸的夹角为t，则x?y?l，且
x?
acost,y?bsint, l?acost?bsint t?(0,?2)．
则
l??
asintcos2t?bcost
sin2t
， 2
2
3
由l??0得tant?3b
, 此时l?(a3?b3)2a
，
223
故木料最长为l?(a3
?b3
)2．
§4.5 函数图形的描绘
1．求y?x3
(x?1)2
的渐近线.
x3
解：由 lim??1(x?1)2???，所以x?1为曲线y?f(x)的铅直渐近线．
x因为 limyx2x3
x??x?limx??(x?1)2?1,limx??(y?x)?limx??(x?1)2
?x??2
所以y?x?2为曲线y?f(x)的斜渐近线．
第四章 综合练习题
1．填空题
（1） lim1ln(1?1
)
x?0xsinx?xlim???arctanx?．
（2） 函数y?x?ln(x?1)在区间(?1,0)内单调减少，在区间(0,??)内单调增加． （3） 曲线y?1
x?ln(1?ex)的渐近线是x?0和y?0． （4）lim(tanx)cosx?．
x??
2?0
2． 求下列极限
（1） lim?tanx??sinx
x?0xln(1?x)?x2 解：lim?tanx??sinxtanx?sinx1
x?0xln(1?x)?x2＝limx?0x[ln(1?x)?x]??tanx??sinx ＝11
2lim1?cosx
ln(1?x)?x?limtanx
x＝11?cosxsinx
x?0x?02lim＝x?0ln(1?x)?x2limx?01 1?x?1
＝?1sinx
2limx?0x(1?x)??1
2．
(?sin1?1cos11
（2） limxxx)cosx
x??1 (ex?a?ea)2sin1
x
(?sin1?1111111111
解：limcos)cos(?sin?cos)cos?sin?cos
x??=lim=lim11
(ex?a?ea)2sin1x??2ax21x??
xe(e?1)sinxe2a(1
x)21
x
1111
=12cosx?2cosx?1
3sin1x
e2alim??1． x???33e2a
x4
3． 求证当x?0时， x?12
2x?ln(1?x)．
证明： 令f(x)?ln(1?x)?x?1
2x2, 则
f?(x)?1
1?x?1?x?x2
1?x,
11
当x?0时, f?(x)?0，故f(x)在[0,??)单调增． 当x?0时，有f(x)?f(0)?0，即
12x?ln(1?x)． 2
4． 设f(x)在[a,b]上可导且b?a?4，证明：存在点x0?(a,b)使f?(x0)?1?f2(x0).
?f?(x)|F(x)|?证明： 设F(x)?arctanf(x), 则F?(x)?，且． 221?f(x)
F(b)?F(a)?F?(x0), 即 由拉格朗日中值定理知, 存在x0?(a,b)，使b?ax?
?
f?(x0)F(b)?F(a)|F(b)|?|F(a)|??????1． 2b?ab?a441?f(x0)
5． 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值, 且??f(a)?g(a), f(b)?g(b), 证明： 存在??(a,b),使得f??(?)?g??(?)．
证明： 设f(x),g(x)分别在x1,x2?(a,b)取得最大值M， 则f(x1)?g(x2)?M, 且f?(x1)?g?(x2)?0． 令F(x)?f(x)?g(x)．
当x1?x2时, F(a)?F(b)?F(x1)?0, 由罗尔定理知, 存在?1?(a,x1),?2?(x1,b), 使 F?(?1)?F?(?2)?0, 进一步由罗尔定理知, 存在??(x1,x2)，使F??(?)?0，即f??(?)?g??(?)
当x1?x2时, F(x1)?M?g(x1)?0,F(x2)?f(x2)?M?0，由零点存在定理可知，存在?1?[x1,x2]，使F(?1)?0． 由于F(a)?F(b)?0，由前面证明知, 存在??(a,b)，使F??(?)?0，即f??(?)?g??(?)．
1?1有且仅有一个正的实根． x2
11证明：设f(x)?kx?2?1． 当k?0，显然2?1只有一个正的实根．下考虑k?0时的xx6． 设k?0,证明方程kx?
情况．
先证存在性： 因为f(x)在(0,??)内连续，且limf(x)???，limf(x)???，由零点存在定x?0x???
1?1至少有一个正的实根． 2x
再证唯一性：假设有x1,x2?0，且x1?x2，使f(x1)?f(x2)?0，根据罗尔定理，存在
22??(x1,x2)?(0,??)，使f?(?)?0，即k?3?0，从而k?3?0，这与k?0矛盾．故方理知，至少存在一个??(0,??)，使f(?)?0，即kx???
程kx?
1?1只有一个正的实根． x2
327． 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8时开始工作，在t小时之后，生产出Q(t)??t?9t?12t个产品．问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？
2解：因为x(t)?Q?(t)??3t?18t?12,x?(t)?Q??(t)??6t?18, 令x?(t)?0,得t?3． 又
当t?3时，x?(t)?0．函数x(t)在[0,3]上单调增加；当t?3时，x?(t)?0，函数x(t)在[3,??)上单调减少．故当t?3时，x(t)达到最大, 即上午11时这个工人的工作效率最高．
12
篇2：微分中值定理的推广形式
微分中值定理的推广形式
刘期怀
（桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林541001）
摘要：函数的可微性与定义域的凸性是中值定理成立的两个本质条件，本文我们将微分中值定理推广到多元可微函数的情形。最后，我们将介绍微分中值定理的一个统一公式，该公式适用于所有的Lipschitz连续函数。
关键词：微分中值定理；Lipschitz连续；Clarke梯度
基金项目：本文获得桂林电子科技大学数学与计算科学学院教学改革重点项目资助
1 引言
微分中值定理是高等数学微分学中最重要的定理之一，也是数学分析中的基本内容。关于微分中值定理的研究有很多方面，主要涉及它的推广形式及其应用。在文献[1]中，作者利用平面几何中曲线之间的相切关系不依赖于坐标轴的选取这一基本事实对微分中值定理进行了几何上的解释；文献[2]把微分中值定理推广到连续的一元凸（或者凹）函数上去，给出了微分中值定理更加一般的形式。众所周知，欧式空间上的凸（或者凹）函数具有局部Lipschitz连续性。下文中我们首先将微分中值定理推广到多元可微函数上去，并且通过结果指出，函数的可微性与定义区域的凸性是中值定理成立的两个本质条件。最后，我们将介绍微分中值定理的一个统一公式，该公式可适用于所有的Lipschitz连续函数。
在本文中，我们始终假设A为欧式空间Rn上的开集，函数u（x）为A上的实值连续函数。对于任意给定的x，y∈A，记［x，y］A为连接x，y线段上所有的点构成的.集合。
2 多元函数微分中值定理
从定理1的证明来看，ξ的值可不在线段［x，y］的两个端点上取到。
3 Lipschitz连续函数中值定理的统一形式
参考文献：
[1]曾可依。从几何的角度看微分中值定理[J].大学数学，，（02）：108-111.
[2]王良成，白海，杨明硕。关于Lagrange微分中值定理的逆问题[J].大学数学，，（05）：140-143.
[3]P. Cannarsa and S. Carlo，Semi-concave functions，Hamilton-Jacobi equations，and optimal control [M]. Springer，.
[4]F. H. Clarke，Optimization and non-smooth analysis [M].Wiley，New York，1983.
篇3：考研数学 中值定理及其应用
考研数学 中值定理及其应用
考研数学复习中，中值定理证明题是让很多考生头疼的一个点,解这类题的关键在构造辅助函数，辅助函数构造好了，题目便能迎刃而解。对此汤家凤老师在《无师自通2013考研数学复习大全》中不光详细列出和讲解了中值定理相关的基础知识，而且列了专题讨论和讲解了辅助函数的构造问题并附有大量例题。本文总结其中几点如下，供考生参考。
考研数学考察的中值定理有：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理(即微分中值定理)、柯西中值定理和泰勒中值定理。这四个定理之间的联系和区别要弄清楚，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。除泰勒定理外的'三个定理都要求已知函数在某个闭区间上连续，对应开区间内可导。柯西中值定理涉及到两个函数，在分母上的那个函数的一阶导在定义域上要求不为零，柯西中值定理还有一个重要应用――洛必达法则，在求极限时会经常用到。泰勒公式中的x0=0时为泰勒公式的特殊情况，为麦克劳林公式，常见函数的麦克劳林展开式要熟记，在求极限和级数一章中有很重要的应用。
证明题中辅助函数的构造方法：
一、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间的差距为一阶。
二、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间相差超过一阶。
三、结论中除含ξ，还含有端点a,b。
四、结论中含两个或两个以上的中值。
大学网才研频道。篇4：罗尔(Rolle)中值定理的一个应用
摘 要 罗尔中值定理是一个重要的微分学基本定理，它揭示了可导函数的极值点的本质特合理地利用它，则可方便地证明某些恒等式。
关键词 罗尔中值定理 极值 极值点 可导函数 恒等式
中图分类号：O172 文献标识码：A
罗尔中值定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理统称为微分中值定理。其中罗尔中值定理是微分学基本定理中的一个重要的定理，它也是拉格朗日中值定理的一个特殊形式。它的几何意义在于：若函数在某区间上满足罗尔定理的三个条件，则在该区间内至少存在一点，函数在该点的切线必与X轴平行。正是基于这一点，在教学中人们一般主要介绍它在判别某个方程是否有解上的`应用。但在辅导学生作考研准备时发现，理解中值定理的本质，利用它也可以巧妙地来证明一些特殊的恒等式。现介绍如下：
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